精品解析：北京市中央民族大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷

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一、单项选择题.本题共10道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.（每小题4分，共40分）
1. 如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
3. 已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为（ ）
A B. C. D.
4. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（ ）
A. B. C. D. 4
5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，l//m，则
C. 若，，则D. 若，α//β，则
6. 已知向量，，，若，，共面，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 9
7. 在正方体中，直线与直线所成角大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知平面，，直线，如果，且，，，则是的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 如图，在正方体中，点P为棱的中点，点Q为面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（ ）
A. 47mB. 48mC. 49mD. 50m
二、填空题，本题共5道小题（每小题5分，共25分）
11. 已知，，则_________．
12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则______．
13. 如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，，则等于____________.
14. 已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______．
15. 已知正方体的棱长为2，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论：
①的面积的最大值为；
②满足使的面积为2的点有且只有4个；
③点可以是的中点；
④线段的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题，（本题共6道小题共85分）
16. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.
（1）求直线的斜率；
（2）求中线的方程.
17. 如图，在棱长为2正方体中，点E，F分别是棱，的中点.求证：
（1）∥平面；
（2）平面.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．

（1）求证：平面ADE⊥平面PCD；
（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，点是的中点，直线交平面于点.

（1）求证：点是的中点；
（2）求二面角的大小
（3）求点到平面的距离.
20. 在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
21. 个有次序实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．