山西省运城市稷山县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

这是一份山西省运城市稷山县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题，共12页。

注意事项：
1.本试题分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试题上无效。
第I卷选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.一元二次方程的解是（ ）
A.B.C.D.
2.下列命题中是真命题的是（ ）
A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B.各边相等的四边形是正方形
C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D.有一组邻边相等的四边形是菱形
3.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点O是坐标原点，点A，B，C，D，E坐标分别为，，，，，则位似中心的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.下面的物理问题与数学之间有着紧密联系，一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：，小球（ ）s时其高度为10m。
A.1B.2C.3D.1或2
5.经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐。假设这三种可能性相同，现有两辆车经过该路口，求至少有一辆车直行的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.据统计，今年“十一”假期某市旅游总收入约9千万元，已知该市前年“十一”假期旅游总收入约6.25千万元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ）
A.11%B.12%C.14%D.20%
7.如图，AD是的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，AD与RS交于点E，，，四边形PQRS是正方形，与的周长比为（ ）
A.2：5B.1：4C.2：3D.4：25
8.如图，四边形ABCD中，，，，要用一块矩形铝板切割出这样的四边形并使废料最少，则矩形的面积最小值为（ ）
A.12B.C.D.24
9.数学活动课上，同学们要测量学校门口安装的太阳能电灯杆的高度，如图所示，在地面上一点E处竖直放一根标杆DE，，，测得太阳能电灯杆底部点B至E的距离为5m，灯杆的顶端为点A，，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得，则该灯杆AB的高度为（ ）
10.如图，点E是正方形ABCD中AB边上一动点，连接DE，，，连接BF，DF，则的值为（ ）
A.B.1C.D.
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.已知，依据下表，它的其中一个解的范围是_________.
12.稷山麻花——家的味道，稷山饼子——老家的味道，稷山鸡蛋——妈妈的味道，稷山板枣——幸福的味道，“稷山四宝”走进了千家万户，小明的妈妈准备从中选择两种邮寄给外地的朋友，小明将分别写有“麻花”“饼子”“鸡蛋”“板枣”的四张卡片（除正面文字外，其余完全相同）背面朝上放在桌子上，然后随机抽取两张，则恰好抽到“麻花”“板枣”的概率是_________。
13.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为1.9m，则该车车身总长约为______m（保留整数）。
14.如图，在平面直角坐标系中把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点处。与x轴相交于点D，，，点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，使以点A，D，P，F为顶点的四边形是菱形的点P的坐标为_____________________。
15.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，过点A作的平分线交CD于点F，连接BF，若，，则BF的长为_____。
三、解答题（本题共8个小题，共75分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.解方程（每小题5分，共10分）
（1）（2）
17.（本题8分）
数学小组接到的任务：如图1，测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度。
测量工具：一把皮尺（测量长度小于AB）。皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）。
数学小组利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB。其测量及求解过程如下：
图1 图2
测量过程：
（1）如图2，在小水池外选点C，可直接到达点A、点B，测得米，米；
（2）分别在AC，BC上测得米，米，测得米。
问题解决：
（1）把求解AB的过程补充完整：
由测量可知，米，米，米，米
∴___________
∵
（2）数学小组仅利用皮尺，通过5次测量，就求得AB的长，其中用到了相似三角形的__________。
18.（本题10分）
回乡创业的杨师傅，培植一种观赏的盆景，成本价为20元一盆。经市场调研，销售价为32元一盆时，可售出90盆。销售价每增加1元，销售量净减少5盆。因受场地的限制，培植的盆景不得超过90盆。杨师傅通过自己的辛劳培植该种盆景，现计划获利1000元，一盆的销售价应为多少元？
19.（本题8分）
如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”和“3”的扇形圆心角都为120°。转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）。
（1）转动转盘一次，求转出的数字是“-2”的概率；
（2）转动转盘两次，用画树状图或列表的方法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率。
20.（本题10分）阅读与思考
（第19题图）
下面是数学老师写的小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务。
通过学习我们知道一元二次方程（，a，b，c为常数），当时，一元二次方程的根与系数有着密切的关系，我和同学们一起研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系，分析如下：
第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢？我们用下面的方法进行分析：
