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    重庆市长寿中学2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试卷(Word版附解析)

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    重庆市长寿中学2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试卷(Word版附解析)

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    这是一份重庆市长寿中学2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试卷(Word版附解析),文件包含重庆市长寿中学校2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试题Word版含解析docx、重庆市长寿中学校2024-2025学年高一上学期11月期中测试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共18页, 欢迎下载使用。
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效.
    3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回.
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 给出下列关系,其中正确的个数为( )
    ①;②;③;④,
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    【答案】B
    【解析】
    【分析】常见集合的元素特征,判断元素与集合的关系.
    【详解】:全体实数,①正确;:整数,②正确;:正整数,③错误;:有理数,④错误.
    故选:B.
    2. 已知集合,,则下列结论中正确的是
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【详解】试题分析:由得,故,选项为C.
    考点:集合间的关系.
    3. 已知全集,集合,,则( )
    A. 或B. 或
    C. 或D. 或
    【答案】C
    【解析】
    【分析】先解一元二次不等式求出集合,再根据集合的基本运算即可求解.
    【详解】解:,,

    或,
    故选:C.
    4. “”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】
    【分析】解出绝对值不等式,根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
    【详解】因为,所以或,
    易得“”是“或”的充分不必要条件,
    故选:A.
    5. 设命题:,使得,则为( )
    A. ,都有B. ,都有
    C. ,使得D. ,使得
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答.
    【详解】命题:,使得,
    则其否定为:,都有.
    故选:A
    6. 已知,则以下错误的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
    【详解】因为,所以,
    对于A,,,,
    综上可得,故A正确;
    对于B,,故B正确;
    对于C,,故C正确;
    对于D,当时,,故D错误;
    故选:D.
    7. 如图,在一个圆心为,半径为的半圆形钢板上截取一块矩形材料,使矩形的一边落在半圆的直径上,则这个矩形的面积最大时,的大小是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】设且为锐角,用所设参数表示出矩形面积,结合倍角正弦公式及正弦型函数性质求最大面积.
    【详解】设且为锐角,面积最大的矩形必内接于半圆,
    且两边长分别为,.
    这个矩形面积为.
    所以当(为锐角),即时矩形的面积取得最大值.
    故选:B
    8. 若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
    【详解】由题意,对于都有成立,
    ∴,解得:,
    即实数的取值范围是.
    故选:B.
    二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
    9. 我们知道,如果集合,那么的子集的补集为且,类似地,对于集合我们把集合且,叫作集合和的差集,记作,例如:,则有,下列解答正确的是( )

