精品解析：北京市平谷中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 某工厂有共五个车间，各车间人数所占比例依次为：车间，车间车间车间车间．现采用分层抽样的方法，从该工厂所有人中抽取300人作为样本，则该样本中得到车间或车间的人数共为（ ）
A. 195B. 165C. 120D. 45
2. 已知向量，，并且，则实数x值为（ ）
A. 10B. -10C. D.
3. 圆心在轴上，半径为1，且过点1,2的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某校举办知识竞赛，将人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下．则根据频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）

A. 中位数估计为B. 众数估计为
C. 平均数估计为D. 第百分位数估计为
5. 圆的圆心到直线的距离是（ ）
A. B. C. 1D.
6. 设不同直线：，：，则“”是“”的
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
8. 从甲袋中摸出1个红球概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是（ ）
A. 2个球不都是红球的概率B. 2个球都是红球的概率
C. 至少有1个红球的概率D. 2个球中恰有1个红球的概率
9. 已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ）
A.
B. 点D到平面的距离为
C. 点D到直线的距离为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分
11. 直线（a为常实数）的倾斜角的大小是_______________．
12. 经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是__________.
13. 某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，则甲停车付费恰好6元的概率为__________.
14. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽为___________米.
15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论：

①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为；
②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值；
③存在点，，使得平面；
④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题，共8B分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 求下列直线方程
（1）已知，，，在中：
（ⅰ）求BC边所在的直线方程
（ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程，
（2）已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程.
17. 已知的顶点，直线的方程为，边上的高 所在直线的方程为.
（1）求顶点和的坐标；
（2）求外接圆的一般方程.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4.
（1）求角C的大小；
（2）若，求边长c.
19. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：
（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数：
（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；
（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.
20. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21. 设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记
M（）=．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
06
0.4
题号
学生编号
1
2
3
4
5
1
×
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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×
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
实测难度