重庆市长寿中学2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试卷(Word版附解析)
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这是一份重庆市长寿中学2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试卷(Word版附解析),文件包含重庆市长寿中学校2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试题Word版含解析docx、重庆市长寿中学校2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共18页, 欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效.
3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 给出下列关系,其中正确的个数为( )
①;②;③;④,
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】常见集合的元素特征,判断元素与集合的关系.
【详解】:全体实数,①正确;:整数,②正确;:正整数,③错误;:有理数,④错误.
故选:B.
2. 已知集合,,则下列结论中正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析:由得,故,选项为C.
考点:集合间的关系.
3. 已知全集,集合,,则( )
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先解一元二次不等式求出集合,再根据集合的基本运算即可求解.
【详解】解:,,
,
或,
故选:C.
4. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解出绝对值不等式,根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为,所以或,
易得“”是“或”的充分不必要条件,
故选:A.
5. 设命题:,使得,则为( )
A. ,都有B. ,都有
C. ,使得D. ,使得
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答.
【详解】命题:,使得,
则其否定为:,都有.
故选:A
6. 已知,则以下错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
【详解】因为,所以,
对于A,,,,
综上可得,故A正确;
对于B,,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,当时,,故D错误;
故选:D.
7. 如图,在一个圆心为,半径为的半圆形钢板上截取一块矩形材料,使矩形的一边落在半圆的直径上,则这个矩形的面积最大时,的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设且为锐角,用所设参数表示出矩形面积,结合倍角正弦公式及正弦型函数性质求最大面积.
【详解】设且为锐角,面积最大的矩形必内接于半圆,
且两边长分别为,.
这个矩形面积为.
所以当(为锐角),即时矩形的面积取得最大值.
故选:B
8. 若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】由题意,对于都有成立,
∴,解得:,
即实数的取值范围是.
故选:B.
二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9. 我们知道,如果集合,那么的子集的补集为且,类似地,对于集合我们把集合且,叫作集合和的差集,记作,例如:,则有,下列解答正确的是( )
A. 已知,则
B. 已知或,则或x≥4
C. 如果,那么
D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示,则
【答案】BCD
【解析】
【分析】依题意根据的定义可知,可先求出,再求出其以为全集的补集,结合具体选项中集合的关系逐项判断,即可得出结论.
【详解】根据差集定义即为且,
由,可得,所以A错误;
由定义可得即为且,
由或,可知或x≥4,即B正确;
若,那么对于任意,都满足,所以且,因此,所以C正确;
易知且在图中表示的区域可表示为,也即,可得,所以D正确.
故选:BCD
10. 下列函数中,最小值是4的有( ).
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式求最值判断ACD,取,可判断B.
【详解】对于A选项,,
当且仅当时,即当时,等号成立,满足题意;
对于B选项,当时,,则,不满足题意;
对于C选项,,
当且仅当时,即时,等号成立,又,所以等号不成立,
即的最小值不是,不满足题意;
对于D选项,,
当且仅当时,即时,等号成立,故的最小值是4,满足题意.
故选:AD.
11. 定义在内的函数满足,且当时,,,对,,使得,则实数的取值可能为( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意整理函数解析式,根据其单调性求得值域,利用分情况讨论的思想,结合两个函数的值域之间的包含关系,建立不等式以及研究端点值,可得答案.
【详解】由,即,则,
由,则,
当时,,易知在上单调递减,
当时,,
当且仅当,即时,等号成立,
由,则在上单调递增,
由,,
当时,,当时,,
则当时,,
当时,在上单调递增,
则,,即,
由题意可得,则,解得;
当时,在上单调递减,
则,,即,
由题意可得,则,解得;
综上所述,,显然.
故选:ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知函数则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的解析式求出,所以.
【详解】因为函数,则,所以,
故答案为:.
13. 设集合,,其中、、、、是五个不同的正整数,且,已知,,中所有元素之和是246,请写出所有满足条件的集合A:__________________.
【答案】或
【解析】
【分析】由题意可得 ,所以 ,分类讨论当 和 时情况,即可得出结果.
