模块二 知识全整合专题3 函数及其图像 第7讲 二次函数与方程、不等式综合（含解析） -最新中考数学二轮专题复习训练

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专题3 函数及图像
第7讲 二次函数与方程、不等式综合
一、二次函数与一元二次方程
1．抛物线与x轴交点的横坐标
抛物线，令y=0，则，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标；
2．抛物线与x轴交点情况
（1）抛物线与x轴的交点个数由判别式的值的正负确定；
（2）当时，抛物线与x轴有两个交点；
当时，抛物线与x轴只有一个交点；
当时，抛物线与x轴没有交点；
3．利用二次函数求一元二次方程的近似根
对于一元二次方程，令，画出函数的图像，抛物线与x轴的交点的横坐标就是方程的解；
二、二次函数与不等式
1．二次函数与一元二次不等式
的解集就是抛物线在x 轴上方的那部分图像对应的自变量的取值范围．
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．知道二次函数和一元二次方程之间的关系；
2．会根据二次函数的求其图像与坐标轴的交点坐标；
3．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；
【例1】（2023·四川巴中·统考中考真题）
1．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
【变1】（2023·河南鹤壁·统考三模）
2．已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
(1)抛物线对称轴为 ，A点坐标为 ．
(2)当时，不等式的解集为 ．
(3)已知点、，连接所得的线段与该抛物线有一个交点，求m的取值范围．
【例1】（2023·四川成都·校考三模）
3．在探究关于x的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值：
小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是 ，十分位是 ．
【变1】
（2023·河南商丘·统考二模）
4．为解方程，小舟根据学习函数的经验对其进行了探究，下面是其探究的过程，请补充完整：
(1)先研究函数，列表如表：
表格中，m的值为__________．
(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．
(3)观察图象，当时，满足条件的x的取值范围是__________．
(4)在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线．根据图象直接写出方程的近似根（结果保留一位小数）
【例1】（2021·广西贺州·统考中考真题）
5．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
【变1】（2023·山西太原·校联考二模）
6．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
任务：
(1)两个小组的方法主要运用的数学思想是______（从下面的选项中选择一个即可）．
A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．公理化思想
(2)请你选择阅读材料中的一个方法解不等式．请将函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程．
【例1】（2023·青海西宁·统考中考真题）
7．直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
【变1】（2023·江苏·统考中考真题）
8．已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_________，点的坐标是_________；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
一、选择题
（2023·湖北恩施·统考中考真题）
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
（2023·河北·统考中考真题）
10．已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．C．4D．
（2023·湖南·统考中考真题）
11．已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·四川自贡·统考中考真题）
12．经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10B．12C．13D．15
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
13．已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）
14．如图，二次函数与x轴交点坐标为，，当时，x的取值范围是
（2023·江苏镇江·统考二模）
15．已知一次函数和二次函数的自变量和对应函数值如表：
当时，自变量x的取值范围是
（2023·云南昆明·统考二模）
16．如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．

（2023·江苏南京·统考二模）
17．二次函数（是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 ．

（2023·湖南永州·统考二模）
18．我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：
例：已知关于x的方程有实数根，求t的最大值？
解：由题意可知，当t=0时，方程有实数解
当时，
即
∴
设函数
当时，
综上
(1)已知关于x的方程有实数根，则m的最大值为 ；
(2)已知方程有实数根，则x-2y的最大值为 ．
三、解答题
（2022·山东青岛·统考中考真题）
19．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
（2023·广东广州·统考模拟预测）
20．如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
（2023·河南南阳·统考三模）
21．如图，抛物线与直线交于点和点B．

(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)请结合图象直接写出不等式的解集；
(3)点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围．
（2023·云南·统考中考真题）
22．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
23．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①；②，其中，_________为函数的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值．

x
0
1
2
y
0
0
m
0
利用二次函数图象解不等式
数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？例如解不等式，同学们以小组为单位展开了讨论．
善思小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为，如图1，画出函数的图象，抛物线与x轴相交于和两点，这两个点将x轴分为三段，当或时，二次函数的图象位于x轴上方，此时，所以，即，所以此不等式的解集为或．
勤学小组受善思小组的启发，画出函数的图象和直线．如图2所示，它们相交于和两点，当或时，二次函数的图象位于直线的上方，此时，即，所以不等式的解集为或．
x
…
0
4
7
…
…
0
1
5
8
…
x
…
0
4
…
…
5
0
5
…
参考答案：
1．或
【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当时，函数的解析式为，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，
与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
①当时，
函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，
解得，
函数的解析式为，
当时，可得，
解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
2．(1)；
(2)或
(3)m的取值范围为或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程可得答案；令，求出x的值，即可得出答案．
（2）由题意得，，求出方程的解，进而可得答案．
（3）分别求出抛物线顶点在线段上、抛物线经过点M或点N时m的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，
令，得，
解得，
在B的左侧，
，
故答案为：；；
（2），
，
解方程，得，
的解集为或，
即不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）当抛物线的顶点在上时，
即有两个相等的实数根，
，
解得（舍去），；
当抛物线经过线段的左端点N时，
把代入，
得，
解得，
当抛物线经过线段的右端点M时，
把代入，
得，
解得；
综上所述，m的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点问题．
3． 1 1
【分析】根据表格可得，则方程的一个近似根取值范围为：，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：，
∴方程的一个近似根取值范围为：，
∴这个近似根的个位是1，十分为是1，
故答案为：1，1．
【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握正确理解表格中的数据，根据表格得出近似根的取值范围．
4．(1)
(2)见解析
(3)或
(4)
【分析】（1）将代入函数解析式进行求解即可；
（2）根据表格，描点，连线画出函数图象即可；
（3）结合图象即可得出结果；
（4）图象法解方程即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
故答案为：；
（2）根据（1）中表格数据，描点，连线，如图，
（3）解：由图象可知，
当或时，图象在轴上方，即：，
故答案为：或；
（4）解：作图如下：
由图象可得：方程的解为．
【点睛】本题考查函数的图象和性质．熟练掌握函数图象的画法，利用图象法解不等式和方程，是解题的关键．
5．D
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称
设与交点为，则，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．
6．(1)A
(2)见解析
【分析】（1）根据材料中两个小组的做法进行判别即可；
（2）根据材料中两个小组的解题步骤进行解答即可．
【详解】（1）两个小组都是画出了坐标系函数图象，通过观察图象得出的结论，
∴主要运用的是数形结合的思想，
故答案为：A；
（2）①选择善思小组的方法：将不等式进一步变形为，
画出函数的图象，
观察图象可知：抛物线与x轴相交于和两点，这两个点将x轴分为三段，
当时，二次函数的图象位于x轴下方，
此时，即，
∴不等式的解集为．
②选择勤学小组的方法：画出函数的图象和直线，
观察图象可知：函数的图象和直线相交于和两点，
当时，二次函数的图象位于直线的下方，
此时，即，
∴不等式的解集为．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的综合，熟练运用数形结合的思想方法是解题的关键．
7．B
【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
8．(1)①②或
(2)
(3)
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
②，
列表如下：
画出函数图像如下：

