备战2025年高考二轮复习数学专题突破练9（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练9（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·北京东城二模)在△ABC中,A=π4,C=7π12,b=2,则a=( )
A.1B.2C.3D.2
答案D
解析由题意可得B=π-A-C=π6.
由正弦定理可得,a=bsinAsinB=2×2212=2.
故选D.
2.(2024·浙江金华三模)已知△ABC中,A=π6,a=13,b=2,则c=( )
A.2B.3C.32D.33
答案D
解析由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,即13=4+c2-23c,解得c=33(c=-3舍去).故选D.
3.(2024·山东济南一模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acs C+3asin C=b,则A=( )
A.π6B.π4C.π3D.π2
答案A
解析由正弦定理可得,sin Acs C+3sin Asin C=sin B.因为sin B=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C,代入整理得3sin Asin C-cs Asin C=0.
因为00,
则tan A=33.
又0故选A.
4.(2024·吉林二模)如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其北偏东60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°,且与甲船相距2 n mile的B处的乙船,已知遇险渔船在乙船的正东方向,那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A.2 n mileB.2 n mile
C.22 n mileD.32 n mile
答案B
解析由题意知,AB=2,∠BAC=45°,∠BCA=30°,由正弦定理得,ABsin∠BCA=BCsin∠BAC,所以BC=ABsin∠BACsin∠BCA=2sin45°sin30°=2.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.故选B.
5.(2024·陕西西安模拟)在△ABC中,cs A=-12,b=6,a-c=4,则△ABC的面积为( )
A.153B.303C.15D.30
答案A
解析因为cs A=-12,b=6,a-c=4,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A,得(c+4)2=36+c2+6c,解得c=10.因为A∈(0,π),所以sin A=32,所以S=12bcsin A=153.故选A.
6.(2024·陕西渭南三模)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcs C+ccs B=b,且a=ccs B,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
答案D
解析由正弦定理,得sin Bcs C+sin Ccs B=sin B,
则sin(B+C)=sin B,即sin A=sin B,故a=b.
因为a=ccs B,则sin A=sin Ccs B,
故sin(B+C)=sin Ccs B,sin Bcs C+cs Bsin C=sin Ccs B,得sin Bcs C=0.
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,故cs C=0.
因为C∈(0,π),所以C=π2,
故△ABC为等腰直角三角形.故选D.
7.(2024·安徽皖南五校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c,且sin2Bsin2A=2(1+3sin B),则B=( )
A.π3B.2π3C.3π4D.5π6
答案D
解析由正弦定理得,b2a2=2(1+3sin B),
即b2=2a2(1+3sin B).由a=c及余弦定理可得,b2=a2+c2-2accs B=2a2(1-cs B),
∴2a2(1+3sin B)=2a2(1-cs B),
∴3sin B=-cs B,∴tan B=-33.
又08.在△ABC中,∠ACB=120°,BC=2AC,D为△ABC内一点,AD⊥CD,∠BDC=120°,则tan∠ACD=( )
A.22B.332C.6D.32
答案B
解析在Rt△ADC中,设∠ACD=θ(0<θ<π2),令AC=x(x>0),则BC=2x,CD=xcs θ.
在△BCD中,可得∠BCD=120°-θ,∠CBD=θ-60°,
由正弦定理BCsin∠BDC=CDsin∠CBD,得2x32=xcsθsin(θ-60°)=xcsθ12sinθ-32csθ,
所以43=112tanθ-32,可得tan θ=332,
即tan∠ACD=332.故选B.
二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·山东济南三模)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,外接圆半径为R.若a=1,且sin A-bsin B=(c+b)sin C,则( )
A.sin A=32
B.△ABC面积的最大值为34
C.R=233
D.BC边上的高的最大值为36
答案AD
解析在△ABC中,由正弦定理,得a-b2=c2+bc.
因为a=1,则a=b2+c2+bc=1.
由余弦定理得,cs A=b2+c2-a22bc=-12.
又0对于A,sin A=32,故A正确;
对于B,显然1=b2+c2+bc≥3bc,当且仅当b=c时,等号成立,S△ABC=12bcsin A≤312,故B错误;
对于C,R=12·asinA=13=33,故C错误;
对于D,令BC边上的高为h,则12ah=S△ABC≤312,解得h≤36,D正确.故选AD.
