模块二 知识全整合专题1 数与式 第2讲 整式与因式分解 （含解析）-最新中考数学二轮专题复习训练

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专题1 数与式
第2讲 整式与因式分解
一、代数式及相关概念
1.代数式：用运算符号把数与字母连结而成的式子叫做代数式．要按照代数式的书写规则写代数式．
2.单项式：数与字母的乘积的代数式叫单项式．单独的一个数或字母与是单项式．单项式里面的数字因数叫估单项式的系数，单项式里面所有字母因数的指数和叫做单项式的次数．
3.多项式：几个单项式的和叫多项式．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．没有字母的项叫常数项．
4.整式：单项式和多项式统称整式．可以按要求对整式进行升幂排列或降幂排列．
二、整式的运算
1.幂的运算法则：
（1）同底数的幂相乘：；
（2）同底数的幂相除：；
（3）幂的乘方：；
（4）积的乘方：；
2.整式的加减法则
（1）去括号法则：，；
（2）同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同；
合并同类项法则：；
3.整式的乘除法则
（1）单项式乘单项式：系数相乘，同底数的幂相乘；
（2）单项式乘多项式：；
（3）多项式乘多项式：；
（4）单项式除单项式：系数相除，同底数的幂相除；
（5）多项式除以单项式：；
4.乘法公式
（1）平方差公式：；
（2）完全平方公式：；
5.因式分解的基本方法
（1）提公因式法
公因式的确定：
系数：取各项系数的最大公约数；
字母：取各项相同的字母；
指数：取各项相同字母的最低次数；
提公因式法则：；
（2）运用公式法
平方差公式：；
完全平方公式：；
（3）十字相乘法：；
（4）分组分解法：分组后有公因式，分组后能用公式．
名师解读《义务教育数学课程标准》（2022年版）
学业要求：
1.能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，会选择适当的方法求代数式的值；
2.会用文字和符号表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算；
3.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；
4.知道平方差公式、完全平方公式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理；能用提公因式法、公式法进行因式分解；
【例1】
（2023·河北·统考中考真题）
1．代数式的意义可以是（ ）
A．与x的和B．与x的差C．与x的积D．与x的商
【变1】
（2023·吉林长春·统考中考真题）
2．2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【例1】
（2023·江苏南通·统考中考真题）
3．若，则的值为（ ）
A．24B．20C．18D．16
【变1】
（2023·山东·统考中考真题）
4．已知实数满足，则 ．
【例1】
（2023·山东·统考中考真题）
5．已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【变1】
（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）
6．在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）

【例1】
（2023·江苏镇江·统考中考真题）
7．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）

A．128B．64C．32D．16
【变1】
（2023·四川乐山·统考中考真题）
8．若m、n满足，则 ．
【例1】
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
9．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变1】
（2023·青海西宁·统考中考真题）
10．计算：．
【例1】
（2023·四川攀枝花·统考中考真题）
11．我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②

③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变1】
（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
12．若实数m满足，则 ．
【例1】
（2023·湖南·统考中考真题）
13．先化简，再求值：，其中．
【变1】
（2023·内蒙古·统考中考真题）
14．先化简，再求值：，其中，．
【例1】
（2023·山东·统考中考真题）
15．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变1】
（2023·辽宁丹东·统考中考真题）
16．因式分解： ．
一、选择题
（2023·四川雅安·统考中考真题）
17．若．则的值是（ ）
A．B．C．5D．
（2023·云南·统考中考真题）
18．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
（2023·山东济南·统考中考真题）
19．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（2023·四川德阳·统考中考真题）
20．已知，则（ ）
A．yB．C．D．
（2023·湖北随州·统考中考真题）
21．设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )

A．6B．7C．8D．9
（2023·四川攀枝花·统考中考真题）
22．以下因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（2023·四川绵阳·统考中考真题）
23．如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）

A．B．C．D．
（2023·四川德阳·统考中考真题）
24．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A．B．mC．D．
二、填空题
（2023·广东深圳·统考中考真题）
25．已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
（2023·四川凉山·统考中考真题）
26．已知，则的值等于 ．
（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）
27．已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
28．因式分解： ．
（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）
29．因式分解： ．
（2023·湖南张家界·统考中考真题）
30．因式分解： ．
（2022·四川内江·统考中考真题）
31．分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）
32．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
（2023·湖北十堰·统考中考真题）
33．用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．

三、解答题
（2023·吉林长春·统考中考真题）
34．先化简．再求值：，其中．
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
35．先化简，再求值：，其中，.
（2023·广东广州·统考中考真题）
36．已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
（2022·青海西宁·统考中考真题）
37．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
参考答案：
1．C
【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答．
【详解】解：的意义可以是与x的积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键．
2．
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
3．D
【分析】根据得到，再将整体代入中求值．
【详解】解：，
得，
变形为，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键．
4．8
【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
5．A
【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．
【详解】解：∵，
∴，，，，…….；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
6．##
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
7．A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
8．16
【分析】先将已知变形为，再将变形为，然后整体代入即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键．
9．D
【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，解题的关键是熟练这些法则．
10．
【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；
【详解】解：原式

.
【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键．
11．D
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
12．
【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．
13．，6
【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答．
【详解】解：，
，
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键．
14．，45
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．
【详解】原式
．
当，时
原式．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．
15．C
【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
16．
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式．
17．A
【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可．
【详解】解：∵
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为．
18．C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
19．D
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等运算法则逐项判断即得答案.
【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算错误，不符合题意；
D、，故本选项运算正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
20．D
【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选D
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“”是解本题的关键．
21．C
【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数．
22．B
【分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，．
【详解】解：；故A不正确，不符合题意．
；故B正确，符合题意．
；故C，D不正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
23．C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
24．D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案．
【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后得到整式串m，n，，，；
第4次操作后得到整式串m，n，，，，；
第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
∵，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为，
故选D
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．
25．42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
26．2023
【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可．
【详解】解：由得：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．
27．或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴，
解得或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
28．
【分析】将整式变形含有公因式，提取即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．
29．
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
30．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．
31．（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【分析】首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．
【详解】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．
32．
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
33．##
【分析】当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根计算即可．
【详解】解：当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
第n个图案有个三角形，
每个三角形用三根，
故第n个图案需要火柴棍的根数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．
34．；
【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
35．，
【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可．
【详解】
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开．
36．(1)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①当选择A、B时：
，
；
②当选择A、C时：
，
；
③当选择B、C时：
，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
37．(1)
(2)
(3)，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根据题意得，，
∴原式．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．