模块二 知识全整合专题3 函数及其图像 第9讲 二次函数的实际应用（含解析） -最新中考数学二轮专题复习训练

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专题3 函数及图象
第9讲 二次函数的实际应用
一、拱桥问题
1.模型化：拱桥当作抛物线，桥面所在的直线为x轴，过最高点垂直桥面的直线为y轴，建立平面直角坐标系；
2.解题策略：找出水面与拱桥的交点坐标，确定水面与搭桥的竖直距离；
二、销售问题
1.模型化：价格作为自变量，价格的变化，导致销售量的变化，利润的变化，销售额的变化，总利润的变化，根据题意，选择合适的量作为因变量，构建函数关系式；
2.解题策略：正确表示数量与价格的变化关系，确定二次函数有关系式，转化为顶点式求最值；
三、投球问题
1.模型化：站立点为坐标原点，从站立点也球落地点形成的直线为x轴，人所在的直线为y轴建立平面直角坐标系；
2.解题策略：确定球落地点的坐标，球飞行的最大高度；
四、喷水问题
1.模型化：以喷管在地面上的点为原点，原点与水落地点形成的直线为x轴，喷管所在的直线为y轴建立平面直角坐标系；
2.解题策略：确定喷水点和落地点的坐标，喷水的最大高度；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1.会通过分好析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；
2.初步形成二次函数的模型观念，会用二次函数解决简单的实际问题。
【例1】
（2023·陕西·统考中考真题）
1．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
【变1】
（2023·贵州·统考中考真题）
2．如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【例1】
（2023·辽宁丹东·统考中考真题）
3．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【变1】
（2023·浙江湖州·统考中考真题）
4．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【例1】
（2022·河南·统考中考真题）
5．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【变1】
（2023·山东·统考中考真题）
6．城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：

【例1】
（2023·浙江温州·统考中考真题）
7．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【变1】
（2023·北京房山·统考二模）
8．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．

(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
【例1】
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
9．某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
【变1】
（2022·湖北黄石·统考中考真题）
10．某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：数据如下表．
(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
一、选择题
（2023·浙江·统考中考真题）
11．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A．5B．10C．1D．2
（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）
12．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（ ）

A．2B．4C．2或D．4成
（2023·陕西榆林·统考二模）
13．物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是；②h与t之间的函数关系式为；③小球的运动时间为；④小球的高度时，．其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
（2023·山东枣庄·统考一模）
14．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是，其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
（2023·浙江台州·统考一模）
15．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
（2022·四川广安·统考中考真题）
16．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
（2023·山西运城·校联考模拟预测）
17．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
（2022·四川南充·中考真题）
18．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点．
三、解答题
（2022·湖北黄冈·统考中考真题）
19．为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．
（2023·浙江·模拟预测）
20．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
（2023·湖北黄石·统考中考真题）
21．某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
(1)求，的值；
(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
（2023·江苏宿迁·统考中考真题）
22．某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
(1)求两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
（2023·河南·统考中考真题）
23．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
（2023·广东深圳·校考模拟预测）
24．已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的成绩达标点，轴于点C，相关数据如下：

(1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______；
(2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足，则他第二次跳跃落地点与起跳点平面的水平距离为______米，d______30，成绩是否达标？______．（填写是或否）
（2023·浙江·统考中考真题）
25．根据以下素材，探究完成任务．
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
水平距离
0
2
4
6
11
12
竖直高度
2.48
2.72
2.8
2.72
1.82
1.52
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640
t
0
1
2
3
4
5
6
7
……
h
0
8
14
18
20
20
18
14
……
水平距离x（米）
5
10
20
30
空中飞行的高度y（米）
4.5
6
0
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．

素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．

问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
参考答案：
1．(1)
(2)，
【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；
（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴；
∴方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令得：，
解得或，
∴，
∴；
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式．
2．(1)
(2)点的坐标为
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解；
（2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可；
（3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，
设抛物线的解析式为，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，
，
作点B关于y轴的对称点，
则，，
，
当，，A共线时，拉杆长度之和最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，位置如下图所示：

（3）解：中，
抛物线开口向下，
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
综上可知，或，
的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论．
3．(1)
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，
设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
4．(1)
(2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
（2）解：，
∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
5．(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
6．3.2米
【分析】先以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设设抛物线的解析式为，把代入，求得，即，再求出点D的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，

