模块二 知识全整合专题1 数与式 第4讲 数的开方与二次根式（含解析） -最新中考数学二轮专题复习训练

这是一份模块二 知识全整合专题1 数与式 第4讲 数的开方与二次根式（含解析） -最新中考数学二轮专题复习训练，共25页。试卷主要包含了知识全整合等内容，欢迎下载使用。
专题1 数与式
第4讲 数的开方与二次根式
一、平方根与立方根
1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，记作：；
正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；
2.算术平方根：a的算术平方根是，；
3.立方根：如果，那么x叫做a的立方根，记作：；
正数的立方根是正数，零的立方根是零，负数的立方根是负数，于是有：；
4.平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算，开方与乘方互为逆运算；
二、二次根式
1.二次根式：形如，其中，这样的式子叫做二次根式；
2.二次根式有意义：二次根式有意义的条件是；
3.二次根式的性质：
（1）；
（2）双重非负性：，；
（3）；
4.二次根式的运算
（1）二次根式的乘除法
，；
，
（2）最简二次根式：被开方数不含开得尽方的因数和因式，被开方数不含分母，分母不含二次根式；
（3）同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式；
（4）二次根式的加减法
（5）有理化
有理化因式：两个二次根式的积是有理数或整式，这两个二次根式互为有理化因式；
分母有理化：化掉分母中的二次根式，称为分母有理化；
【例1】
（2023·山东·统考中考真题）
1．面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根B．9的算术平方根C．9的立方根D．5的算术平方根
【变1】
（2023·湖南永州·统考中考真题）
2．下列各式计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例1】
（2022·四川攀枝花·统考中考真题）
3． ．
【变1】
（2022·福建龙岩·校考模拟预测）
4．若式子与互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例1】
（2023·山东·统考中考真题）
5．的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【变1】
（2023·广东广州·统考中考真题）
6．已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．B．1C．D．
【例1】
（2023·重庆·统考中考真题）
7．估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【变1】
（2023·湖北荆州·统考中考真题）
8．已知，则与最接近的整数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【例1】
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
9．从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【变1】
（2023·湖南张家界·统考中考真题）
10．阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
(1)当，时，______，______；
(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当，时，令，，，…，，且，求T的值．
一、选择题
（2023·江苏无锡·统考中考真题）
11．实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．C．D．
（2023·四川巴中·统考中考真题）
12．下列各数为无理数的是（ ）
A．0.618B．C．D．
（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
13．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
（2022·湖北黄石·统考中考真题）
14．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．且
（2023·山东青岛·统考中考真题）
15．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·河北·统考中考真题）
16．若，则（ ）
A．2B．4C．D．
（2023·广东湛江·三模）
17．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．（，）D．（）
（2023·山东烟台·统考中考真题）
18．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·重庆·统考中考真题）
19．估计的值应在（ ）
A．7和8之间B．8和9之间
C．9和10之间D．10和11之间
（2022·内蒙古·中考真题）
20．实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）

A．1B．2C．2aD．1﹣2a
二、填空题
（2023·山东滨州·统考中考真题）
21．一块面积为的正方形桌布，其边长为 ．
（2023·江苏徐州·校考三模）
22．64的平方根与立方根的和是 ．
（2023·四川内江·统考中考真题）
23．若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）
24．若式子有意义，则x的取值范围是 ．
（2023·四川内江·统考中考真题）
25．在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ．
（2023·内蒙古·统考中考真题）
26．观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
（2023·四川凉山·统考中考真题）
27．计算 ．
（2023·山东聊城·统考中考真题）
28．计算： ．
（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）
29．计算的结果是 ．
（2022·四川眉山·中考真题）
30．将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
三、解答题
（2023·福建·统考中考真题）
31．计算：．
（2023·山东淄博·统考中考真题）
32．先化简，再求值：，其中，．
（2023·上海·统考中考真题）
33．计算：
（2023·甘肃武威·统考中考真题）
34．计算：．
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
35．［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，
所以，．

【实践应用】
任务一 完善的求值过程．

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．

参考答案：
1．B
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵面积等于边长的平方，
∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根．
故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
2．D
【分析】根据合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运算法则，逐个进行计算即可．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则并熟练运用．
3．
【分析】根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意可得，即有，两边立方，即可得到一元一次方程，解方程即可求解x，问题随之得解．
【详解】根据题意可得：，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数的定义，立方根以及解一元一次方程等知识，灵活利用立方根求解方程是解答本题的关键．
5．D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
6．A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
7．A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解：，
，
，即，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
8．B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：
∵，
∴,
∴与最接近的整数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
9．（或或，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择和，
则
．
②选择和，
则
．
③选择和，
则
．
故答案为：（或或，写出一种结果即可）．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
10．(1)，
(2)猜想结论：，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当，时，
原式；
当，时，
原式；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
11．A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．C
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：由题意知，0.618，，，均为有理数，
是无理数，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于熟练掌握无理数是无限不循环小数．
13．C
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
在数轴上表示如下：

故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
14．B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，
∴且
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
15．C
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16．A
【分析】把代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
17．A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐个判断即可，熟记最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是最简二次根式，故本选项符合题意；
、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、（，）中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、（），不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
18．C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
19．B
【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
【详解】解：
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
20．B
【分析】根据数轴得∶ 0