浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸.等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∵，∴
∴，
故选：A
2. 设复数满足，则的虚部为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】复数满足，则.
则的虚部为-2.
故选：B.
3. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知直线的一个方向向量为，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率. 因为直线的斜率，且，所以.
故选：A.
4. “”是方程“表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】要使方程表示双曲线，则.
解不等式，可得.
当时，不一定满足，例如当时，方程不表示双曲线；
而当方程表示双曲线时，一定有，那么一定满足.
所以是方程表示双曲线的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】根据诱导公式，，则，即.
根据二倍角公式，则.
将其分子分母同时除以得到，进一步化为.
把代入上式，可得.
故选：C.
6. 已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】动点在平面上运动，且不共线，
则存在实数，使.
即，
所以.
又， 不共面，
由空间向量基本定理可知，故，
解得.即.
因为四面体正四面体，且棱长为.
所以，.
所以
.
故选：C.
7. 已知事件满足，则（ ）
A. 若与相互独立，则
B. 若与互斥，
C. 若，则与相互对立
D. 若，则
【答案】D
【解析】选项A，若A与B相互独立，则 A与相互独立，
所以，故A错误；
选项B，若A与B互斥，则不可能同时发生，
即，故B错误；
选项C，若，则由于不确定C与B是否互斥，
所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，
设事件“出现奇数点”；事件“出现点数不大于”，
则，
但事件并不互斥，也不对立，故C错误；
选项D，若，则，
则，故D正确
故选：D.
8. 设，若存在，使为偶函数，则可能的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数，.
则是偶函数，
因为不可能是奇函数，
由两函数解析式可知，若和都是偶函数，满足题意.
要使为偶函数，
则，即，
当时，，
函数为偶函数，要使为偶函数，
只需为偶函数即可.
由恒成立，
即对任意恒成立，
（不合题意，舍去），
或，.
可得，，即，
取可得，故C正确，其余选项不存在，使其成立.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9. 已知圆与圆交于两点，则（ ）
A. 两圆半径相同B. 两圆有3条公切线
C. 直线的方程是D. 线段的长度是
【答案】AD
【解析】，，所以A选择正确；
，，∴，两个圆相交，所以有2条公切线，B选项错误；
两个方程相减得，C选项错误；
垂径定理可得，∴，D选项正确；
故选：AD.
10. 已知样本数据是两两不同的四个自然数，且样本的平均数为4，方差为5，则该样本数据中（ ）
A. 众数为4B. 上四分位数为6
C. 中位数为4D. 最小值为1
【答案】BCD
【解析】已知样本数据的平均数为，根据平均数公式，可得.又已知方差为，根据方差公式
，
则. 展开结合，
则，则即，则.开方则.
不妨设，则，
（1）当时，，，显然无解.
（2）当时，，，则，开方则.再讨论：
令，显然无满足题意自然数解.
令，显然无满足题意自然数解.
（3）当时，，，则，开方则.再讨论：
令，显然无满足题意自然数解.
令，显然满足题意自然数解.
（4）当时，，，则，开方则.又，则，显然无满足题意自然数解.
（5）当时，，，
则，开方则.又，
则显然无满足题意自然数解.
综上所得，满足题意得自然数解只有：.
分析各个选项.
众数：众数是一组数据中出现次数最多数，这里数据两两不同，没有众数，所以A选项错误.
上四分位数：，即，所以上四分位数为，B选项正确.
中位数：将数据从小到大排序为，中位数为. C选项正确
最小值：最小值为，D选项正确.
故选：BCD.
11. 数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点，动点到的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（ ）
A. 双纽线有对称中心和对称轴
B. 双纽线方程是
C. 的最大值为
D. 面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，关于原点对称，设点是双纽线上的点，
那么点关于原点对称点到，的距离之积与到，的距离之积相同.
关于轴，设在双纽线上，点关于轴对称的点到，的距离之积与到，的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和对称轴，A选项正确.
对于B，设， ，.
因为，所以.
展开可得.
进一步展开.
令，则，即.
将代回得.
展开.
整理得，B选项正确.
对于C，由均值不等式.
已知，所以，当且仅当时取等号，
的最小值为，C选项错误.
对于D，设，根据三角形面积公式.
因为，所以.
因为最大值为，所以的最大值为，D选项正确.
故选；ACD.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知点为抛物线的焦点，则点坐标为______．
【答案】
【解析】已知点为抛物线的焦点，则焦点在x轴上，
则,由抛物线焦点坐标公式知道点坐标为.
故答案为：.
13. 若关于的方程有解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】令 ，则，
则，即.
方程有解，
可转化为，
即关于的方程，有解.
设，，
则，
则当即时，
取最大值，；
当即时，
取最小值，；
则的值域为，
要使有解，则的取值范围是.
故答案为：.
14. 棱长为2的正方体中，为内一点，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】如图，连接与平面交于点，
因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，则平面，
由平面，则，
同理可得：，且，平面，
所以平面，
因为，且为边长为的等边三角形，
即，解得，
又因为，则，
且的内切圆半径，外接圆半径，
即，可知点在以为圆心，半径为的圆上（且在内），
当且仅当点在线段上时，取到最小值，
又因为，
可得，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知直线．
（1）若直线与直线平行，求的值；
（2）若圆关于直线的对称图形为曲线，直线过点，求曲线截直线所得的弦长的最小值．
解：（1）因为直线与直线平行，
则，解得.
（2）圆关于直线的对称图形为曲线是圆，
圆的圆心为，半径为，
设圆心，直线的斜率为，
由题意可得，解得，
所以，圆的标准方程为，
因为，所以，点在圆内，
当时，圆心到直线的距离取最大值，且，
所以，圆截直线的弦长的最小值为.
16. 在平面四边形中，，点在上且满足，且
（1）求；
（2）若，求四边形周长的最大值
解：（1）在中，由正弦定理得：，
又，则，于是．
（2）依题意，，
则，有，，
则，在中，，
令，在中，由余弦定理得
，
于是，解得，
当且仅当时取等号，
所以四边形周长的最大值为.
17. 已知四棱锥的底面为等腰梯形，，

