湖北省鄂州市梁子湖区梁湖初中联盟2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

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【详解】解：，则，
∴，
故选：A．
2．D
【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数为常数，，顶点坐标是，据此求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设这个航空公司共有个飞机场，根据题意，得
故选：D．
5．B
【详解】∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，
∴∠AOC＝65°，
∵∠AOB＝30°
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35°
故选B．
6．C
【详解】解：∵，
∴该二次函数的对称轴为直线，开口方向向上，
当时，y随x的增大而减小，且点均在此抛物线上，
，
∴．
故选：C．
7．C
【详解】解：连接，CF，利用格点作线段，CF的垂直平分线，如图，
交点N即为旋转中心，
故选C．
8．B
【详解】解：∵一次函数，二次函数。
∴图象与轴的交点为同一点，故选项D不合题意，
当二次函数的对称轴在轴右侧时，，即、异号，，此时一次函数的图象应该经过二、四象限，故AC不正确；、
当二次函数的对称轴在轴左侧时，，即、同号，，此时一次函数的图象应该经过一、三象限，故选项B可能，符合题意，
故选：B．
9．C
【详解】解：①当时，方程为，
解得，，
∴，
∵，且，
∴该方程是“友好方程”，故①正确；
②∵，
∴，
∴或，
∴，或，，
∵该方程是“友好方程”，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
当，时，
∵，
∴，
解得，
∵有且仅有个整数满足要求，
∴此时的值不存在；
当，时，，
解得，
又∵，
∴此时满足要求的整数的值只有，−2两个，故②错误；
综上，结论①正确，②错误，
故选：．
10．A
【详解】由旋转的性质和正三角形的性质可判断①；根据三角形的全等的判定与性质可判断②；由三角形的面积公式可以判断；根据③的结论可判断④的正误；再由费马点的性质可以确定⑤正误．
【解答】解：如图，连接，
线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，
，
是正三角形，，
①正确，符合题意；
由①可得，
为正三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
无法判断
∴②错误，不符合题意；
过点作垂直的延长线于点，如图所示：
由①知
又，
在，，
③
③正确，合题意；
，
④错误，不合题意；
如图所示，把绕点逆时针旋转60°得到（点，的对应点分别为点），连接，则，．
，
为等边三角形，
，
，
当四点在同一直线上时，的值最小，此时
由旋转的性质可得，，
又，
为等边三角形，
，
，，
，
，
∴，
设交于点，则
∴，则
∴
∴，即
∴
则
⑤正确，符合题意．
故选：A．
11．x=±5
12．
13．．
【详解】解：设抛物线的表达式为：y=a（x-h）2+k=a（x-3）2+5，
将点（9，0）代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
令x=0，则，即
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
14．
【详解】解：抛物线（，，是常数）的顶点在第四象限，且，
该函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，当时，，
，，，
故结论错误，不符合题意；
，，，
，
故结论错误，不符合题意；
对于方程，
当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，
当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，
，能使方程左右两边相等，
，是方程的解，
又方程是一元二次方程，最多只有两个解，
方程的解为，，
故结论正确，符合题意；
，
，
，
，
化简可得：，
即：抛物线对称轴，
又，
当时，随的增大而减小，
故结论正确，符合题意；
综上所述，正确的结论是，
故答案为：．
15．//
【详解】解：在中，，，
，
，
点在以为直径的圆上，
设的中点为，连接，当点在线段上时，的值最小，连接，
，，
，
点为的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
∵，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：
∴
解得：
（2）解：
∴
∴或
解得：
17．(1)向上
(2)
(3)
(4)或
【详解】（1）解：∵，
∴开口向上，
故答案为：向上；
（2）解：当x=0时，，
∴与y轴的交点坐标为，
故答案为：；
（3）解：对于，
可得对称轴为直线：，
∵，开口向上
∴当时，，
故答案为：；
（4）解：当时，则，
解得：，
∴与抛物线的两个交点的横坐标分别为
如图：
∴当，自变量x的取值范围为或．
18．30m，20m
【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)见解析
【详解】（1）解：如图1，线段即为所求．
（2）如图1，连接并延长，交线段于点，
则，
即点为所求．
（3）如图2，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，
线段是由线段绕点顺时针旋转得到的，
点的坐标为．
故答案为：．
（4）如图3，延长至点，使，过点作，且，再过点作的垂线，交于点，
点是点关于直线的对称点，
连接，交于点，连接，
此时满足最小，最小值为的长，
则点即为所求．
20. (1)25°
(2)4
21．(1)见解析
(2)或
【详解】（1）证明：∵，
该方程总有两个实数根；
（2）解：方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，

，
∴
即，
或，
∴或．
22．； 未来40天内，后20天中第21天的日销售利润最大，为513元；
【详解】解：由题可设m与t之间的函数关系式为，由题意，得
解得故m与t之间的函数关系式为；
设后20天的日销售利润为w元，
则有
当时，w随t的增大而减小
当时，w最大，为．
故未来40天内，后20天中第21天的日销售利润最大，为513元；
设前20天中，扣除捐赠后的日销售利润为L元，
则
要使当时，L随t的增大而增大，则，解得，
故a的取值范围为．
23．证明体验：见解析；思考探究：；拓展延伸：12
【详解】解：（1）和都是等边三角形
,,
，即
在和中
.
（2）如图，以AD为边作等边，过点E作交CA的延长线于点F，则
，，
等边，
，，
，即，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
.
（3）12
，
将绕点A逆时针旋转得到，连接CE，
则，，
；
，
；
；
；
，
；
过点A作于F，于G.
四边形为矩形，
，
.
24．(1)，点，点；
(2)的最大值为；
(3)直线恒过定点2,−1．
【详解】（1）对于，令，则，
∴，
∴点，点，
令，则，
∴点；
（2）过点P作轴于E，交于点F，如图1：
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴△OBC为等腰直角三角形.
∴∠OBC=45°，
∵轴，
∴轴，
∴=45°，
∵，
∴∠PDF=90°，
∴△DFP为等腰直角三角形，
∴PD=22PF，
∴，
∴当时，最大为；
（3）证明：如图2，设点，
直线，直线，直线，
整理得：，
则，，
同理：，，
∵，
∴，
∴，
，
联立直线与直线的解析式得：，
解得：，
∵直线与直线的交点始终在直线上，
∴，
化简得：，
∴，
∴直线，
∴不论为何值，均有时，，
即：直线恒过定点．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
D
B
C
C
B
C
A