由题意知：，，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题的关键．
7．(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8．(1)①；②能，理由见详解
(2)没有，理由见解析
【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点，则设，再把表格中其它任意一组数据代入即可求出a值，
②当时，求得，再与球网高度比较即可得出答案．
（2）令，求出抛物线与x轴的交点，再比较即可．
【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线顶点，
设 ，
把代入得，
∴所求函数关系为，
②当时，则，
∴能；
（2）解：判断：没有出界
令，则，
解得（舍），，
∵，
∴没有出界．
【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键．
9．(1)
(2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标．
(3)该龙舟队完成训练所需时间为
【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案；
（2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；
②把代入，求得，则可得出答案；
（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案．
【详解】（1）把代入 得，
解得，
启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；
（2）①设，把代入，得，
解得，
．
当时，．
当时，龙舟划行的总路程为．
②，
把代入，
得．
，
该龙舟队能达标．
（3）加速期：由（1）可知，
把代入，
得．
函数表达式为，
把代入，
解得．
，
．
答：该龙舟队完成训练所需时间为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
10．(1)，，
(2)490人
(3)从一开始应该至少增加3个检测点
【分析】（1）根据题意列方程，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据排队人数=累计人数-已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成体温检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
【详解】（1）（1）将，，代入，
得，
解之得，，；
（2）设排队人数为w，由（1）知，
由题意可知，，
当时，，
∴时，排队人数的最大值是490人，
当时，，，
∵随自变量的增大而减小，
∴，
由得，排队人数最大值是490人；
（3）在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间（分钟）
设从一开始增加n个检测点，则，解得，n为整数，
∴从一开始应该至少增加3个检测点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键
11．D
【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2，
故选：D
【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键．
12．C
【分析】由可得其对称轴为：，当时，，即有，解方程即可求解．
【详解】由可得其对称轴为：，
根据，
可知：当时，，
即有：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的应用等知识，明确题意，得出当时，，是解答本题的关键．
13．A
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；
故①错误；
②设函数解析式为：，
把代入得，
解得，
函数解析式为，
故②错误；
③令，，
解得：或6，
小球的运动时间为，
故③正确；
④把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，为秒或秒，
故④错误；
综上，正确的只有一个，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点，读懂函数图象是解题的关键．
14．C
【分析】由题意，抛物线经过 ，所以可以假设抛物线的解析式为，把代入可得，可得，由此即可一一判断．
【详解】解：∵当和时，h的值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，故②正确；
∵当时，，
∴当时，，即足球被踢出时落地，故③错误；
∴可设抛物线的解析式为，
把代入得
解得，
∴，
∴足球距离地面的最大高度为，故①正确，
∴足球被踢出时落地，故③错误，
∵时，，故④正确．
∴正确的有①②④，共3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键．
15．B
【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
【详解】以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线，
∴设二次函数解析式为，
代入原点得，
解得，
∴，
令得，解得
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
16．##
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
17．120
【分析】把代入解析式求值即可．
【详解】解：，
当时，，
水的体积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
18．8
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出，，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为，
将（4，0）代入可得，
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
19．(1)；
(2)①种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②或．
【分析】（1）根据函数图像分两种情况，时y为常数，时y为一次函数，设出函数解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可；
（2）先求出x的范围；
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案；
②分两段利用，建立不等式求解，即可求出答案．
【详解】（1）由图像可知，当甲种花卉种植面积m2时，费用y保持不变，为30（元/m2），
所以此区间的函数关系式为：，
当甲种花卉种植面积m2时，函数图像为直线，
设函数关系式为：，
∵当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得：
，
解得：，
∴
∴当时，y与x的函数关系式应为：
；
（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
，
即，
①当时，
由（1）知，，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2．
，
∴当x=90时，，
，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②当时，
由①知，，
∵种植总费用不超过6000元，，
，
即满足条件的x的范围为，
当时，
由①知，，
∵种植总费用不超过6000元，
，
（不符合题意，舍去）或，
即满足条件的x的范围为
综上，满足条件的x的范围为或.
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是根据函数图像获取自变量的取值范围，仔细分情况讨论，掌握二次函数在自变量取值范围内求最小值的方法．
20．(1)22米
(2)米
【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；
（2）以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，直线的解析式为，设为抛物线上一点，过点M作轴于F，交于G，则，由可求解．
【详解】（1）解：由题意，最低点的横坐标是40，则，
（米），
答：固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度；
（2）解：以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，
设此时抛物线的解析式为，
由于斜坡的坡度为，且米，
∴米，
而（米），
∴；
∵，
，坐标两点分别代入解析式中，得
，解得，
∴，
即，
即抛物线的顶点坐标为；
过点M作轴于F，交于G，
∵坡度为，
∴（米），
∴（米），
答：在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为米．
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中应用、坡度问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
21．(1)，；
(2)，；．
【分析】（）用待定系数法求出，的值即可；
（）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
【详解】（1）把时，；时，代入得：
，解得：，；
（2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，
，
，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
∴，
∴，
则与的函数图象如图所示：

由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
∴当，时，，
当，时，，
∴的取值范围．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
22．(1)的销售单价为元、的销售单价为元
(2)当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案；
（2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
（2）解：种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，
设利润为，则
，
，
在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
23．(1)，，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
24．(1)；
(2)；＞；是．
【分析】 （1）设该二次函数的解析式为，根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）求出当函数的函数值为时，的值，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，设该二次函数的解析式为，
米，
，
将点代入得：，
解得，
则该二次函数的解析式为，
故答案为：．
（2）解：对于二次函数，
当时，，
解得或（不符合题意，舍去），
则，
，
，
即，
故答案为：；＞；是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
25．任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角
【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；
任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，

设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键．