备战2025年高考二轮复习数学专题突破练24 圆锥曲线中的定点、定值问题（提升篇）（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练24 圆锥曲线中的定点、定值问题（提升篇）（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

主干知识达标练
1.(17分)(2024山东聊城一模)已知抛物线C关于y轴对称,顶点在原点,且经过点P(2,2),动直线l:y=kx+b不经过点P,与C相交于A,B两点,且直线PA和PB的斜率之积等于3.
(1)求C的标准方程;
(2)证明:直线l过定点,并求出定点坐标.
(1)解由抛物线C关于y轴对称,故可设C:x2=2py(p>0),由P(2,2)在抛物线C上,故4=2p×2,解得p=1,故C:x2=2y.
(2)证明如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=y1-2x1-2=x122-2x1-2=(x1-2)(x1+2)2(x1-2)=x1+22,同理可得kPB=x2+22,由题意得kPA·kPB=x1+22·x2+22=3,化简得x1x2+2(x1+x2)=8,(*)
联立直线l方程与抛物线方程,有x2=2y,y=kx+b,
即x2-2kx-2b=0,Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,代入(*)式,即有-2b+2×2k=8,化简得b=2k-4,此时Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,则Δ>0有解,则l:y=k(x+2)-4,即直线l过定点(-2,-4).
2.(17分)(2024湖南衡阳模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A2,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,双曲线C的一条渐近线方程为y=3x.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知过点P(1,4)的直线与双曲线C右支交于A,B两点,点Q在线段AB上,若存在实数λ(λ>0且λ≠1),使得AP=-λPB,AQ=λQB,证明:直线A2Q的斜率为定值.
(1)解设双曲线C的半焦距为c,由|F1F2|=4,得2c=4,即c=2,所以a2+b2=4,又双曲线C的一条渐近线方程为y=3x,所以ba=3,解得a=1,b=3,故双曲线C的方程为x2-y23=1.
(2)证明如图,设直线与双曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2),点Q(x0,y0),P(1,4),因为存在实数λ>0且λ≠1,使得AP=-λPB,AQ=λQB,所以(1-x1,4-y1)=-λ(x2-1,y2-4),(x0-x1,y0-y1)=λ(x2-x0,y2-y0),整理得x1-λx2=1-λ,①
x1+λx2=(1+λ)x0,②
两式相乘得x12-λ2x22=x0(1-λ2),③
同理y1-λy2=4(1-λ),④
y1+λy2=(1+λ)y0,⑤
两式相乘得y12-λ2y22=4y0(1-λ2),⑥
由于双曲线C上的点的坐标满足3x2-y2=3,且A,B均在双曲线上,
所以③×3-⑥得3x12-y12-λ2(3x22-y22)=(3x0-4y0)(1-λ2),
即3-3λ2=(3x0-4y0)(1-λ2),又λ>0,λ≠1,所以3x0-4y0=3,
即点Q(x0,y0)在直线3x-4y-3=0上,又A2(1,0)也在直线3x-4y-3=0上,所以直线A2Q的斜率为34(定值).
关键能力提升练
3.(17分)(2024山东青岛模拟)中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线C经过点(-3,2),一条渐近线方程为x-3y=0.
(1)求C的方程;
(2)若过C的上焦点F的直线与C交于A,B两点,求证:以AB为直径的圆过定点,并求该定点.
(1)解由题可设双曲线方程为x2-3y2=λ(λ≠0),
∵双曲线经过点(-3,2),
∴λ=(-3)2-3(2)2=-3,
∴双曲线C的方程为y2-x23=1.
(2)证明如图,设直线AB方程为x=m(y-2),A(x1,y1),B(x2,y2),联立
x=m(y-2),3y2-x2=3⇒3y2-(m2y2-4m2y+4m2)=3⇒(3-m2)y2+4m2y-4m2-3=0,显然Δ>0,m≠±3,∴y1+y2=-4m23-m2,y1y2=-4m2+33-m2,则x1x2=m2(y1-2)(y2-2)=m2[y1y2-2(y1+y2)+4]=9m23-m2,
以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0,由对称性知以AB为直径的圆必过y轴上的定点,令x=0,得y2-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,
∴y2+4m23-m2y+9m23-m2-4m2+33-m2=0,即(3-m2)y2+4m2y+5m2-3=0.
∴[(3-m2)y+5m2-3](y+1)=0对∀m∈R恒成立,y=-1,
∴以AB为直径的圆经过定点(0,-1).
当y=2时,A(-3,2),B(3,2),此时圆的方程为x2+(y-2)2=9,也经过点(0,-1),经验证,以AB为直径的圆过定点(0,-1).
核心素养创新练
4.(17分)(2024新疆乌鲁木齐二模)在平面直角坐标系xOy中,重新定义两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“距离”为|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|,我们把到两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.
(1)求“椭圆”的方程;
(2)根据“椭圆”的方程,研究“椭圆”的范围、对称性,并说明理由;
(3)设c=1,a=2,作出“椭圆”的图形,设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过点F2作直线交C于M,N两点,△AMN的外心为Q,求证:直线OQ与MN的斜率之积为定值.
(1)解设“椭圆”上任意一点为P(x,y),则|PF1|+|PF2|=2a,即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),所以“椭圆”的方程为|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0).
(2)解由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得2|y|=2a-|x+c|-|x-c|,
因为|y|≥0,所以2a-|x+c|-|x-c|≥0,即2a≥|x+c|+|x-c|,所以x≤-c,-x-c-x+c≤2a,或
-cx≥c,x+c+x-c≤2a,解得-a≤x≤a,
由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得|x+c|+|x-c|=2a-2|y|,
即2a-2|y|=-2x,x≤-c,2c,-c(3)证明由题意可设椭圆C的方程为x24+y2b2=1,将点(1,1)代入得14+1b2=1,解得1b2=34,所以椭圆C的方程为x24+3y24=1,F2(1,0),A(-2,0),
由题意可设直线MN的方程为x=my+1(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
联立x=my+1,x24+3y24=1,得(m2+3)y2+2my-3=0,Δ=4m2+12(m2+3)=16m2+36>0恒成立,
则y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2+3,
因为AM的中点为x1-22,y12,kAM=y1x1+2=y1my1+3,所以直线AM的中垂线的方程为y-y12=-my1+3y1x-x1-22=-my1+3y1x-my1-12,同理直线AN的中垂线的方程为y-y22=-my2+3y2x-my2-12,设Q(x0,y0),则y1,y2是方程y0-y2=-my+3yx0-my-12的两根,即y1,y2是方程y2+(mx0+y0)y+3x0=0的两根,所以y1+y2=2mx0-2m+2y0m2+1,y1y2=-6x0-3m2+1,
又因为y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2+3,所以2mx0-2m+2y0m2+1=-2mm2+3,-6x0-3m2+1=-3m2+3,解得x0=-1m2+3,y0=3mm2+3,所以y0x0=-3m,所以kMN·kOQ=y0x0·1m=-3,所以直线OQ与MN的斜率之积为定值-3.