    A. 已知,则
    B. 已知或,则或x≥4
    C. 如果,那么
    D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示,则
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】依题意根据的定义可知,可先求出,再求出其以为全集的补集,结合具体选项中集合的关系逐项判断,即可得出结论.
    【详解】根据差集定义即为且,
    由,可得,所以A错误;
    由定义可得即为且,
    由或,可知或x≥4,即B正确;
    若,那么对于任意,都满足,所以且,因此,所以C正确;
    易知且在图中表示的区域可表示为,也即,可得,所以D正确.
    故选:BCD
    10. 下列函数中,最小值是4的有( ).
    A. B.
    C. D.
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】利用基本不等式求最值判断ACD,取,可判断B.
    【详解】对于A选项,,
    当且仅当时,即当时,等号成立,满足题意;
    对于B选项,当时,,则,不满足题意;
    对于C选项,,
    当且仅当时,即时,等号成立,又,所以等号不成立,
    即的最小值不是,不满足题意;
    对于D选项,,
    当且仅当时,即时,等号成立,故的最小值是4,满足题意.
    故选:AD.
    11. 定义在内的函数满足,且当时,,,对,,使得,则实数的取值可能为( )
    A. B. C. D.
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】由题意整理函数解析式,根据其单调性求得值域,利用分情况讨论的思想,结合两个函数的值域之间的包含关系,建立不等式以及研究端点值,可得答案.
    【详解】由,即,则,
    由,则,
    当时,,易知在上单调递减,
    当时,,
    当且仅当,即时,等号成立,
    由,则在上单调递增,
    由,,
    当时,,当时,,
    则当时,,
    当时,在上单调递增,
    则,,即,
    由题意可得,则,解得;
    当时,在上单调递减,
    则,,即,
    由题意可得,则,解得;
    综上所述,,显然.
    故选:ABD.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 已知函数则__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用分段函数的解析式求出,所以.
    【详解】因为函数,则,所以,
    故答案为:.
    13. 设集合,,其中、、、、是五个不同的正整数,且,已知,,中所有元素之和是246,请写出所有满足条件的集合A:__________________.
    【答案】或
    【解析】
    【分析】由题意可得 ,所以 ,分类讨论当 和 时情况,即可得出结果.
    【详解】由题意,得 ,所以 .
    由于 中有 9 ,因此 A 中有 3 ,此时集合有共同元素1,
    若 ,则 ,于是 ;
    此时且 ,无正整数解;
    若,集合有共同元素1和9,则,
    所以 ,且,而,
    所以,
    当 时, ;
    当 时, ;
    因此满足条件的共有2个,分别为.
    故答案为: 或
    14. 已知,,则的最小值是______.当取最小值时,恒成立,则的取值范围是_______.
    【答案】 ①. 1 ②.
    【解析】
    【分析】由可得,然后利用基本不等式可得的最小值及此时的关系,然后可解出的取值范围.
    【详解】因
    所以,
    当且仅当即时等号成立,
    当时,,所以当时取得最大值4
    所以由恒成立可得,解得
    故答案为:1;
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
    15. 已知全集,集合,,求:
    (1);
    (2);
    (3).
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据条件,利用集合交集运算,即可求出结果;
    (2)先求出全集,利用集合并集的运算,得到,再利用集合补集的运算,即可求解;
    (3)用集合补集的运算得到,再利用集合交集的运算,即可求解.
    【小问1详解】
    因为,,
    所以.
    【小问2详解】
    因为,又,
    所以.
    【小问3详解】
    因为,,
    所以,又,得到.
    16. 为持续推进“改善农村人居环境,建设宜居美丽乡村”,某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示,两块完全相同的长方形种植绿草坪,草坪周围(斜线部分)均摆满宽度相同的花,已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
    (1)若矩形草坪的长比宽至少多9米,求草坪宽的最大值;
    (2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米,求整个绿化面积的最小值.
    【答案】(1)米
    (2)平方米
    【解析】
    【分析】(1)设草坪的宽为米,长为米,得到,列出不等式,求得的范围,进而求得宽的最大值;
    (2)根据题意,得到,结合基本不等式,即可求解.
    【小问1详解】
    解:设草坪的宽为米,长为米,由面积均为400平方米,可得,
    因为矩形草坪的长比宽至少大9米,所以,
    可得,解得,
    又因为,所以,所以宽的最大值为米.
    【小问2详解】
    解:记整个的绿化面积为平方米,
    由题意可得
    (平方米)
    当且仅当时,即米时,等号成立,
    所以整个绿化面积的最小值为平方米.
    17. 已知,.
    (1)求证:函数在区间上是增函数;
    (2)求函数在区间上的值域.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)用单调性的定义证明即可.
    (2)由在区间上的单调性易得值域.
    【小问1详解】
    令,则

    又,,,即,
    所以函数在区间上是增函数.
    【小问2详解】
    由(1)知函数在区间上是增函数,又,
    所以函数在区间上的值域为.
    18 已知函数,.
    (1)当时,对任意,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;
    (2)当,时,解关于的不等式;
    (3)当,时,若点,均为函数与函数图象的公共点,且,求证:.
    【答案】(1);
    (2);
    (3)证明见解析.
    【解析】
    【分析】(1)把代入,利用不等式恒成立分离参数,再利用单调性求出函数最值即可.
    (2)把代入,借助一元二次不等式分段求解即得.
    (3)由建立方程,作差变形,结合基本不等式及一元二次不等式求解证得.
    【小问1详解】
    当时,,,
    对任意,关于的不等式恒成立,
    即在上恒成立,即在上恒成立,
    即当时,的最大值为0,则,所以实数的取值范围
    【小问2详解】
    当时,不等式,即,
    当时,成立,则,
    当时,得,即解,解得;
    当且时,得,解得,
    所以不等式的解集为.
    【小问3详解】
    由,得,
    即,
    由点,均为函数y=fx与函数y=gx图象的公共点,
    得,

    两式相减得,
    由,得,
    则,
    令,则,
    整理得,解得,
    所以.
    19. 对于二次函数,若,使得成立,则称为二次函数的不动点.
    (1)求二次函数的不动点;
    (2)若二次函数有两个不相等的不动点,且,求的最小值.
    【答案】(1)不动点为和;
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据题意得到,解该一元二次方程即可得解;
    (2)根据题意,转化为有两个不相等的正实数根,结合根与系数的关系,得到,且,化简,结合基本不等式,即可求解.
    【小问1详解】
    令,可得,
    可得,解得,
    所以二次函数不动点为和.
    【小问2详解】
    二次函数有两个不相等的不动点,且,
    则方程有两个不相等的正实数根,
    即方程有两个不相等的正实数根,
    所以,且,
    因为,即,解得,可得,
    所以

    当且仅当,即时等号成立,
    所以的最小值为.

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