模块二 知识全整合专题3 函数及其图像 第2讲 一次函数的图象与性质（含解析）-最新中考数学二轮专题复习训练

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专题3 函数及图象
第2讲 一次函数的图象与性质
一、一次函数的概念
1．一次函数：用自变量的一次整式表示的函数；
2．一般形式：（k、b为常数，k≠0）；
3．正比例函数：（k为常数，k≠0）；
二、一次函数的图象与性质
1．系数K、b对图象的影响
2．两条直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
3．特殊直线
（1）x轴：直线y=0；
（2）y轴：直线x=0；
（3）与x轴平行的直线：直线y=a（a为常数）；
（4）与y轴平行的直线：直线x=a（a为常数）；
（5）第一、三象限的角平分线所在的直线：直线y=x；
（6）第二、四象限的角平分线所在的直线：直线y=-x；
4．直线的几何变换
（1）直线的平移规律：左加右减自变量，上加下减因变量；
（2）直线的对称规律：
关于x轴对称，自变量x不变，因变量y变为相反数；
关于y轴对称，自变量x变为相反数，因变量y不变；
关于原点对称，自变量x变为相反数，因变量y变为相反数；
三、待定系数法确定一次函数的解析式
1．设：设一次函数的解析式为
2．列：代入两点坐标或两组变量的值，得到二元一次方程组；
3．解：解方程组；
4．写：将k、b的值代入，写出解析式；
四、一次函数与方程、不等式
1．一次函数与方程
（1）一次函数与x轴的交点的横坐标就是方程的解；
（2）直线与直线的交点就是方程组的解；
2．一次函数与不等式
一次函数位于x轴上方对应部分的横坐标取值范围就是不等式的解集；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式；
2．会画出一次函数的图象；
3．会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；
4．会根据一次函数的图象和表达式，探索并理解K值的变化对函数图象的影响；
5．认识正比例函数中两个变量的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律；
6．会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系；
【例1】
（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【变1】
（2022·辽宁阜新·统考中考真题）
2．当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整．
(1)如图，将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度；
(2)将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移了______个单位长度；
(3)综上，对于一次函数的图像而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）（时）或将它向______（填“左”或“右”）（时）平移了个单位长度，且，，满足等式_______．
【例1】
（2023·湖南益阳·统考中考真题）
3．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小D．当时，
【变1】
（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）
4．关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
【例1】
（2023·湖北鄂州·统考中考真题）
5．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）

A．B．C．D．
【变1】
（2023·浙江杭州·统考中考真题）
6．在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．

【例1】
（2023·辽宁丹东·统考中考真题）
7．如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）

A．B．C．D．
【变1】
（2022·贵州贵阳·统考中考真题）
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例1】
（2023·四川广安·统考中考真题）
9．在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在直线上，若点的坐标为，且均为等边三角形．则点的纵坐标为 ．

【变1】
（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．

(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点．
①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；
②连接，，当的面积为时，请直接写出的值．
一、选择题
（2023·湖南娄底·统考中考真题）
11．将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
（2023·山东临沂·统考中考真题）
12．对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）

A．B．C．D．
（2023·宁夏·统考中考真题）
13．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
（2022·甘肃兰州·统考中考真题）
14．若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
（2022·江苏南通·统考中考真题）
15．根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
（2023·安徽滁州·校联考一模）
16．已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
（2022·辽宁阜新·统考中考真题）
17．如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
（2023·江苏南通·统考中考真题）
19．已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ．
（2022·山东济宁·统考中考真题）
20．已知直线y1＝x－1与y2＝kx＋b相交于点（2，1）．请写出b值 （写出一个即可），使x＞2时，y1＞y2．
（2022·江苏扬州·统考中考真题）
21．如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 ．
（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）
22．已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则 ．
（2023·四川南充·统考中考真题）
23．如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．

（2023·四川自贡·统考中考真题）
24．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

（2023·黑龙江·统考中考真题）
25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线上，顶点B在x轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是 ．
三、解答题
（2023·北京·统考中考真题）
26．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．
（2023·浙江温州·统考中考真题）
27．如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．

(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
（2023·青海西宁·统考中考真题）
28．一次函数的图象与轴交于点，且经过点．

(1)求点和点的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
(3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
（2023·河北·统考中考真题）
29．在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．

(1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
（2022·甘肃兰州·统考中考真题）
30．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
(1)求点的“倾斜系数”k的值；
(2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点的“倾斜系数”，且，求OP的长；
(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：运动，是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”，请直接写出a的取值范围．
K的正负
B的正负
图象经过的象限
函数的增减性
K>0
b>0
第一、二、三象限
Y随x的增大而增大
b3时，，
则y=kx+b>3的解集是．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．
22．或或
【分析】根据题意列出关于的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
解得或．
当时，它是一次函数，存在唯一“不动点”，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，新定义，一次函数的定义，对“不动点”的理解是解决本题的关键．
23．1
【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可．
【详解】解：，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
24．
【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，
∴有最小值，
作轴于点P，

则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，则，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立，，解得，
即；
过点D作轴于点G，

直线与x轴的交点为，则，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．
【分析】解直角三角形得出，，求出，证明，，得出，，总结得出，从而得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵轴，
∴点A的横坐标为，
∵，
∴点A的纵坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵轴，轴，
∴，，
∵轴，轴，轴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律．
26．(1)，；
(2)．
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．
【详解】（1）解：把点，代入得：，
解得：，
∴该函数的解析式为，
由题意知点C的纵坐标为4，
当时，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）知：当时，，
因为当时，函数的值大于函数的值且小于4，
所以如图所示，当过点时满足题意，
代入得：，
解得：．

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
27．(1)，
(2)
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点代入，得．
设直线的函数表达式为，把点，代入得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值随的增大而减小，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
28．(1)
(2)见解析
(3)坐标是，
【分析】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解；
（2）画出经过的直线，即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴令
解得
∴点的坐标是
∵点在一次函数的图象上
把代入，
得，
∴，
∴点的坐标是；
（2）解：如图所示，

（3）解：如图所示，当时，;
∵，，
∴，
当时，

∴符合条件的点坐标是，.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
29．(1)的解析式为；的解析式为；
(2)①；②的解析式为，图象见解析；
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式；
（2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果．
【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式为；
将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为；
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；
∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
②由于，
∴直线的解析式为；
函数图象如图所示：

（3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上，
∴，
设直线的解析式为，
把A、B两点坐标代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之间的关系式为：．
【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
30．(1)3
(2)①a-2b或b=2a，②OP=
(3)a>
【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；
（2）①由点的“倾斜系数”，由=2或=2求解即可；
②由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；
（3）当点P与点D重合时，且k=时，a有最小临界值，此时，=，则，求得a=+1；当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，此时，，则，求得：a=3+；即可求得时，a的取值范围．
【详解】（1）解：由题意，得，，
∵3>，
∴点的“倾斜系数”k=3；
（2）解：①a=2b或b=2a，
∵点的“倾斜系数”，
当=2时，则a=2b；
当=2时，则b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵的“倾斜系数”，
当=2时，则a=2b
∵，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP=；
当=2时，则b=2a，
∵，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP=；
综上，OP=；
（3）解：由题意知，当点P与点D重合时，且k=时，a有最小临界值，如图，连接OD，延长DA交x轴于E，
此时，=，
则，
解得：a=+1；
∵则;
当点P与B点重合，且k=时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，
此时，，
则，
解得：a=3+，
∵,则;
综上，若P的“倾斜系数”，则a>．
【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定义，（3）问求临界值．