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第12讲 方程与函数-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答
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这是一份第12讲 方程与函数-初中数学竞赛辅导讲义及习题解答，共7页。
方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．
【例题求解】
【例1】 若关于的方程有解，则实数m的取值范围 ．
思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围．
【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根， ，且<1<，那么取值范围是( )
A． B． C． D．
思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满足<1<的的值，注意判别式的隐含制约．
【例3】 已知抛物线 ()与轴交于两点A(，0)，B(，0)( ≠)．
(1)求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
(2)若抛物线与轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求的值．
思路点拨 、是方程的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．
【例4】 抛物线与轴的正半轴交于点C，与轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．
思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论．
【例5】 已知抛物线上有一点M(，)位于轴下方．
(1)求证：此抛物线与轴交于两点；
(2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且 <，求证： <<．
思路点拨 对于(1)，即要证；对于(2)，即要证．
注：(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．
(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．
(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数（）的图象与轴交于A（，0），B(，0)两点，顶点为C．
①△ABC是直角三角形的充要条件是：△=．
②△ABC是等边三角形的充要条件是：△=
学力训练
1．已知关于的函数的图象与轴有交点，则m的取值范围是 ．
2．已知抛物线与轴交于A (，0)，B(，0)两点，且，则 ．
3．已知二次函数y=kx2+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2，时，y>O；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2；④x1<－l，x2>－l；⑤x2－x1=，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ．
4．设函数的图象如图所示，它与轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则＝( )．
A．8 B．一4 C．1l D．一4或11
5．已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，则b与c的关系式是 ( )
A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0
C．b2－4c+4=0 D．b2－4c－4=0
6．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的取值范围是( )
A．>-1 B．＝1 C．≥1 D．非上述答案
7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=4，求a、c的值．
8．已知：抛物线过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为，与轴分别交于B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且 <)，且．
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
(2)设此抛物线与轴交于D点，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的倍，求点M的坐标．
9．已知抛物线交x轴于A（，0）、B（，0），交y轴于C点，且＜0＜，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.
10．设是整数，且方程的两根都大于而小于，则= .
11．函数的图象与函数的图象的交点个数是 ．
12．已知、为抛物线与轴交点的横坐标，，则的值为 ．
13．是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定的取值范围；如果没有，试述理由．
14．设抛物线的图象与轴只有一个交点．
(1)求的值；
(2)求的值．
15．已知以为自变量的二次函数，该二次函数图象与轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于的方程的一整数根，求的值．
16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．
17．设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点A（，0）、B（，0）．
(1)求证：；
(2)若A、B两点之间的距离不超过，求P的最大值．
(
参考答案
方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．
【例题求解】
【例1】 若关于的方程有解，则实数m的取值范围 ．
思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围．
【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根， ，且<1<，那么取值范围是( )
A． B． C． D．
思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满足<1<的的值，注意判别式的隐含制约．
【例3】 已知抛物线 ()与轴交于两点A(，0)，B(，0)( ≠)．
(1)求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
(2)若抛物线与轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求的值．
思路点拨 、是方程的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．
【例4】 抛物线与轴的正半轴交于点C，与轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．
思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论．
【例5】 已知抛物线上有一点M(，)位于轴下方．
(1)求证：此抛物线与轴交于两点；
(2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且 <，求证： <<．
思路点拨 对于(1)，即要证；对于(2)，即要证．
注：(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．
(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．
(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数（）的图象与轴交于A（，0），B(，0)两点，顶点为C．
①△ABC是直角三角形的充要条件是：△=．
②△ABC是等边三角形的充要条件是：△=
学力训练
1．已知关于的函数的图象与轴有交点，则m的取值范围是 ．
2．已知抛物线与轴交于A (，0)，B(，0)两点，且，则 ．
3．已知二次函数y=kx2+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1
4．设函数的图象如图所示，它与轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则＝( )．
A．8 B．一4 C．1l D．一4或11
5．已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，则b与c的关系式是 ( )
A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0
C．b2－4c+4=0 D．b2－4c－4=0
6．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的取值范围是( )
A．>-1 B．＝1 C．≥1 D．非上述答案
7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=4，求a、c的值．
8．已知：抛物线过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为，与轴分别交于B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且 <)，且．
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
(2)设此抛物线与轴交于D点，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的倍，求点M的坐标．
9．已知抛物线交x轴于A（，0）、B（，0），交y轴于C点，且＜0＜，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.
10．设是整数，且方程的两根都大于而小于，则= .
11．函数的图象与函数的图象的交点个数是 ．
12．已知、为抛物线与轴交点的横坐标，，则的值为 ．
13．是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定的取值范围；如果没有，试述理由．
14．设抛物线的图象与轴只有一个交点．
(1)求的值；
(2)求的值．
15．已知以为自变量的二次函数，该二次函数图象与轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于的方程的一整数根，求的值．
16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．
17．设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点A（，0）、B（，0）．
(1)求证：；
(2)若A、B两点之间的距离不超过，求P的最大值．
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