由图可知：当时，或；
（2）∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．

【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
9．B
【分析】由图象得 ，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知；
【详解】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，，
对称轴，，，故①错误；
故②错误；
抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时，
∴，得，故③正确；
由，，知，
∵，为方程的两个根，
∴
∴，故④正确；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．
10．A
【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
【详解】解：令，则和，
解得或或或，
不妨设，
∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴与原点关于点对称，
∴，
∴或（舍去），
∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11．B
【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，
∴分别是A、B、C、D的横坐标，
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
12．B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点
∴，
即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．C
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：，
，
点，都在直线的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
的开口向上，
的解为，
根据题意还可列不等式：，
，
可得，
整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
抛物线开口向下，
的解为或，
综上所述，可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．
14．##
【分析】写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想．
15．或##或
【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，画出草图，从而得到当时，自变量x的取值范围．
【详解】解：∵当时，；
当时，；
∴直线与抛物线的交点为和，
画出草图如图所示，

当时，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，对于二次函数（a、b、c是常数，）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
16．
【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．
【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，
当时，直线在抛物线上方，
不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
17．或
【分析】利用图象法解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴，
将不等式转化为两个函数：与的交点问题，
由图可知：点在抛物线，
又∵满足直线的解析式，
∴两个函数的交点坐标为：，

由图象可知：当或时，，
∴不等式的解集是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是将不等式转化为二个函数图象交点的问题，利用数形结合的思想进行求解．
18．
【分析】（1）仿照例题得出，进而根据二次函数的性质即可求解．
（2）令，则，将代入，得，根据题意得出，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵关于x的方程，即有实数根，
∴， ，，
即
∴
设函数
当时，
综上，
故答案为：5．
（2）令，则，将代入，
整理得，该方程有实数根，
∴
∴
有最大值
即的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
20．（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
21．(1)和
(2)或
(3)
【分析】（1）将点A的坐标代入，求出m、b的值即可；
（2）求出点B的坐标，根据图象得出不等式的解集即可；
（3）求出点P的坐标为，直线与抛物线对称轴的交点为，结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得：，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线和直线的解析式分别为和．
（2）解：联立，
解得：，，
∴，
∴根据图象可知，不等式的解集为或；
（3）解：把代入得：，
∴点P的坐标为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
把代入得：，
∴直线与抛物线对称轴的交点为，
根据图象可知，当直线与图像G有公共点时，．

【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，以及求出两个函数解析式和交点坐标．
22．(1)见解析
(2)或或或
【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可；
（2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可．
【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得，
∴一次函数与轴的交点为；
当时，，函数为二次函数，
∵，
∴
，
∴当时，与轴总有交点，
∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）解：当时，不符合题意，
当时，对于函数，
令，则，
∴，
∴或
∴或，
∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键．
23．（1）①；（2）或；（3）或或
【分析】（1）求出函数与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上即可；
（2）求出函数与坐标轴的交点，再由求出点坐标，代入二次函数解析式计算即可；
（3）先求出，的坐标，再根据的顶点在矩形的边上分类讨论即可．
【详解】（1）函数交轴于，交轴于，
∵点、都在函数图象上
∴①为函数的轴点函数；
∵点不在函数图象上
∴②不是函数的轴点函数；
故答案为：①；
（2）函数交轴于，交轴于，
∵函数的轴点函数
∴和都在上，
∵
∴
∵，
∴
∴或
当时，把代入得
，解得，
当时，把代入得
，解得，
综上，或；
（3）函数交轴于，交轴于，
∵，以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形
∴，，,
∵函数（为常数，）的轴点函数
∴和在上
∴，整理得
∴
∴的顶点坐标为，
∵函数的顶点在矩形的边上
∴可以分三种情况讨论：当与重合时；当在上时；当在上时；
当与重合时，即，解得；
当在上时，，整理得，解得
此时二次函数开口向下，则
∴整理得：，
由整理得，
∴
解得，
∴，
当在上时，，整理得，解得
∴
此时对称轴左边y随x的增大而增大，
∴
∴整理得：
∴代入、后成立
∴，
综上所述，或或
【点睛】本题综合考查一次函数与二次函数，解题的关键是理解轴点函数的定义．
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