模块二 知识全整合专题3 函数及其图像 第4讲 反比例函数（含解析） -最新中考数学二轮专题复习训练

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专题3 函数及图象
第4讲 反比例函数
一、反比例函数的概念
1．反比例函数：形如（K为常数，K≠0）的函数；
2．反比例函数的形式：
（1）一般形式：，（K≠0）；
（2）特殊形式：，，（K≠0）；
二、反比例函数的图象与性质
1．K对图象的影响
2．反比例函数的图象的对称性
（1）双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；
（2）双曲线是中心对称图形，对称中心是原点；
三、K的几何意义
（1）过双曲线上任意一点，分别引x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为；
（2）越大，图象越远离原点；
四、反比例函数的实际应用
构建反比例函数的解析式，结合反比例函数的图象和性质，解决实际问题．
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．结合具体情境用实例体会反比例函数的意义；
2．能根据已知条件确定反比例函数的表达式；
3．会用描点法画出反比例函数的图象；
4．知道当k>0和K<0时反比例函数图象的整体特征；
5．能用反比例函数解决简单的实际问题．
【例1】
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
1．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变1】
（2023·北京·统考中考真题）
2．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ．
【例1】
（2023·河北·统考中考真题）
3．如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．

【变1】
（2023·山东泰安·统考中考真题）
4．一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例1】
（2023·广东广州·统考中考真题）
5．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变1】
（2023·湖北宜昌·统考中考真题）
6．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【例1】
（2023·湖南湘西·统考中考真题）
7．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变1】
（2023·黑龙江·统考中考真题）
8．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）

A．B．C．D．
【例1】
（2023·山东滨州·统考中考真题）
9．如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．

(1)求直线的解析式；
(2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【变1】
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
10．在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．

(1)，，求函数的表达式及的面积；
(2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由．
【例1】
（2023·浙江台州·统考中考真题）
11．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．

(1)求h关于的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
【变1】
（2022·山东枣庄·统考中考真题）
12．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
一、选择题
13．如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ）
A．小于B．大于C．小于D．大于
14．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
16．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）

A．B．C．D．3
19．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或B．或
C．或D．或
二、填空题
20．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
21．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．

23．如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
三、解答题
24．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．C是y轴上的一点，连接、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)若的面积是6，求点C的坐标．
25．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
26．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
(1)_______，_______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
27．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质： ；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程-|x|＝5的解 ；
②写出不等式-|x|≤1的解集 ．
28．如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．

(1)求反比例函数的解析式．
(2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标．
K的正负
图象所在的象限
函数的增减性
K>0
第一、三象限
在每个象限内，y随x的增大而减小
K<0
第二、四象限
在每个象限内，y随x的增大而增大
x
1
2
4
y
4
2
1
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
…
1
3
4
6
…
…
4
3
2.4
2
…
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
参考答案：
1．C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
2．3
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
【详解】解：∵函数的图象经过点和
∴把点代入得，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
3．4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
4．D
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
5．C
【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限，
∴正比例函数经过二、四象限，
∴，
∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
则一次函数的图象一定不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质．
6．C
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
7．B
【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，

∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于；
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
8．C
【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
【详解】解：由题意，设，
∵过原点，
∴，
过点A作于E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
9．(1)
(2)当或时，；当时，
(3)或
【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）根据图象可知，，，当时， 或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
10．(1)函数的表达式为，的面积为
(2)不变，理由见解析
(3)在，理由见解析
【分析】（1）由，，可得，，，，则，当，，则；当，，解得，则；当，，解得，则；待定系数法求一次函数的解析式为，当，，则，根据，计算求解即可；
（2）求解过程同（1）；
（3）设直线的解析式为，将，，代入得，，解得，即，当，，则直线与边的交点坐标为，当，，进而可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，，，
∴，
当，，则；
当，，解得，则；
当，，解得，则；
设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，则，
∴；
∴函数的表达式为，的面积为；
（2）解：的面积不变，理由如下：
∵，，，，
∴，
当，，则；
当，，解得，则；
当，，解得，则；
设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，则，
∴；
∴的面积不变；
（3）解：直线与边的交点在函数的图像上，理由如下：
设直线的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，
∴直线与边的交点坐标为，
当，，
∴直线与边的交点在函数的图像上．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
11．(1)．
(2)该液体的密度为．
【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可；
（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．
【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
（2）解：把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．
12．(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
(2)y＝（x≥3）；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可；
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y=，
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，
解得k=13.5，
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：
当x=15时，y==0.9，
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
13．A
【分析】根据压力压强受力面积之间的关系即可求出答案.
【详解】解：假设为，
为，
.
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积之间的关系以及越大，越小
14．C
【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，
，
，且为整数．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
15．C
【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：在反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，
，
点，在第二象限，
，，
函数图象在第二象限内为增函数，，
．
，点在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
16．C
【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．
【详解】解：∵当时，有，
∴反比例函数的图象在一三象限，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．
17．A
【分析】本题考查反比例函数、一次函数图象的综合问题，对比例系数进行分类讨论，结合反比例函数和一次函数图象所在象限的特点即可得出答案，掌握函数图象所在象限的特点和数形结合的思想是关键．
【详解】解：分两种情况讨论：当时，一次函数的图象过一二三象限，
反比例函数的图象过一三象限，A选项符合题意；
当时，一次函数的图象过二三四象限，反比例函数的图象过二四象限，这种情况无符合题意的选项．
故选：A．
18．A
【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，

∵，，
∴．
∴．
∴．
∵点在第二象限，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．D
【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可．
【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴．
令，则，．
将点和点代入，得；
将点和点代入，得．
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
①当时，，
∴不符合要求，应舍去；
②当时，，
∴符合要求；
③当时，，
∴不符合要求，应舍去；
④当时，，
∴符合要求；
⑤当时，，
∴不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是或．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．
20．
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．
21．
【分析】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可．
【详解】解：设，
∵时，，
∴，
∴，
∵，
∴时，随着的增大而减小，
当时，，
∴当时，，
即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于；
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键．
22．##
【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴，
∵，
∴
∴
∴
∵点的坐标为．
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
23．
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
24．(1)，
(2)或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）设点，点E是一次函数与y轴的交点，求出，则，再由，得到，问题随之得解．
【详解】（1）解：点在比例函数上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∵点，点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，所示：

根据题意：设点，
∵点E是一次函数与y轴的交点，
∴点，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴或，
∴点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
25．(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【详解】（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
26．(1)2，
(2)①见解析；②函数值逐渐减小
(3)或
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【详解】（1）解：由题意，，
当时，由得，
当时，，
故答案为：2，；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：

②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，

由图知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
27．(1)①1；②见解析，③见解析
(2)的图象关于轴对称轴（答案不唯一）
(3)①或；②或
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【详解】（1）①列表：当x=2时，，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：
（2）观察函数图象可得：的图象关于y轴对称，
故答案为：的图象关于y轴对称；
（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，
的解是x=1或x=-1，
故答案为：x=1或x=-1，
②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，
∴的解集是x≤-2或x≥2，
故答案为：x≤-2或x≥2．
【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
28．(1)
(2)或
【分析】（1）作轴于点G，如图，证明四边形是矩形，得到， 推出，证明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A、B的坐标求出，进而得到点C的坐标为，再代入反比例函数的解析式即可；
（2）根据（1）中结论可得，由，利用两点距离公式求得，再由轴，，的平分线交直线于点，证明，即可分别求出的横纵坐标．
【详解】（1）解：作轴于点G，如图，

图1
∵轴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
设，则，解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
代入，得；
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当在A点右侧时：如图1中图所示，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F的坐标是．
，，
当在A点左侧时，如图2：
轴，的平分线交直线于点，
点纵坐标为2，，
，
，
点横坐标为，
，
综上所述：F或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．