精品解析：云南省昭通市第一中学教研联盟2024~2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷（B卷）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 满足条件的集合的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合间的包含关系，分析满足条件的集合的元素特征，从而得解.
【详解】由已知得1，，则的其它元素只能从3、4中选最少选1个，最多选2个，
故满足条件集合的个数为3，
故选：C.
2. 四面体中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的加减运算计算即可.
【详解】根据向量的加法、减法法则，得，
故选：B.
3. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线平行可得，再由二倍角的余弦公式得解.
【详解】向量，，且，
可得，，
，
故选：A.
4. 棣莫佛定理：若复数，则，计篎（ ）
A. －1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中棣莫佛定理，在根据三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】由棣莫佛定理得，，
故选：A.
5. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用幂函数在0,+∞上的单调性比较
【详解】∵，，，，
，
又，，，，
，
故选：B.
6. 已知平面经过点，且法向量为是平面内任意一点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积列式计算即得.
【详解】依题意，，而平面的法向量为，
因此，即.
故选：D.
7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出正方体的上底面截球面所得小圆半径，再利用截面性质列式求出球半径，进而求出球的表面积.
【详解】正方体的上底面所在平面截球面所得小圆为正方形的内切圆，半径，
设球半径为，依题意，球心到截面小圆距离，
由截面小圆性质得，即，解得，
所以球的表面积为.
故选：A
8. 的内角，，的对边分别为，，，若的面积，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用三角形面积公式及余弦定理结合辅助角公式和三角函数即可求解.
【详解】由余弦定理得，由得，
消去得，，，
由知的边上的高为，则点在与平行，且距离为的直线上，
如图，以为直径画半圆，则该半圆与直线相切，
当为切点时，，此时角最大，
由图可知，，，，
的取值范围是，
故选：C.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知空间中三点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 与是共线向量
C. 和夹角的余弦值是1
D. 与同向的单位向量是
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，求出模长即可；对于B，向量共线定理；对于C，向量数量积求角度；对于D，计算同向的单位向量，再比较即可
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，，，所以不共线，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，
所以其同向的单位向量为，D正确.
故选：AD
10. 若圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2，则实数可能为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径以及，再结合题意列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】圆即圆,
需满足，则圆心为，半径为
圆心到直线的距离为，
要使圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2，
需满足，解得，结合选项可知6，7，8符合题意，
故选：BCD
11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下命题正确的是（ ）
A. 对于任意的，都有
B. 函数是偶函数，且函数的值域是
C. 若且为有理数，则对任意的恒成立
D. 在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由函数的奇偶性，值域的概念，周期性，对选项逐一判断
【详解】对选项A，当时，，则；
当时，，则，所以对于任意的x∈R，都有，故A正确；
对选项B，当时，，；
当时，，，
所以函数偶函数；当时，；当时，，
所以函数的值域是，故B错误；
对选项C，当时，因且为有理数，所以，则；
当时，因为且为有理数，所以，则，
所以对任意的x∈R恒成立，故C正确；
对选项D，取，，，，，构成以为边长的等边三角形，故D正确，
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若样本数据的方差为16，则数据的标准差为________.
【答案】
【解析】
【分析】设样本数据的方差为，则数据的方差为，即可得到标准差.
【详解】设样本数据的方差为，则，可知数据的方差为，所以标准差为8.
故答案为：8.
13. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案.
【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量，
，
.
故答案为：
14. 直线与圆交于，两点，则（为坐标原点）的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线经过的定点，再借助向量的中线性质，结合数量积运算，根据圆的性质得解.
【详解】由得，
直线经过直线和的交点，
设线段中点为，则，，
则，
又由圆的性质知，，
当且仅当，，，共线时（此时，重合），，
当且仅当时（此时，重合），，
的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用余弦定理进行求解即可；
(2)利用两角差的正弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可
【小问1详解】
，
由正弦定理得，
，
，
又，
.
【小问2详解】
，，，
，
，，
，
，
的取值范围为.
16. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
（1）第1次拨号接通电话；
（2）第3次拨号才接通电话；
（3）拨号不超过3次而接通电话.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可；
（2）由第一次，第二次没接通，第三次接通，利用古典概型概率求解；
（3）分第一次接通，第一次没接通第二次接通和第一次，第二次没接通，第三次接通，利用互斥事件概率求解.
【小问1详解】
由于电话号码的最后一个数字由10种可能，正确数字只有一个，
第1次接通电话可表示为，
所求概率为.
【小问2详解】
设{第i次拨号接通电话}，，2，3
第3次才接通电话可表示为，
所求概率为.
【小问3详解】
拨号不超过3次而接通电话可表示为，
所求概率为
.
17. 2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿．某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：，根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示．
（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；
（2）现在从年龄属于和两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．
【答案】（1）33.5
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图所有频率之和为1，补充频率分布直方图，再根据图形计算该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；
（2）先利用频率分布直方图计算年龄属于和的人数，把所有人用字母表示出来，写出所有情况，在所有情况中找出符合题意的情况，最后计算概率．
【小问1详解】
补充完成的频率分布直方图如下：
估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为
【小问2详解】
年龄属于和的分别有4人，2人，
分别记为A1，A2，A3，A4，B1，B2
则从中随机抽取两人的所有可能情况有，
，共15种，
其中，两人属于同一年龄组的有，共7种，
所以所求的概率为．
18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求切线方程；
（3）求直线上被圆所截得的弦长MN.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）设出圆心坐标，根据求解出圆心和半径，由此求得圆的标准方程；
（2）分别考虑切线的斜率存在和不存在，斜率不存在时直接分析，斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径完成计算；
（3）先计算出圆心到的距离，然后根据弦长公式求解出被圆所截得的弦长即可.
【小问1详解】
由题意设圆心，
因为，
即，
解得，即，
半径，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
当切线的斜率不存在时，则切线方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为，
即，
则圆心到切线的距离，
解得，
此时切线的方程为：，
即，
综上所述：过的切线方程为或.
【小问3详解】
圆心到直线的距离为，
所以弦长.
19. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，，为的中点，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明线面垂直，再得到面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，后利用向量夹角公式计算，再结合同角三角函数关系式求解.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，，如图，
为中点，
，
，，
，确定平面，
又平面，平面平面，
，
平面，平面，
，
，，，，
平面，
平面，
平面，
平面平面.
【小问2详解】
平面，平面，
，
由（1）是平行四边形，则，
以为原点，，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
，，，
，，
设平面的法向量为m=x,y,z，平面与平面所成的角为，
则令，则，
又平面的一个法向量为n=0,1,0，
，
，
平面与平面所成的角的正弦值是.