备战2025年高考二轮复习数学专题突破练15 空间角、空间距离（提升篇）（Word版附解析）

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主干知识达标练
1.(15分)(2024河北沧州模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°,E是PB的中点.
(1)求异面直线DE与PA所成的角的余弦值;
(2)证明:OE∥平面PAD,并求点E到平面PAD的距离.
(1)解在菱形ABCD中,AC⊥BD,因为∠DAB=60°,所以BD=2OB=2,
所以OA=AB2-OB2=3.
因为PO⊥平面ABCD,AC,BD⊂平面ABCD,所以PB与底面ABCD所成的角为∠PBO=60°,PO⊥AC,PO⊥BD,所以PO=OB·tan 60°=3,PO,OB,OC两两垂直.
以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-3,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),则AP=(0,3,3).
因为点E是PB的中点,所以E12,0,32,所以DE=32,0,32,
所以cs=323×6=24,所以异面直线DE与PA所成的角的余弦值为24.
(2)证明连接OE.因为点E,O分别是PB,BD的中点,所以OE∥PD.
又OE⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以OE∥平面PAD.
由(1)可知AP=(0,3,3),AD=(-1,3,0),DE=32,0,32.
设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·AD=-x+3y=0,n·AP=3y+3z=0.
令y=1,则x=3,z=-1,所以平面PAD的一个法向量为n=(3,1,-1),所以点E到平面PAD的距离为|DE·n||n|=35=155.
2.(15分)(2024山东潍坊一模)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=2A1B1=2,BC=8,A1A=42,DD1⊥DC,M为BC的中点.
(1)求证:平面CDD1C1⊥平面D1DM;
(2)若D1D=4,求直线DM与平面BCC1B1所成的角的正弦值.
(1)证明在▱ABCD中,由∠ABC=120°,得∠DCM=60°.
在△DCM中,CD=2,CM=12BC=4,
所以DM=22+42-2×2×4×12=23,所以DM2+CD2=CM2,
所以DM⊥CD.
又CD⊥DD1,DD1∩DM=D,DD1,DM⊂平面D1DM,所以CD⊥平面D1DM.
又CD⊂平面CDD1C1,所以平面CDD1C1⊥平面D1DM.
(2)解在梯形ADD1A1中,AD=8,DD1=4,过点A1作A1E∥D1D,交AD于点E,则AE=4,A1E=4.
又AA1=42,所以AE2+A1E2=AA12,所以A1E⊥AD,所以D1D⊥AD.
又D1D⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD,所以D1D⊥平面ABCD.
以点D为坐标原点,分别以DM,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),C1(0,1,4),M(23,0,0),所以DM=(23,0,0),MC=(-23,2,0),CC1=(0,-1,4).
设平面BCC1B1的一个法向量为n=(x,y,z),
则MC·n=-23x+2y=0,CC1·n=-y+4z=0,
令y=43,则x=4,z=3,所以平面BCC1B1的一个法向量为n=(4,43,3).
设DM与平面BCC1B1所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=|DM·n||DM||n|=8323×67=46767,所以直线DM与平面BCC1B1所成的角的正弦值为46767.
3.(15分)(2024湖北襄阳模拟)如图,在四棱锥A-BCDE中,侧棱AB⊥平面BCDE,底面四边形BCDE是矩形,AB=BE=4,点P,M分别为棱AE,AC的中点,点F在棱BE上(不与点B,E重合).
(1)若BFBE=13,求证:直线BM∥平面PCF;
(2)若BC=2,从下面①②两个条件中选取一个作为已知,证明另外一个成立.
①平面ADE与平面ABC的交线为直线l,直线l与直线CF的夹角的余弦值为255;
②二面角P-CF-E的余弦值为66.
(1)证明
如图所示,取AP的中点N,连接BN,MN.
因为M,N分别为AC,AP的中点,所以MN∥PC.
因为BFBE=13,NPNE=13,所以BN∥PF.又因为MN∩BN=N,MN,BN⊂平面BMN,PC∩PF=P,PC,PF⊂平面PCF,所以平面BMN∥平面PCF.又BM⊂平面BMN,所以BM∥平面PCF.
(2)解若条件①为已知:
因为BC∥DE,BC⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,所以BC∥平面ADE.
又由BC⊂平面ABC,平面ABC∩平面ADE=l,所以l∥BC,所以直线l与直线CF的夹角为∠BCF,所以cs∠BCF=BCCF=255,所以CF=5,BF=1.
以点B为坐标原点,分别以BC,BE,BA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,0,0),E(0,4,0),P(0,2,2),F(0,1,0),所以FC=(2,-1,0),FP=(0,1,2).设平面PCF的一个法向量为m=(x,y,z),
则m·FC=2x-y=0,m·FP=y+2z=0.令x=1,可得y=2,z=-1,所以平面PCF的一个法向量为m=(1,2,-1).易知平面CEF的一个法向量为n=(0,0,1),所以cs=m·n|m||n|=-16=-66,所以二面角P-CF-E的余弦值为66.
