湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设命题P等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设a，b都是不等于1的正数，则 “lga22b>2”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD, 底面ABCD是边长为2的正方形, PA=5, E为PC的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为 ( )
A.1339 B.1339 C.−155 D.155
3.总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A.08 B.07 C.02 D.01
4.已知函数 fx=2x+1+2,x≤0,|lg2x|,x>0,若关于x的方程 fx²−2afx+3a=0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
B.3165 C.(3,4) D.(3,4]
5.已知y=ax+b与函数f(x)=2lnx+5和 gx=x²+4都相切，则不等式组 x−ay+3≥0x+by−2≥0所确定的平面区域在 x²+y²+2x−2y−22=0内的面积为( )
A.2π B.3π C.6π D.12π
6.已知x，y满足约束条件 x−y≥0x+y≤2,y≥0则z=2x+y的最大值为
A、 l B.2 C.3 D.4
7.为得到 y=sin2x−π3的图象, 只需要将v =sin2x的图象( )
A.向左平移53个单位 B.向左平移π/6个单位
C.向右平移5个单位 D.向右平移π/6个单位
8.在 1−x⁵+1−x⁶+1−x⁷+1−x⁸的展开式中，含x³的项的系数是 ( )
A.74 B.121 C.- 74 D.- 121
9.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为( )
A.x215−y25=1 B.x25−y215=1 C.y23−x212=1 D.y221−x27=1
10.设命题P: ∀a,b∈R, |a-b|lg₂a>lg₂b,
即 0b>1或02的必要不充分条件，
故选C，
【题目点拨】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题.
2、 B
【解题分析】
由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用 csBEPD=BE⋅PD|BE|PD|即可得解.
【题目详解】
∵ PA⊥平面ABCD, 底面ABCD是边长为2的正方形,
∴如图建立空间直角坐标系，由题意：
A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), P(0,0, 5), D(0,2,0),
∵E为PC的中点, ∴El1152r.
∴BE=−1152,PD=02−5,
∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为 |csBEPD|即为 1339.
故选: B.
【题目点拨】
本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.
3、 D
【解题分析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08，02.14，07.01，所以第5个个体是01，选 D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
4、 B
【解题分析】
令 fx=t,则 t²−2at+3a=0,由图象分析可知 t²−2at+3a=0在(2，4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.
【题目详解】
令 fx=t,则 t²−2at+3a=0,如图
y=t与 y=fx顶多只有3个不同交点，要使关于x的方程 fx²−2afx+3a=0有
六个不相等的实数根，则 t²−2at+3a=0有两个不同的根 f₁,f₂∈24,
设 g1=t²−2at+3a由根的分布可知，
解得 30，由韦达定理可得 t₁⋅t₂=−3,, 所以|PA|·|PB|=|-3|=3.
18、1an=13nn∈N∗
【解题分析】
(1) 当n≥2时, 利用 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁可得 anan−1=13n≥2,故可利用等比数列的通项公式求出 aₙ的通项.
(2) 利用分组求和法可求数列 aₙ+bₙ的前n项和 Tn,
【题目详解】
(1) 当n=1时, 2S₁+a₁=1, 所以 a1=13,
当n≥2时, 2Sₙ+aₙ=1,①
2Sn-1+an-1=1,②
所以 2Sₙ−Sₙ+aₙ−aₙ₁=0,
即 3aₙ=aₙ₁, 又因为 a1−13≠0, 故 a₁₁≠0,所以 anan−13n≥2,
所以 aₙ是首项 a1=13,公比为 13的等比数列，
故 an=13×13n−1=13nn∈N.
(2) 由bn+1=bn+1得：数列bn为等差数列，公差d=1， b1=3×13=1,bn=1+n−1×1=n,
Tn=a1+b1+a2+b2+⋯+an+bn
=a1+a2+⋯+an+b1+b2+⋯+bn
=Sn+1+2+⋯+n
=1−13n2+nn+12
=12n2+n+1−12⋅13nn∈N∗.
【题目点拨】
本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法； 如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法； 如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法； 如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
19、(1) 证明见解析, an=2n+12n;2Sn=5−2n+52n.
【解题分析】
(1) 将等式 an=an−12+12n−1变形为 2ⁿaₙ=2ⁿ⁻¹aₙ₋₁+2,进而可证明出{2ⁿaₙ}是等差数列，确定数列{ 2ⁿaₙ}的首项和公差，可求得{2ⁿan}的表达式，进而可得出数列{aₙ}的通项公式：
(2) 利用错位相减法可求得数列{aₙ}的前n项和 Sn.
