四川省成都市第七中学2024~2025学年高一上学期数学强基课程测试卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市第七中学2024~2025学年高一上学期数学强基课程测试卷（Word版附解析），共31页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知函数f，已知定义在上的函数满足等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；命题组：数学强基课程教研组
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每道题5分，共40分）
1．设集合，若是的子集，把中的所有数的和称为的“容量”（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，命题①：的奇子集与偶子集个数相等；命题②：当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，则下列说法正确的是（ ）
A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立
2．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，.若，则（ ）
A．B．0C．D．
3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3），若x∈R，f（x﹣a）＜f（x），则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．﹣3＜a＜3C．a＞6D．﹣6＜a＜6
4．函数的定义域为D,若对于任意的,当时,都有,则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数,且满足以下三个条件:①；②；③.则等于
A．B．C．D．
5．已知定义在上的函数满足：对任意实数，均有，则下列结论中，错误的是（ ）
A．存在使且
B．可能为常数函数
C．若，则
D．若，且时，，则解集为
6．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：
①；②函数图象的一条对称轴为；
③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知定义域为R的函数fx,gx满足：，，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．若，则D．是奇函数
8．定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度．用表示不超过x的最大整数，记，其中．设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数k的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．7
二、多选题（每道题6分，共18分，不选、错选不得分，漏选可得部分分）
9．已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．在上单调递增
10．任取集合的个非空子集，定义为记所得的个值之和为，则（ ）
A．与的奇偶性相同B．是的一个倍数
C．的最小值为D．的最大值为
11．函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知，．下列四个判断中，正确的有（ ）
A．当时，的值只有0或
B．当时，函数既有对称轴又有对称中心
C．对于给定的正整数，存在，使得成立
D．当时，对于给定的正整数，不存在且，使得成立
第II卷（非选择题）
三、填空题（每道题5分，共15分）
12．已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是 .
13．已知函数由下表给出：
其中等于在，，，，中所出现的次数，则 ； ．
14．设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法：
①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；
②若S只有2个元素，则必有3个元素；
③若S只有2个元素，则可能有4个元素；
④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素．
其中所有正确说法的序号是 ．
四、解答题（前四题每题15分，最后一题17分）
15．排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和≤乱序和≤顺序和”．当且仅当或时，反序和等于顺序和．
(1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过_______．
(2)设是n个互不相同的正整数，求证：
(3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同．问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
16．设集合B是集合An＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N*的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为An的“和谐子集”．求：
（1）集合A1的“和谐子集”的个数；
（2）集合An的“和谐子集”的个数．
17．某旅游胜地欲开发一座景观山，从山的侧面进行勘测，迎面山坡线由同一平面的两段抛物线组成，其中所在的抛物线以为顶点、开口向下，所在的抛物线以为顶点、开口向上，以过山脚（点）的水平线为轴，过山顶（点）的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知所在抛物线的解析式，所在抛物线的解析式为
（1）求值，并写出山坡线的函数解析式；
（2）在山坡上的700米高度（点）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站，索道的起点选择在山脚水平线上的点处，（米），假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线当索道在上方时，索道的悬空高度有最大值，试求索道的最大悬空高度；
（3）为了便于旅游观景，拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶，台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．试求出前三级台阶的长度（精确到厘米），并判断这种台阶能否一直铺到山脚，简述理由？
18．对于函数,,设区间是上的一个子集,对于区间上任意的,,,当时,如果总有,则称函数是区间上的函数.
(1)判断下列函数是否是定义域上的函数:①,②;
(2)已知定义域上的严格增函数也是定义域上的函数,试问:是否是定义域上的函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;
(3)若函数为区间上的函数,证明:对于任意的,和任意的,总有.
19．已知函数．
(1)求函数的定义域和值域；
(2)设，求的最大值；
(3)对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
1．A
【难度】0.15
【分析】设为的奇子集，构造集合，得到奇子集与偶子集个数相等，①正确；
计算奇子集容量之和是，等于偶子集的容量之和，得到②正确，判断得到答案.
【详解】设为的奇子集，令，则是偶子集
是奇子集到偶子集的一一对应，且每个偶子集，均恰有一个奇子集，
与之对应，故的奇子集与偶子集个数相等，所以①正确；
对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，在时，这个子集中有一半是奇子集，在时，由于，将上边的1换成3，同样可得其中有一半是奇子集，于是计算奇子集容量之和是，根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，所以当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，即命题②正确，
故应选.
【点睛】本题考查了集合的新定义问题，构造集合是解题的关键.
