模块二 知识全整合专题4 图形的性质 第4讲 等腰三角形 （含解析）-最新中考数学二轮专题复习训练

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专题4 图形的性质
第4讲 等腰三角形
一、线段垂直平分线
1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等；
2．判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
二、角平分线
1．性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
2．判定：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
三、等腰三角形
1．性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高），是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线；
2．判定：等角对等边；
四、等边三角形
1．性质：三边相等，三个角都等于60°,有三条对称轴；
2．判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）有两个角是60°的三角形是等边三角形；
（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；
《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：
1．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理和判定定理；
2．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理；
3．理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理；
4．探索等边三角形的性质定理和判定定理；
【例1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）
1．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2B．2C．4D．4+2
【变1】（2023·广东惠州·校联考二模）
2．如图，，，于．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）
3．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则 ．

【变1】（2022·湖北恩施·二模）
4．已知，如图，是的角平分线，，，垂足为E、F．求证：垂直平分．
【例1】（2023·浙江台州·统考中考真题）
5．如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变1】（2023·江苏泰州·统考中考真题）
6．如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．

【例1】（2023·山东滨州·统考中考真题）
7．已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变1】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
8．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．

一、选择题
2023·内蒙古·统考中考真题）
9．如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）
10．如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）

A．B．C．D．
（2023·黑龙江·统考中考真题）
11．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）

A．B．C．D．
（2023·河南·统考中考真题）
12．如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A．6B．3C．D．
（2023·河北唐山·统考一模）
13．老师在微信群发了这样一个图：以线段为边作正五边形和正三角形，连接，交于点，下列四位同学的说法不正确的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）
14．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
（2023·安徽·统考中考真题）
15．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
二、填空题
（2022·北京·统考中考真题）
16．如图，在中，平分若则 ．
（2023·辽宁锦州·统考中考真题）
17．如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．

（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）
18．在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于
（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）
19．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

三、解答题
（2023·浙江湖州·统考中考真题）
20．如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长．
（2023·安徽蚌埠·统考一模）
21．在中，，，点是射线上一点，连接，过点作，垂足为点，直线、相交于点．
(1)如图所示，当点在线段延长线上时，求证：≌；
(2)如图所示，当点在线段上时，连接，过点作于，于，求证：平分．
（2023·广西·统考中考真题）
22．【探究与证明】
折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．

请完成：
(1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．

请完成：
(3)证明是的一条三等分线．
（2023·北京·统考中考真题）
23．在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
甲
乙 是的垂直平分线
丙 是等腰三角形
丁 与平行
参考答案：
1．C
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）过C点作，交的延长线于点F．由证明，可得，结论得证；
（2）证明，可得，可求出．
【详解】（1）证明：过C点作，交的延长线于点F．

∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1）可得，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．
3．##10度
【分析】由，，求得，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线性质是解题的关键．
4．见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的三线合一性质定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上定理是解答本题的关键，首先由角平分线的性质定理可知，再由三角形内角和定理可推得，最后用等腰三角形的三线合一性质定理即可推得结论成立．
【详解】是的角平分线，，，
，，，
∴,
∴,
∴垂直平分．
5．A
【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵若，
又，
∴与满足“”的关系，无法证明全等，
因此无法得出，故A是假命题，
∵若，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故B是真命题；
若，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故C是真命题；
若，则在和中，
，
∴，
∴，故D是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
6．或或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，，
当时，，

由三角形的外角性质得，即，
此情况不存在；
当时，

，，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
由三角形的外角性质得，
解得；
当时，，

∴，
∴；
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．
7．B
【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，

∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
∵，
∴
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．1
【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，
，

∵，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
9．C
【分析】由，，可得，由，可得，进而可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
10．C
【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
即旋转角的度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．
11．C
【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
【详解】解：由题意，设，
∵过原点，
∴，
过点A作于E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
12．A
【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
13．A
【分析】根据正五边形和正三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：在正五边形和正三角形中，
，正五边形的每个内角为 ，正三角形的每个内角的度数为，
∴，
∴，
即不垂直于，故甲同学的说法错误，符合题意；
如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点G在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，故乙同学说法正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故丙同学说法正确，不符合题意；
∵，
∴与平行，丁同学说法正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了正五边形和正三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠CGF=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；

∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
15．A
【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．
【详解】解：如图所示，

延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，

设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，

此时
故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；
周长等于，
即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，

∵，则
如图，延长,，交于点，
则，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
∴
∴
∴
∴
∴，则，
∴是直角三角形，

在中，
∴当时，最短，
∵
∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵
∴四边形面积等于

∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键．
16．1
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
17．##度
【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．
18．2或10
【分析】根据可判断点都在的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点在的内部时，②当点O在的外部时，分别计算即可．
【详解】解：∵，
∴点都在的垂直平分线上，
由题意知，分两种情况：
①当点在的内部时，；
②当点O在的外部时，；
故答案为：2或10．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论．
19．##
【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵为高上的动点．
∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴
∴
∴，
∴点在射线上运动，
如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，
∴
∴
在中，,
∴周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
20．
【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，最后根据条件可知是的中位线，求得的长．
【详解】解，∵，于点D，
∴．
∵，
∴．
∵于点D，
∴，
∴在中，．
∵，
∴，
∵E为AB的中点，
∴．
【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证出，根据可证明；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（2）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
平分
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据题意可进行求解；
（2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证；
（3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明．
【详解】（1）解：由题意可知；
（2）证明：由折叠的性质可得：，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：连接，如图所示：
由折叠的性质可知：，，，
∵折痕，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的一条三等分线．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；
（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
（2）；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．