四川省阆中中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试卷（Word版附解析）

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(满分:150分 时间：120分钟 ）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合，由交集运算即可求解.
【详解】解：
所以
故选：A．
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意先求，进而用复数的除法运算即可求解.
【详解】由得，
则.
故选：C.
3. 已知函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解.
【详解】因为，所以，
.
故选：D.
4. 已知为奇函数，则曲线在点处切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数的定义求出，求出导数并利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】由函数为奇函数，且定义域为，得，解得，
函数，，是奇函数，
求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：D
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和差的正弦公式，化简求的值，再根据二倍角的余弦公式，并用正切表示，即可求解.
【详解】由条件可知，，
即，得，
所以.
故选：D
6. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶性以及时的正负即可判断.
【详解】函数的定义域为，且，，
是奇函数，排除选项C和D，当时，，
排除选项B.
故选：A．
7. 设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则问题等价于时，ℎx只有一个零点，结合函数的单调性得到，解出即可；
【详解】令，得，即，
设，则问题等价于时，ℎx只有一个零点，
由函数的单调性可得ℎx在时单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是0,3.
故选：A.
8. 已知函数，其中.当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，先探求必要条件，再证明当时在恒成立，通过先放缩再构造函数，对函数，分和两种情况讨论，研究函数的单调性和最值即可求解.
【详解】当时，不等式恒成立，
设，
所以在恒成立，
所以，解得，
下面证明：当时，恒成立．
因为，所以.
设，，其中.
则，其中，
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，
所以，即在上单调递增．
所以，即在上单调递减，所以成立，
综上所述，当时，恒成立，即不等式恒成立.
所以若不等式恒成立，则实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通过运算对不等式进行等价变形，从而构造新函数转化为函数的最值问题求解.利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）分离参数法.不等式中参数易于分离，且分离后具体函数的导数运算及性质研究都可求解，则先分离再构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）若参数与变量分离后并不易求解，可以考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列说法正确的是（ ）．
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 的最小值是2
C. 若，则
D. 的最小正周期是
【答案】ACD
【解析】
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断选项A；由基本不等式使用的条件可判断选项B；在单调递增，即可判断选项C；由正弦型函数的最小正周期公式计算即可判断选项D.
【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，
命题“，”否定是“，”，故A正确；
当时，，的最小值是2，
当时，，的最大值是，故B错误；
单调递增，若，则，故C正确；
的最小正周期为：，故D正确.
故选：ACD
10. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 为定值
C. D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由中线的性质结合向量的线性运算判断A选项；由中线的性质和向量数量积的运算有，求值判断B选项；C 选项，由，结合余弦定理求的值；D选项，中，余弦定理得，结合均值不等式求解.
【详解】A．，故A正确；
B．，故B正确；
C．，，
由余弦定理知，，即，
化简得，故C错误；
D．，当且仅当时等号成立，
由于，所以的最大值为，故D正确；
故选：ABD．
11. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 不可能是的零点
C. 若在区间上有且仅有2个对称中心，则
D. 若在区间上单调递减，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对称性可得，即可求解A，根据即可求解B，利用对称性与周期的关系可得即可求解C，利用单调性与周期的关系即可求解D.
【详解】直线是函数图象的一条对称轴，则，解得，又，则的最小值为，故A正确；
假设是的零点，则，解得，与，矛盾，假设不成立，故B正确；
设函数的周期为直线是函数图象的一条对称轴，在区间上有且仅有2个对称中心，
，即，解得，又，故C错误；
在区间上单调递减，则必有，即，
此时符合题意，故D正确.
故选：ACD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 在中，若，且，则的外接圆的面积为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理，设，，，由余弦定理和同角的平方关系求出，再利用正弦定理和圆的面积公式计算即可求解.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
设，，，
，则，
由正弦定理得，（为外接圆半径），得，
则外接圆面积为，
故答案为：
13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______
【答案】8
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为_____.(精确到小数点后两位)
【答案】0.84
【解析】
【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解.
【详解】令，
则，，，，
故，
由麦克劳林公式得，，
所以.
故答案：0.84.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在等比数列中，公比，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，可得数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法可得数列的前项和．
【小问1详解】
由及，得，
两式相减，得， 即，
所以， 由，得，
所以，解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1），得，
所以.
16. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）．
（1）证明：；
（2）当为何值时，直线与平面所成的角最大？
【答案】（1）证明见解析；
（2）2.
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，可得，结合条件可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得；
（2）利用坐标法，表示出平面的法向量，利用向量夹角公式结合基本不等式即得.
小问1详解】
因为三角形是等边三角形，且E是中点，
所以，
又因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面，
又因为面，
所以，
因为，，
所以，，
所以，即，
因为平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
【小问2详解】
设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由已知得，
设，则、
设平面的法向量为，
则，
令，有，
设直线与平面所成的角，
所以，
当且仅当时取等号，
当时，直线与平面所成角最大．
17. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程；
（2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点.
【小问1详解】
设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，
双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以，
故抛物线的标准方程为：；
【小问2详解】
设直线的方程为，联立，消得，，
方程的判别式，即，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，
因为点A、B在第一象限，所以，故，
设B关于x轴的对称点为，
则直线的方程为，
令得：
．
直线过定点．
【点睛】方法点睛：联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点.
18. 已知函数，．
（1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间；
（2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）有极大值，极小值，单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的定义域，求导，由得到或2，验证后舍去，满足要求，求出的单调区间，并得到极值情况；
（2），定义域为0,+∞，求导，得到φx的单调性及，根据得到实数a的取值范围.
【小问1详解】
，定义域为0,+∞，
则，
因为函数在处取得极大值，
所以，解得或2，
当时，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在12,1上单调递减，
此时为极小值点，不合要求，
当时，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时为极大值点，满足要求，
综上，，有极大值，极小值，
单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
，定义域为0,+∞，
则，
因为，所以，
令φ′x>0得，令φ′x<0得，
故φx在上单调递减，在上单调递增，
则，
令得，，解得，
故实数a的取值范围是.
19. 某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表:
为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图:
（1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值;
（2）若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表:
以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用中位数、平均数的意义列式求解.
（2）以频率作为概率，求出利润的期望，由“，恒成立”构造函数，利用导数求出的范围.
【小问1详解】
由中位数为87.5，得，则，
由平均值为87，得，
则，联立解得，
所以.
【小问2详解】
以频率作为概率，每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）及对应概率关系为：
依题意，，即，
每件产品的利润，，
由对任意的，生产该产品一定能盈利，得，恒成立，
此时，令，，
求导得，令，，
求导得，而，，
当，即时，，函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，，符合题意；
当时，则存在，使得，
由在上单调递增，得当时，，函数在上单调递减，
，，函数在上单调递减，，不符合题意，
由，及，得，因此，
所以的取值范围是.
质量指标值
质量指标等级
废品
合格
废品
质量指标值
利润（万元）
质量指标值
利润（万元）
0.05
0.1
5a
5b
0.3