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备战2025年高考二轮复习数学专题突破练15（Word版附解析）

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这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练15（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共1小题,共5分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知随机变量X~B(4,p),其中0A.12B.316C.116D.14
答案D
解析因为X~B(4,p),所以P(X≤3)=1-P(X=4)=1-p4=1516,得p4=116,又0二、选择题:本题共1小题,共6分.在给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
2.已知随机变量X的分布列为
若E(X)=7.5,则下列结论正确的是( )
A.a=7.5B.b=0.4
C.E(aX)=52.5D.E(X+b)=7.9
答案BCD
解析由分布列的性质,可得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,B正确;
因为E(X)=4×0.3+a×0.1+9×0.4+10×0.2=7.5,解得a=7,A错误;
由均值的性质得E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5,C正确;
E(X+b)=E(X)+b=7.5+0.4=7.9,D正确.故选BCD.
三、填空题:本题共1小题,每小题5分,共5分.
3.(2024·广东佛山模拟)已知随机变量X~N(10,9),随机变量Y=2X-3,则E(Y)= ,D(Y)= .
答案17 36
解析因为X~N(10,9),
所以E(X)=10,D(X)=9,
又Y=2X-3,所以E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×10-3=17,D(Y)=D(2X-3)=22D(X)=4×9=36.
四、解答题:本题共3小题,共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
4.(15分)(2024·福建福州模拟)为激励学生积极参加身体锻炼,加强学生体质健康管理工作,某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试,并从中随机抽取了500名学生的数据,根据他们的健康指数x绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这500名学生健康指数x的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图知,该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2(s2=84.75).
①求P(60.29≤X≤87.92);
②已知该市约有30 000名高三学生,记健康指数在区间[60.29,87.92]的人数为ξ,试求E(ξ).
参考数据:84.75≈9.21;若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解(1)由题意得,平均数x=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5.
(2)①由(1)可知μ=x=69.5,σ=84.75≈9.21,
则X近似服从正态分布N(69.5,9.212),
则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)2=12×(0.682 7+0.954 5)=0.818 6.
②由①可知,学生的健康指数位于[60.29,87.92]的概率为0.818 6,依题意,ξ服从二项分布,ξ~B(30 000,0.818 6),
则E(ξ)=np=30 000×0.818 6=24 558.
5.(15分)(2024·广东茂名一模)近几年,我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段,技术水平显著提升,产业体系日趋完善,企业竞争力大幅增强,呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关,对采购的一批汽车零部件进行质量检测.
(1)若每个汽车零部件的合格率为0.9,从中任取3个零部件进行检测,求至少有1个是合格品的概率;
(2)若该批零部件共有20个,其中有4个零部件不合格.现从中任取2个,用X表示其中不合格零部件的个数,求X的分布列和数学期望.
解(1)记“3个零部件中至少有1个是合格品”为事件A,则P(A)=1-P(A)=1-(1-0.9)3=0.999.
(2)由题意可知,随机变量X服从超几何分布,且N=20,M=4,n=2.
P(X=0)=C40C162C202=1219,
P(X=1)=C41C161C202=3295,
P(X=2)=C42C160C202=395.
X的分布列为
E(X)=nMN=2×420=25.
6.(15分)(2024·河北衡水模拟)中医药学是中国古代科学的瑰宝,也是打开中华文明宝库的钥匙.为调查某地市民对中医药文化的了解程度,某学习小组随机选取该地不同年龄段的市民100人,进行中医药文化测试(满分:100分),得到的数据如下表所示.
规定:成绩在[0,60)内代表对中医药文化的了解程度较低,成绩在[60,100]内代表对中医药文化的了解程度较高.
(1)从选取的100人中随机抽取1人,求抽到对中医药文化了解程度较高的市民的频率;
(2)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地40岁及以上年龄段的市民中随机抽取3人,记X为对中医药文化了解程度较高的人数,求X的分布列和期望.
解(1)由题可知,成绩在[60,100]内的人数为9+6+22+18=55,
所以抽到对中医药文化了解程度较高的市民的频率为55100=1120.
(2)由表可知,在40岁及以上年龄段的市民中,成绩在[60,100]内的人数为22+18=40,则随机抽取1人,该市民对中医药文化了解程度较高的概率p=4060=23,
由题意可知X~B3,23,则X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=C30×230×133=127,
P(X=1)=C31×231×132=29,
P(X=2)=C32×232×131=49,
P(X=3)=C33×233×130=827,
所以随机变量X的分布列为
所以X的数学期望E(X)=np=3×23=2.X
0
1
2
P
1219
3295
395
成绩区间
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
40岁以下
4
8
13
9
6
40岁及以上
2
8
10
22
18
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827