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精品解析：北京市第十五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
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本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集或，则集合（ ）
A. B. C. 或D.
2. 方程组的解集是（ ）
A B.
C. D.
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列命题正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（ ）
A. （2，+∞）B. （1，2）C. （0，1）D. （﹣1，0）
6. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在函数①，②，③，④中，以2为最小值的函数的序号为（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
10. 设函数，给出下列四个命题：
①当时，为奇函数；
②函数的图像关于点对称；
③当时，存在，使得有两个不同的零点；
④存在，使得函数有三个不同的零点．
其中，真命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域是______．
12. 不等式的解集是________．
13. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
14. 已知函数，且当时，总有，则实数的取值范围是______．
15. 设函数若,则的单调递增区间是___________;若的值域为,则的取值范围是_____________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知全集，集合，其中．
（1）化简集合A，并求集合；
（2）若，求集合；
（3）若，都有或，求实数的取值范围．
17. 已知函数，满足下列两个条件
条件①：；
条件②：；
（1）求，值；
（2）已知函数有两个不同正数零点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求值．
18. 已知函数．
（1）判断函数是否具有奇偶性，并证明；
（2）当时，判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）当时，求函数的值域．
19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值．
20. 已知二次函数，且．
（1）求实数的值，并求函数在区间上的最小值．
（2）求关于的不等式的解集．
21. 如果是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，都有，则称该函数是“函数”．
（1）分别判断下列函数：
①；②；③是否为“函数”？
（直接写出结论）
（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；
（3）设“函数”在R上单调递增，求所有可能的集合A与．
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集或，则集合（ ）
A. B. C. 或D.
2. 方程组的解集是（ ）
A B.
C. D.
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列命题正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（ ）
A. （2，+∞）B. （1，2）C. （0，1）D. （﹣1，0）
6. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在函数①，②，③，④中，以2为最小值的函数的序号为（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
10. 设函数，给出下列四个命题：
①当时，为奇函数；
②函数的图像关于点对称；
③当时，存在，使得有两个不同的零点；
④存在，使得函数有三个不同的零点．
其中，真命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域是______．
12. 不等式的解集是________．
13. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
14. 已知函数，且当时，总有，则实数的取值范围是______．
15. 设函数若,则的单调递增区间是___________;若的值域为,则的取值范围是_____________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知全集，集合，其中．
（1）化简集合A，并求集合；
（2）若，求集合；
（3）若，都有或，求实数的取值范围．
17. 已知函数，满足下列两个条件
条件①：；
条件②：；
（1）求，值；
（2）已知函数有两个不同正数零点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求值．
18. 已知函数．
（1）判断函数是否具有奇偶性，并证明；
（2）当时，判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）当时，求函数的值域．
19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值．
20. 已知二次函数，且．
（1）求实数的值，并求函数在区间上的最小值．
（2）求关于的不等式的解集．
21. 如果是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，都有，则称该函数是“函数”．
（1）分别判断下列函数：
①；②；③是否为“函数”？
（直接写出结论）
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（3）设“函数”在R上单调递增，求所有可能的集合A与．
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