若条件②为已知:
以点B为坐标原点,分别以BC,BE,BA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设BF=m,0则FC=(2,-m,0),FP=(0,2-m,2).
设平面PCF的一个法向量为p=(x,y,z),则p·FC=2x-my=0,p·FP=(2-m)y+2z=0.
令z=m-2,可得x=m,y=2,所以平面PCF的一个法向量为p=(m,2,m-2).
易知平面CEF的一个法向量为n=(0,0,1),所以|cs|=|p·n||p||n|=|m-2|m2+4+(m-2)2=66,解得m=1或m=4(舍去),所以BF=1,所以CF=BC2+BF2=5.因为BC∥DE,BC⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,所以BC∥平面ADE.
又BC⊂平面ABC,平面ABC∩平面ADE=l,所以l∥BC,所以直线l与直线CF的夹角为∠BCF,所以cs∠BCF=BCCF=255.
关键能力提升练
4.(15分)(2024山东青岛一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与BB1的距离为3,AB=AC=A1B=2,A1C=BC=22.
(1)证明:平面A1ABB1⊥平面ABC;
(2)若点N在棱A1C1上,求直线AN与平面A1B1C所成的角的正弦值的最大值.
(1)证明如图,取棱A1A中点D,连接BD.
因为AB=A1B,所以BD⊥AA1.又AA1∥BB1,B∈BB1,D∈AA1,所以BD=3.
因为AB=2,所以AD=1,所以AA1=2.
因为AC=2,A1C=22,所以AC2+AA12=A1C2,所以AC⊥AA1.同理,AC⊥AB.
又AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面A1ABB1,所以AC⊥平面A1ABB1.又AC⊂平面ABC,所以平面A1ABB1⊥平面ABC.
(2)解取AB中点O,连接A1O,则A1O⊥AB.取BC中点P,连接OP,则OP∥AC.
由(1)知AC⊥平面A1ABB1,所以OP⊥平面A1ABB1.又A1O,AB⊂平面A1ABB1,所以OP⊥A1O,OP⊥AB.
以点O为坐标原点,OP,OB,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),A1(0,0,3),B1(0,2,3),C(2,-1,0),所以A1B1=(0,2,0),A1C=(2,-1,-3).
设点N(a,0,3),0≤a≤2,则AN=(a,1,3).
设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·A1B1=2y=0,n·A1C=2x-y-3z=0.
令x=3,则y=0,z=2,所以平面A1B1C的一个法向量为n=(3,0,2).
设直线AN与平面A1B1C所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=|n·AN||n||AN|=37×a+2a2+4=37×(a+2)2a2+4=37×a2+4a+4a2+4=37×1+4aa2+4.
若a=0,则sin θ=217;
若a≠0,则sin θ=37×1+4a+4a≤37×1+44=427,当且仅当a=4a,即a=2时,等号成立.因为427>217,所以直线AN与平面A1B1C所成的角的正弦值的最大值为427.
5.(15分)(2024福建三明模拟)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1和正四棱台ABCD-A2B2C2D2中,A2B2=2AB=4,AA2=11.
(1)求证:CA2∥平面ABC1D1;
(2)若点M在线段BB1上,直线A2M与平面A2B2C2D2所成的角的正切值为2105,求二面角M-B2C2-B的余弦值.
(1)证明连接B2D2,延长B1B,由题可知B1B的延长线与B2D2相交,记交点为点H.
易知BH⊥平面A2B2C2D2,B2D2⊂平面A2B2C2D2,所以BH⊥B2D2.
在正四棱台ABCD-A2B2C2D2中,因为A2B2=2AB=4,所以B2D2=42,
所以B2H=14×42=2,所以BH=BB22-B2H2=11-2=3.
以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),A2(3,-1,-3),所以A2C=(-3,3,3),AB=(0,2,0),AD1=(-2,0,2).
设平面ABC1D1的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·AB=2y=0,n·AD1=-2x+2z=0.
令x=1,则y=0,z=1,所以平面ABC1D1的一个法向量为n=(1,0,1),
所以n·A2C=-3+0+3=0,所以n⊥A2C.
又因为CA2⊄平面ABC1D1,所以CA2∥平面ABC1D1.
(2)解由点M在线段BB1上,设M(2,2,a),0≤a≤2,则A2M=(-1,3,a+3).
设直线A2M与平面A2B2C2D2所成的角为α,则tan α=2105,所以sin α=22613.
易知平面A2B2C2D2的一个法向量为m=(0,0,1),则sin α=|m·A2M||m||A2M|=a+31+9+(a+3)2=22613,解得a=1,或a=-7(舍去),所以M(2,2,1).