【题目详解】
(1) 因为 an=an+12+12n−1n≥2n∈N∗, 所以 2ⁿaₙ=2ⁿ⁻¹aₙ₋₁+2, 即 2ⁿaₙ−2ⁿ⁻¹aₙ₋₁=2,
所以数列 2ⁿaₙ是等差数列，且公差d=2，其首项： 2a₁=3
所以 2ⁿaₙ=3+n−1×2=2n+1,解得 an=2n+12n;
2Sn=32+522+721+⋯+2n−12n−1−2n+12n,①
Sn2=322+52x+72n+⋯−2n−12n+2n+12n,②
①-②, 得 Sn2=32+2×122+123+.+⋯+12n−2n+12n+1=32+2×14×1−12n+11=22−2n+52n+1,所以 Sn=5−2n+52n.
【题目点拨】
本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20、1y=cedt,y=e1.405t−2.312=e−;(2) 148万亿元.
【解题分析】
(1) 由散点图知 y=ceᵈᵗ更适宜，对 y=ceᵈᵗ两边取自然对数得 lny= lnc+ dt, 令z= lny, a= lnc, b=d, 则z=a+ bt，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；
(2) 将t=5.2代入所求的回归方程中计算即可.
【题目详解】
(1) 根据数据及图表可以判断，
y=ceᵈ更适宜作为全国GDP总量y关于1的回归方程.
对 y=cekN两边取自然对数得 lny= lnc+ dt, 令z= lny, a= lnc, b=d, 得z=a+ bt,
因为
所以 a=z−bi=1.903−1.405×3=−2.312,
所以2关于(的线性回归方程为==1.405t-2.312,
所以y关于l的回归方程为 y=e1.05t−2312=e−2.312(e1.↓0)5t,
(2) 将1 5.2代入 y=, 其中1.405×5.2-2.312 4.994.
于是2020年的全国 GDP 总量约为： î=c⋅10:=c'=1.18万亿元.
【题目点拨】
本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.
21、1fθ=40+202csθ,θ∈0π2,234−28
【解题分析】
(1) 由余弦定理的 PC²,，然后根据直线与圆相切的性质求出PQ，从而求出f(θ)；
(2) 求得S(θ)的表达式，通过求导研究函数的单调性求得最大值.
【题目详解】
解: (1) 连PC.由条件得 θ∈0π2.
在三角形POC中，( OC=10,OP=20,∠POC=π−2θ,，由余弦定理，得
PC²=OC²+OP²−2OC⋅OPcsπ−2θ=l05+4cs2θ,
因为PQ与半圆C相切于Q，所以( CQ⊥PQ,
所以 PQ²=PC²−CQ²=4001+cs2θ,，所以 PQ=202csθ.
所以四边形COPQ的周长为
fθ=CO+OP+PQ+QC=40+202csθ,θ∈0π2.
(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ),则
Sθ=SOCP+SQCP=100l2csθ±2sinθcsr,θ∈l0π2r.
所以 S'θ=100l−2sinθ+2cs2θ−2sin2θr=100l−4sin2θ−2sinθ+2r,θl0.π2r,
令 S'1=0,得 sinθ=34−28
列表：
答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sinθ的值为 34−28.
【题目点拨】
本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系，考查考生的逻辑思维能力，运算求解能力，以及函数与方程的思想.
22、1C=π3;(Ⅱ) 有最大值，最大值为3.
【解题分析】
(Ⅰ) 利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
(Ⅱ) 由正弦定理可得 a=23sinA,b=23sinB,则 a+b=2sinA+π6, 再根据正弦函数的性质计算可得；
【题目详解】
(Ⅰ) 由( sinA−sinB²=sin²C−sinAsinB得
sin²A+sin²B−sin²C=sinAsinB
再由正弦定理得 a²+b²=c²=ab
因此 csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12,
又因为C∈(0,π), 所以 C=π3.
(Ⅱ) 当c=1时, △ABC的周长有最大值, 且最大值为3,
理由如下：
由正弦定理得 asinA=bsinB=1sinπ3=23,
所以 a=23sinA,b=23sinB,
所以 a+b=23sinA+23sinB=23sinA+23sin2π3−Λ=2sinΛ+π6.
因为 0