2．C
【难度】0.15
【分析】由为偶函数，为奇函数得到，故函数的周期，结合得到，由得，从而求出，采用赋值法求出，，再使用求出的的周期，赋值法得到.
【详解】因为为偶函数，所以，
用代替得：，
因为为奇函数，所以，
故①，
用代替得：②，
由①② 得：，
所以函数的周期，
所以，即，
因为，令得：，故，
，解得：，
所以时，，
因为，
令，得，
其中，所以，
因为，
令得：，即，
因为，所以，
因为，
令得：，
故，
.
故选：C
【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性和周期性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为，
若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为，
若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为.
3．C
【难度】0.15
【分析】当时,分类讨论求得函数的解析式,再利用函数在定义R上的奇函数求出函数在整个定义域上的解析式并画出图像,然后由条件结合图像转化为解得的取值范围.
【详解】由题意时,,
当时,;
当时,;
当x>2时,,
由因为函数为定义R上的奇函数,所以可得函数解析式为:
,由此可得图像如图所示:
由题意时,恒成立,则得函数的图像恒在函数的图像下面, 则由图像可得,解得,即满足要求的得取值范围为.
故选:C.
【点睛】本题考查了绝对值函数解析式的求解,函数奇偶性的应用,数形结合的思想解决不等式恒成立的问题,属于难题.
4．D
【难度】0.15
【解析】根据题设条件可得以及，从而可得和，根据时,都有可得，从而可求的值后可得的值.
【详解】∵函数在上为非减函数，
①，③，
令，得；令，得.
又∵②，∴.
令，得，∴.
令，得;
令，得.
∵当时，都有，
∴，∴.
∴.
故选：D.
【点睛】本题考查抽象函数的函数值的计算，注意根据不等关系求确定的值，一般用“夹逼”的方法（如），本题考查运算求解能力，属于难题.
5．A
【难度】0.15
【分析】对于A，运用反证法思路，假设存在，对，赋值推翻假设；对于B，由A结论，设，推出此时必有即得常数函数；对于C，赋值，易得；对于D，先由条件推导函数为R上增函数，再由赋值得替代题设不等式，将其转化为，求得或，最后利用函数的单调性即可求得.
【详解】对于A，假设存在使且，则必有,
而对任意的，若取，
则，
显然产生矛盾，故假设不成立，即A错误；
对于B，由A可得恒成立，若存在使，
则，
此时， ，故 B正确；
对于C，令，则有，
因，故得，即，故C正确；
对于D，由展开整理得，，
任取，，则，
依题意，，
又由上分析，因知函数不是常数函数，则必有恒成立，
于是由，
则得 ，即为R上的增函数.
因，则，
即得，
于是等价于，
设，则得，解得或，
即得或，
又，由C项知，，因为R上的增函数，可得或，
即不等式解集为,故D正确.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解题关键是赋值法，利用题设隐含信息为突破口，如由“可能为常数函数”推得后续选项中的“恒成立”，由“时，”推导出函数的单调性，以及利用赋值替换后求解抽象不等式，都有一定的技巧性.
6．D
【难度】0.15
【分析】对于①，令代入已知等式可求出，再结合其为偶函数可得f3=0，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当，且时，都有，可得y=fx在上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由f3=0，的周期为6，及函数的单调性分析判断.
【详解】①：对于任意，都有成立，
令，则，解得，
又因为是R上的偶函数，所以f3=0，
所以，所以函数的周期为6，
所以，
又由，故；故①正确；
②：由（1）知的周期为6，
又因为是R上的偶函数，所以，
而的周期为6，所以，，
所以：，
所以直线是函数y=fx的图象的一条对称轴．故②正确；
③：当，且时，都有．
所以函数y=fx在上为严格增函数，
因为是R上的偶函数，所以函数y=fx在上为严格减函数，
而的周期为6，所以函数y=fx在上为严格减函数．故③正确；
④：f3=0，的周期为6，所以，
又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点，
所以在和上各有一个零点，
所以函数y=fx在上有四个零点．故④正确；
故选：D．
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出f3=0，从而可得，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题.
7．D
【难度】0.15
【分析】B选项，根据得到，故为奇函数；A选项，由B可知，赋值得到，故；D选项，由得到，D正确；C选项，化简得到，结合，求出，得到.
【详解】B选项，由得，
所以，故是奇函数，故B正确；
A选项，由是奇函数得，令，
由可得，
又，得，故A正确；
D选项，由得，所以，故是偶函数，所以D错误；
C选项，由题意得
，
令得，
当时，，
故，，依次求出，
，所以C正确．
故选：D
【点睛】赋值法处理抽象函数，是解决抽象函数问题的关键，需要赋值法求出一些关键函数值，并结合函数单调性和奇偶性定义进行求解.