【详解】由题意,得 ,所以 .
由于 中有 9 ,因此 A 中有 3 ,此时集合有共同元素1,
若 ,则 ,于是 ;
此时且 ,无正整数解;
若,集合有共同元素1和9,则,
所以 ,且,而,
所以,
当 时, ;
当 时, ;
因此满足条件的共有2个,分别为.
故答案为: 或
14. 已知,,则的最小值是______.当取最小值时,恒成立,则的取值范围是_______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】由可得,然后利用基本不等式可得的最小值及此时的关系,然后可解出的取值范围.
【详解】因
所以,
当且仅当即时等号成立,
当时,,所以当时取得最大值4
所以由恒成立可得,解得
故答案为:1;
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 已知全集,集合,,求:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)根据条件,利用集合交集运算,即可求出结果;
(2)先求出全集,利用集合并集的运算,得到,再利用集合补集的运算,即可求解;
(3)用集合补集的运算得到,再利用集合交集的运算,即可求解.
【小问1详解】
因为,,
所以.
【小问2详解】
因为,又,
所以.
【小问3详解】
因为,,
所以,又,得到.
16. 为持续推进“改善农村人居环境,建设宜居美丽乡村”,某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示,两块完全相同的长方形种植绿草坪,草坪周围(斜线部分)均摆满宽度相同的花,已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多9米,求草坪宽的最大值;
(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米,求整个绿化面积的最小值.
【答案】(1)米
(2)平方米
【解析】
【分析】(1)设草坪的宽为米,长为米,得到,列出不等式,求得的范围,进而求得宽的最大值;
(2)根据题意,得到,结合基本不等式,即可求解.
【小问1详解】
解:设草坪的宽为米,长为米,由面积均为400平方米,可得,
因为矩形草坪的长比宽至少大9米,所以,
可得,解得,
又因为,所以,所以宽的最大值为米.
【小问2详解】
解:记整个的绿化面积为平方米,
由题意可得
(平方米)
当且仅当时,即米时,等号成立,
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
17. 已知,.
(1)求证:函数在区间上是增函数;
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)用单调性的定义证明即可.
(2)由在区间上的单调性易得值域.
【小问1详解】
令,则
,
又,,,即,
所以函数在区间上是增函数.
【小问2详解】
由(1)知函数在区间上是增函数,又,
所以函数在区间上的值域为.
18 已知函数,.
(1)当时,对任意,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)当,时,解关于的不等式;
(3)当,时,若点,均为函数与函数图象的公共点,且,求证:.
【答案】(1);
(2);
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)把代入,利用不等式恒成立分离参数,再利用单调性求出函数最值即可.
(2)把代入,借助一元二次不等式分段求解即得.
(3)由建立方程,作差变形,结合基本不等式及一元二次不等式求解证得.
【小问1详解】
当时,,,
对任意,关于的不等式恒成立,
即在上恒成立,即在上恒成立,
即当时,的最大值为0,则,所以实数的取值范围
【小问2详解】
当时,不等式,即,
当时,成立,则,
当时,得,即解,解得;
当且时,得,解得,
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
由,得,
即,
由点,均为函数y=fx与函数y=gx图象的公共点,
得,
,
两式相减得,
由,得,
则,
令,则,
整理得,解得,
所以.
19. 对于二次函数,若,使得成立,则称为二次函数的不动点.
(1)求二次函数的不动点;
(2)若二次函数有两个不相等的不动点,且,求的最小值.
【答案】(1)不动点为和;
(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意得到,解该一元二次方程即可得解;
(2)根据题意,转化为有两个不相等的正实数根,结合根与系数的关系,得到,且,化简,结合基本不等式,即可求解.
【小问1详解】
令,可得,
可得,解得,
所以二次函数不动点为和.
【小问2详解】
二次函数有两个不相等的不动点,且,
则方程有两个不相等的正实数根,
即方程有两个不相等的正实数根,
所以,且,
因为,即,解得,可得,
所以
,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为.
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