（1）求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为，求二面角的平面角的余弦值
解：（1）过点作交于点，如下图所示，
四边形为等腰梯形，，
，所以，即，即，
又平面，
平面.
（2）方法一：设四棱锥的高为，
，
四边形为平行四边形，
，
，
又平面；
如图，以为原点，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，

，，
，，
且
，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，
取，则，，
设面法向量为n=a,b,c，则，
取，则，得，
由题意，，
设二面角夹角为是钝角，则．
方法二：设四棱锥的高为，，
，
又平面；
又平面平面平面，
过作交延长线于，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
过作的垂线，垂足为，连，
由于平面，
平面
平面，，
则为所求二面角的平面角的补角．

，
四边形平行四边形，
，
，，
，，
平面，平面，
，，
设二面角的平面角为则．
18. 椭圆，动直线与椭圆相切于点，且点在第一象限．
（1）若直线的斜率为．求点的坐标；
（2）若过原点的直线与垂直，垂足为，求面积的最大值．
解：（1）设直线：，代入椭圆，
得：
动直线与椭圆相切于点．
又因为点在第一象限，．
方程的解为，得
（2）如图：
设直线交轴于
因为直线与垂直，．联立与，得
将代入椭圆
得
动直线与椭圆相切于点得
即
当且仅当，即时取等号．面积的最大值为．
19. 曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点它们之间的曼哈顿距离
（1）已知点，求的值；
（2）已知平面直角坐标系内一定点，动点满足，求动点围成的图形的面积：
（3）已知空间直角坐标系内一定点，动点满足，若动点围成的几何体的体积是，求的值．
解：（1）．
（2）设，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以动点围成的图形是正方形，边长为，面积为8．
（3）动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，
其体积为．
证明如下：
不妨将平移到，处，设，
若，则，
当时，即，
设，
由，得
所以四点共面，
所以当时，在边长为的等边三角形内部（含边界），
同理可知等边三角形内部任意一点，均满足．
所以满足方程的点，
构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）、
由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形．
故该几何体体积．