8．B
【难度】0.15
【分析】根据的定义将化为，对，，…，依次讨论，求解不等式直到满足解集的区间长度为，从而可求得最小值.
【详解】，，
即，
当时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
当 时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
当 时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
所以当 时, 不等式的解集为；
∴当时，不等式解集的区间长度为 ，
所以实数k的最小值为.
故选：B
【点睛】函数新定义的题目，解题关键点是围绕着新定义的概念和运算进行分析.
9．ACD
【难度】0.15
【分析】利用赋值法得到，由此判断出的奇偶性.利用赋值法求得，进而求得，根据函数单调性的定义，计算的符号来判断函数的单调性.
【详解】令，可得.
令，可得.因为当时，，所以.
令，可得.
因为，所以当时，.
又因为当时，，所以当时，.
令，可得，①
所以，两式相加可得.
令，可得.②
①-②可得，
化简可得，所以是奇函数，C正确.
由，可得：
，B错误.
由可得解得，A正确.
令，可得.
令，则.
因为当时，，所以，
所以，即，
所以在0,+∞上单调递增.
因为为奇函数，所以在R上单调递增，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.
10．ACD
【难度】0.15
【分析】根据题意，可知，当，则时，，所以，若改变集合中的一个，使，则，即的值由增大为，因此，中每增加一对集合的交集非空，则的值增加2，从而可判断A，B，C；又由定义可知，，取，则，即，可判断选项D.
【详解】由定义知，当时，，则，故，
显然取的单元素子集，则时，，所以，
考虑的情况下，若改变集合中的一个，
使，则，如取，
则，即的值由增大为，
因此，中每增加一对集合的交集非空，则的值增加2，
故与具有相同的奇偶性，但不一定是的倍数；
又由定义可知，，
若对任意的，
如取，则，即.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：采用从最特殊的当时，，则，故，再取的单元素子集，则时，，所以求得的最小值，再次基础上，若改变集合中的一个，可得到的变化规律，从而得解.
11．BC
【难度】0.15
【分析】A选项，，当时，，，求出的值域为，进而得到，A错误；B选项，由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可，当时，，，推出关于轴对称，结合为奇函数，得到关于对称，同理可得也满足要求，B正确；C选项，推出的图象关于点对称，的图象关于直线对称，故，分为偶数和为奇数两种情况，得到C正确；D选项，先得到函数的图象关于轴对称，在C选项基础上，得到时，，此时，D错误.
【详解】选项A，当时，，，
当时，，
当时，，
故时，的值域为，
又为奇函数，故当时，的值域为，
故，
为平移得到，故的最小正周期也为，
故函数的最小正周期为，
故函数值域为，故A错误；
B选项，由于为平移得到，故的最小正周期也为，故只需研究即可，
当时，，，
当时，，此时，
当时，，此时，
故，由于为连续函数，
故，故的图象在上关于直线对称，
又为奇函数，最小正周期为，结合图象可知，在图象在R上关于直线对称，
所以，
令，则，
将用替换，有，故，
所以关于轴对称，
又为奇函数，故，
所以，又，
故，
故，
故关于对称，所以既有对称轴，又有对称中心，
当时，同理可得既有对称轴，又有对称中心，B正确；
C选项，取，则，
由于为奇函数，故，
又的最小正周期为，故，
即，即，
故的图象关于点对称，
由B选项知，的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，
所以，，
所以，
当为偶数时，，所以，
当为奇数时，，所以，C正确；
D选项，由于，所以成立，
，故，
即，
故在上，
又的图象关于直线对称，且最小正周期为，
故函数的图象关于轴对称，
所以，而成立，
所以，故存在成立，D错误.
故选：BC
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
12．
【难度】0.15
【解析】将已知整理为，令2，得，即可将所求最值的关于xy的表达式转化为mn的表达式，整理后由均值不等式可求得最小值.
【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即
令2，所以
所以x2+y2+x+4y
由均值不等式，当且仅当取等号
所以x2+y2+x+4y的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，属于难题.
13． 0 5
【难度】0.15
【分析】假设k＝4出现次数大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得＜1，＝0，同理可得，由此可得，从而讨论可得，于是可以得到，∈{1，2}，分类讨论即可得出答案.
【详解】等于在“，，，，”中所出现的次数，则，
若k＝4在“，，，，”中出现次数超过0次，不妨设出现1次，则＝1.