∵
∴
∴
∴该方程有实数根
∴
∴方程可变形为
∴或
∴，
∴当时，一元二次方程的两个实数根为，
第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根……
任务：
（1）小论文中，将方程变形为，然后求出方程的根，这种解方程的方法是（ ）
A.因式分解法B.公式法C.配方法D.直接开平方法
（2）请参照小论文中的求解方法，将第二类方程的求解过程补充完整；
（3）通过小论文的学习，请你直接写出一个一元二次方程，使其有一根为-1。
21.（本题8分）
问题情境：已知矩形ABCD，，，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AGFE，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接BG。
图1 图2 图3 图4
数学发现：
（1）如图1，当时，___________°，如图2，当时，_______；
初步探究：
（2）如图3，当边EF经过点B时，求BG的长；
（3）如图4，当点F落在CB的延长线上时，直接写出四边形AGFB的面积。
22.（本题11分）综合与实践
问题情境：如图，在中，点D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，点F，G分别是OC，OB的中点，连接DE，EF，FG，GD。
数学发现：（1）直接写出图中的三对相似而不全等的三角形；
初步探究：（2）①求证：四边形DEFG是平行四边形；
②填空：当时，四边形DEFG是_____形；
深入探究：（3）若的面积为a个平方单位，直接写出的面积。
23.（本题10分）综合与探究
如图1，在四边形ABCD中，，，点E是直线BC上的一个动点，以DE为边作正方形DEFG（DEFG按逆时针排列）。
图1
任务：
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）如图2至图4，当点E在直线BC上运动时，通过几何画板（一种作图软件，可以在电子设备上绘制……清晰地呈现和理解几何图形）能证明点G也在一条直线上运动，请根据图3补全后续的证明，并描述出这条直线的位置特征；
图2 图3 图4
证明：过点G作，垂足为H，
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形
（3）在图1中，连接AG，直接写出的值。
稷山县2024-2025学年第一学期期中九年级数学参考答案及评分标准
说明：
1.如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同，可根据提供的解法参照评分标准进行评分。
2.要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅。如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定对后面给分的多少，但原则上不超过后继部分应得分数之半。
3.评分标准中，如无特殊说明，均为累计给分。
4.评分过程中，只给整数分数。
一、选择题（每小题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
，15.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（每小题5分，共10分）
解：（1）……………1分
……………2分
，或………………3分
，……………5分
（2）方法一：方程两边都除以3，得……………6分
移项，得
配方，得……………7分
即……………8分
两边开平方，得……………9分
所以，……………10分
方法二：，，……………6分
∵………………7分
∴……………9分
即，……………10分
17.（本题8分）解：
（1）……………1分
∵……………2分
∴……………3分
∴……………4分
又∵米
∴米…………5分
所以小水池的最大宽度为45米…………………6分
（2）相似三角形的判定和性质…………………8分
18.（本题10分）
解：设盆景一盆的售价是x元……………1分
由题意，得：……………………………5分
整理得：
解得：，……………7分
当时，不符合题意，舍去……………8分
当时，培植盆，符合题意……………………9分
答：该盆景一盆的销售价应为40元.………………10分
19.（本题8分）
解：（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角.为120°，所以2个“-2”所占的扇形圆心角为……………2分
∴转动转盘一次，转出的数字是-2的概率为……………4分
（2）由（1）可知，该转盘转出“1”，“3”，“一2”的概率相同，均为，所有可能性如下表所示……………5分
………………………7分
由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之和为正数的的有6种，两次分别转出的数字之和为正数的概率为…………8分
20.（本题10分）解：
（1）A……………………1分
（2）∵
∴………………2分
∴……………………3分
∴该方程有实数根…………………………………4分
∴………………………5分
∴方程可变形为………………6分
∴或…………………7分
∴，……………………8分
∴当时，一元二次方程的两个实数根为，.
（3）答案不唯一，例如，，…（只要满足条件即可）…10分
21.（本题8分）解：
（1）60，………………………2分
（2）由旋转的性质可得，，
在中，………………4分
∴………………5分
在中，………………6分
（3）60………………………8分
22.（本题11分）解：
（1）………………………1分
………………………2分
………………3分
（2）①∵DE是的中位线
∴，………………………4分
同理，………………………5分
∴，…………………………6分
∴四边形DEFG是平行四边形…………7分
②菱形………………………9分
（3）的面积为12a个平方单位…………………11分
23.（本题10分）解：
（1）证明：∵
∴.四边形ABCD是菱形………………1分
∵
∴菱形ABCD是正方形………………2分
（2）证明：过点G作于H，
图2
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形
∴，，…………………3分
∴，………………4分
∴………………5分
又∵，
∴………………6分
∴………………7分
又∵
∴点G是在与CD的距离为3的直线上（或点G在直线1上，直线且与CD的距离为3）……………………8分
（3）36………………10分
延长AD交直线l于P，由（2）可得
图2
∴
∵，，
∴
又∵
∴.四边形DHGP是矩形
∴，
在中，
∴
x
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2.25
-1
0.75
3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
D
C
D
A
C
B
A
第一次
第二次
1
-2
3
1
-2
3