又因为B2(3,3,-3),C2(-1,3,-3),B(2,2,0),所以B2C2=(-4,0,0),B2M=(-1,-1,4),BB2=(1,1,-3).
设平面MB2C2的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1·B2C2=-4x1=0,n1·B2M=-x1-y1+4z1=0.
令z1=1,则x1=0,y1=4,所以平面MB2C2的一个法向量为n1=(0,4,1).
设平面BC2B2的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2·B2C2=-4x2=0,n2·BB2=x2+y2-3z2=0.
令z2=1,则x2=0,y2=3,所以平面BC2B2的一个法向量为n2=(0,3,1).所以cs=n1·n2|n1||n2|=12+117×10=13170170,
所以二面角M-B2C2-B的余弦值为13170170.
核心素养创新练
6.(15分)(2024山东日照一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12,经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A,B两点(其中点A在x轴上方),且△ABF2的周长为8.将平面xOy沿x轴向上折叠,使二面角A-F1F2-B为直二面角,如图所示,折叠后A,B在新图形中对应点记为A',B'.
(1)当θ=π3时,
①求证:A'O⊥B'F2;
②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成的角的余弦值.
(2)是否存在θ0<θ<π2,使得折叠后△A'B'F2的周长为152?若存在,求tan θ的值;若不存在,请说明理由.
折叠前
折叠后
(1)①证明由椭圆定义可知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,
所以△ABF2的周长为4a=8,所以a=2.
因为椭圆离心率为12,故ca=12,解得c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为x24+y23=1.F1(-1,0),所以直线l:y-0=tanπ3·(x+1),即y=3(x+1).
联立y=3(x+1),x24+y23=1,化简得5x2+8x=0,解得x=0或-85.
当x=0时,y=3;
当x=-85时,y=-335,所以A(0,3),B-85,-335,所以AO⊥F1F2,所以A'O⊥F1F2.
因为二面角A-F1F2-B为直二面角,所以平面A'F1F2⊥平面F1F2B',平面A'F1F2∩平面F1F2B'=F1F2,A'O⊂平面A'F1F2,所以A'O⊥平面F1F2B'.又B'F2⊂平面F1F2B',所以A'O⊥B'F2.
②解以点O为坐标原点,折叠后的y轴负半轴所在直线为x轴、x轴为y轴、y轴正半轴所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A'(0,0,3),B'335,-85,0,F2(0,1,0),所以A'F2=(0,1,-3),B'F2=-335,135,0.
易知平面A'F1F2的一个法向量为n1=(1,0,0).
设平面A'B'F2的法向量为n2=(x,y,z),则n2·A'F2=y-3z=0,n2·B'F2=-335x+135y=0.
令y=3,则x=133,z=1,所以平面A'B'F2的一个法向量为n2=133,3,1,所以cs=n1·n2|n1||n2|=1331699+3+1=13205205,所以平面A'B'F2与平面A'F1F2所成的角的余弦值为13205205.
(2)解存在θ,使折叠后△A'B'F2的周长为152.
设折叠前A(x1,y1),B(x2,y2),则折叠后对应的A'(0,x1,y1),B'(-y2,x2,0),
所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2,|A'B'|=(x1-x2)2+y12+y22.
设折叠前直线l的方程为my=x+1,则tan θ=1m.因为0<θ<π2,所以tan θ>0,即1m>0,所以m>0.联立my=x+1,x24+y23=1,化简得(3m2+4)y2-6my-9=0,
则Δ>0,且y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.因为△ABF2的周长为8,△A'B'F2的周长为152,所以|AF2|+|BF2|+|AB|=8,|A'F2|+|B'F2|+|A'B'|=152.又|AF2|=|A'F2|,|BF2|=|B'F2|,
所以|AB|-|A'B'|=12,
即(x1-x2)2+(y1-y2)2-(x1-x2)2+y12+y22=12, ①
所以-2y1y2(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x1-x2)2+y12+y22=
12,
所以(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x1-x2)2+y12+y22
=-4y1y2. ②
由①+②可得(x1-x2)2+(y1-y2)2=14-2y1y2.
因为(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(my1-1-my2+1)2+(y1-y2)2
=m2+1y12+y22-2y1y2
=m2+1·(y1+y2)2-4y1y2,
所以14-2y1y2=m2+1(y1+y2)2-4y1y2.
将y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4代入上式得14+183m2+4=m2+1·(6m3m2+4) 2+363m2+4=m2+1·36m2+36(3m2+4)(3m2+4)2=m2+13m2+4·144(m2+1)=12(m2+1)3m2+4=4-43m2+4.
所以223m2+4=154,所以m2=2845,解得m=22115或m=-22115(舍去),所以tan θ=1m=33514.