设＝4，则k＝0在“，，”这3个数中出现4次，矛盾，
同理k＝4在“，，，，”中出现过2、3、4次也不可能，
即k＝4不能出现，∴＝0.
同理，若k＝3出现次数超过0次，不妨设k＝3出现1次，即，
设＝3，则k＝0在“，”这2个数中出现3次，矛盾，
故k＝3不可能出现，∴.
∵，＝0，
∴k＝0在“，，，，”中至少出现了2次，
∴.
若＝3或4，即k＝3或k＝4出现了1次，则或不为0，矛盾，
∴.
∴，，，
∴，∈{1，2}，
∴“，，，，”仅有下列四种可能：
①，＝1，＝1，，，
②，＝1，＝2，，，
③，＝2，＝1，，，
④，＝2，＝2，，，
其中：①中，k＝1出现2次与＝1矛盾，不可能；
②满足题意；
③k＝2出现2次与＝1矛盾；
④中，k＝2出现3次与＝2矛盾；
故仅有“，＝1，＝2，，”满足题意，
故5.
故答案为：0；5
【点睛】本题关键是理清题意，在有限个数字中，从大到小讨论，将不满足题意的情形逐一排除，最后得到唯一满足题意的组合.
14．①②
【难度】0.15
【分析】对于①由条件2知正确；
对于④：设，由条件1推出中元素，再由条件2推出的元素必在中，分析这些元素能得出不同的元素至少有4个，与有3个元素矛盾.
对于②③： ，由条件1得，若中除0外只有一个元素，由求得 ；若中还有另两个元素，，由条件2得出中更多的元素，类似④的推断过程，分析这些元素至少有3个不同，与中只有两个元素矛盾；
【详解】对于①：由条件2知，，，且，所以若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确；
对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，而与为两个互不相等的正数， a−c 与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，与有3个元素矛盾，故④错误.
对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，故可设.由条件1得，由于集合中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素.
当集合只有2个元素时，即，由条件1得，则或，故.
当集合有多于2个元素时，不妨设，则，，由于，所以，又，故集合至少有3个元素，与S中只有两个元素矛盾.
综上，，故②正确，③错误.
故答案为：①②.
【点睛】对于数学中新定义题目要仔细阅读并理解新定义的内涵，并根据新定义对知识进行迁移应用，此题中涉及集合元素个数问题，要充要利用集合元素的互异性通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.
15．(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【难度】0.15
【分析】（1）设两组数与，由“乱序和顺序和”可得；
（2）设两组数：与，由“乱序和反序和”可得；
（3）由题意求出等候总时间的表达式为，设两组数：与，由“乱序和反序和”可得等候的最少总时间.
【详解】（1）由题意是的任一排列，
设两组数与，
则可看作与两组实数的“乱序和”；
设也是的一个排列，且，
其中满足集合.
则为与两组实数的“顺序和”，
且.
则由排序不等式：乱序和顺序和，
得.
故空格处填：.
（2）设两组数：与.
由是n个互不相同的正整数，
设是的一个排列，且满足，
即是这n个互不相同的正整数从小到大的排列，
因此.
又因为，
故由排序不等式：乱序和反序和，
得
.
故，命题得证.
（3）由题意可知，水龙头注满第个人的水桶需要分钟，
则第个人打水时，即个人都在等，需要等候总时间为，
故所有人打完水，他们等候的总时间为
.
设两组数：与.
由假定，这些各不相同，
设为的一个排列，且，
又因为，
由排序不等式：乱序和反序和，
得.
所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水，
即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水.
等候的总时间最少为，其中为从小到大的一个顺序排列.
【点睛】关键点点睛：根据题意理解并正确应用排序不等式解决问题，关键有两点：一是要先弄清楚排序不等式的研究对象，确定好所需研究的两组数是哪两组数；二是要明确或设出两组数分别的大小排序，有“序”，才有“反序和”、“乱序和”、“顺序和”的不等关系.
16．（1）4；（2）.
【难度】0.15
【解析】（1）由集合的子集可得：集合A1的“和谐子集”为：共4个；
（2）由定义的理解，分类讨论的数学思想方法可得：讨论集合中的“和谐子集”的情况，以新增元素3n+1，3n+2，3n+3为标准展开讨论即可得解.
【详解】解：（1）由题意有：A1＝，
则集合A1的“和谐子集”为：共4个，
故答案为：4；
（2）记An的“和谐子集”的个数等于an，即An有an个所有元素的和为3的整数倍的子集，
另记An有bn个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素的和为3的整数倍余2的子集
易知：a1＝4，b1＝2，＝2，
集合An+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）
①集合集合An＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共an个，
②仅含一个元素的“和谐子集”共an个，
同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共an个，
同时含三个元素的“和谐子集”共an个，
③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共cn个，
同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共cn个，
④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共bn个，
同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共bn个，
所以集合An+1的“和谐子集”共有an+1＝4an+2bn+2cn，
同理：bn+1＝4bn+2an+2cn，cn+1＝4cn+2an+2cn，
所以，所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，
求得：an＝bn+2n，
同理an＝cn+2n，
又an+bn+cn＝23n，
解得：
故答案为：
【点睛】思路点睛：由到，“和谐子集”的确定是解题的难点，这里相当于在原来的基础上，把新增元素放到的子集中去，比如在的“和谐子集”中的添加元素，有四种情况：第一种，不添加，第二种，仅仅添加3（n+1），第三种，添加3n+1，3n+2，第四种三个元素全添加，而原来不是“和谐子集”的子集，添加这三个元素中的一个或几个，也可能变成“和谐子集"，这样就得到同样的道理，也可以得到的表达式，通过数列的知识不难求得.
17．（1）
（2）米 （3）第一级台阶的长度为厘米，第二级台阶的长度为厘米，第三级台阶的长度为厘米，这种台阶不能从山顶一直铺到山脚.
【难度】0.15
【分析】（1）将点点B（4,4）分别代入，求出即可求得函数的解析式；
（2）由已知有索道在上方时，悬空高度
利用配方法可得=，再求最大值即可；
（3）由（1）得，在山坡线上，，，
取，分别求出，
再运算可得各级台阶的长度，再取点，又取，
运算可得，即这种台阶不能一直铺到山脚，得解.
【详解】解：（1）将点B（4,4）分别代入，
解得，
故；
（2）由图可知：，由图观察可得：只有当索道在上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值，
索道在上方时，悬空高度==，
当时，，
故索道的最大悬空高度为米；
(3)在山坡线上，，，
①令得令，得，
所以第一级台阶的长度为（百米）（厘米），
同理，令得
所以第一级台阶的长度为（百米）（厘米），
所以第二级台阶的长度为（百米）（厘米），
所以第三级台阶的长度为（百米）（厘米），
②取点，又取，
则，
因为，
故这种台阶不能从山顶一直铺到点，从而就不能一直铺到山脚.
【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法、二次函数在区间上的最值问题，重点考查了阅读能力及运算能力，属中档题.
18．(1)①是;②不是
(2)不是,理由见解析
(3)证明见解析
【难度】0.15
【分析】(1)利用作差法,结合函数的定义即可逐个判定;
(2)不是定义域上的函数,由反函数的性质及函数的定义即可证明;
(3)假设,则,利用函数的定义化简即可得证.
【详解】（1）①当时,
，所以①是定义域上的函数;
②当时,
,所以②不是定义域上的函数.
（2）不是定义域上的函数,理由如下:
因为是定义域上的严格增函数,
所以当时,,即,
若原函数为增函数,则反函数也是增函数,即若,则,
又因为是定义域上的函数,即当时,总有,
所以,即当时,,
综上所述,不是定义域上的函数.
（3）证明:若对于任意的,和任意的,假设,则,
因为函数为区间上的函数,所以,
化简得,
∵,∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，解题的关键是对新函数定义的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于难题.
19．(1)，
(2)
(3)
【难度】0.15
【分析】（1）定义域容易求得，进而先求出的范围，最后求出函数的值域；
（2）求出，设，进而讨论函数，的最大值，然后讨论a与定义域的位置关系，最后得出答案；
（3）将问题转化为在上恒成立，进而讨论m为0和不为0两种情况，最后求得答案.
【详解】（1）由且，得．
则函数的定义域为．
，且，
得，则函数的值域为．
（2），
令，
则，，
所以，
令，，则为函数，的最大值．
易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线．
①若，即，则；
②若，即，则；
③若，即，则．
综上可得．
（3）由（2）易得．
要使在上恒成立，即使在恒成立，
所以在上恒成立．
令，，
若，则对任意恒成立；
若，则有，即，
解得或．
综上，实数m的取值范围是．
【点睛】本题对的处理是一个难点，这时候需要找到三个根式之间的关系，在通过（1）问的处理之后可以发现将平方可以得到，进而通过换元法进行处理.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
A
D
D
B
ACD
ACD
题号
11









答案
BC