10.(2024·湖北荆州三模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,恒成立条件a=3cs C,b=1.附加条件①△ABC的面积取到最大值34;附加条件②c=102.下列结论正确的是( )
A.sinAsinB=3cs C
B.tan C=2tan B
C.若恒成立条件和附加条件①成立,则cs 2B=35
D.若恒成立条件和附加条件②成立,则cs 2B=45
答案ABC
解析因为a=3cs C,b=1,所以a=3bcs C.
由正弦定理得sin A=3sin Bcs C.
又B∈(0,π),所以sin B>0,
则sinAsinB=3cs C,故A正确.
又A+B+C=π,
所以3sin Bcs C=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C,
所以2sin Bcs C=cs Bsin C.
因为cs B≠0,cs C≠0,所以tan C=2tan B,故B正确.
若△ABC的面积取到最大值34,即S△ABC=12absin C=32cs Csin C=34sin 2C,
所以当C=π4时,S△ABC取得最大值34,此时tan C=1,由B可知tan B=12tan C=12,
所以cs 2B=cs2B-sin2B=cs2B-sin2Bsin2B+cs2B=1-tan2Btan2B+1=1-1414+1=35,故C正确.
若c=102,由正弦定理bsinB=csinC,得sin C=102sin B,
所以sin2C=52sin2B,由B知tan C=2tan B,
即sin2Ccs2C=4sin2Bcs2B,
所以52sin2Bcs2C=4sin2Bcs2B,cs2C=58cs2B,
所以sin2C+cs2C=52sin2B+58cs2B,
即1=158sin2B+58,所以sin2B=15,
所以cs 2B=1-2sin2B=1-2×15=35,故D错误.
故选ABC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccs B=2a-b,则C= .
答案π3
解析根据题意,在△ABC中,2ccs B=2a-b,
则由正弦定理,得2sin Ccs B=2sin A-sin B,变形可得2sin Ccs B=2sin(B+C)-sin B,
则有2sin Bcs C=sin B.
因为sin B>0,所以cs C=12.
因为C∈(0,π),则C=π3.
12.(2024·浙江台州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A为锐角,b=3,c=4,则△ABC的周长可能为 .(写出一个符合题意的答案即可)
答案9(答案不唯一,(8,12)内的任何一个值均可)
解析由余弦定理可得a=b2+c2-2bccsA=25-24csA.
因为角A为锐角,则cs A∈(0,1),可得a=25-24csA∈(1,5),所以△ABC的周长a+b+c=a+7∈(8,12).故△ABC的周长可以为9.(答案不唯一,(8,12)内的任何一个值均可)
13.(2024·山东威海二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=6,b+c=4,cs C=-66,则sin A= .
答案53
解析在△ABC中,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcs C,
所以c2-b2=6-26b×-66,
所以(c-b)(c+b)=6+2b.
因为c+b=4,所以4(c-b)=6+2b,
所以4c-6b=6.
又b+c=4,解得b=1,c=3.
由cs C=-66,可得sin C=306.
在△ABC中,由正弦定理可得csinC=asinA,
所以sin A=asinCc=6×3063=53.
四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
14.(15分)(2024·山东济宁三模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(1-cs 2C)(sin A+1)-cs Asin 2C=0.
(1)求证:B=C+π2;
(2)若a=4,C∈π8,π6,求△ABC面积的取值范围.
(1)证明(1-cs 2C)(sin A+1)-cs Asin 2C=0,sin A+1-cs 2Csin A-cs 2C-cs Asin 2C=0,sin A-cs 2C+1-sin(A+2C)=0.
又A+C=π-B,
则sin(B+C)-cs 2C+1-sin(B-C)=0,
sin Bcs C+sin Ccs B-1+2sin2C+1-sin Bcs C+sin Ccs B=0,
2sin2C+2sin Ccs B=0,
即2sin C(sin C+cs B)=0.
又sin C>0,所以sin C+cs B=0,
即cs B=-sin C=csπ2+C.
又0(2)解由(1)知,B=π2+C,A+B+C=π,得A=π2-2C.
由π8所以S△ABC=12acsin B=12×42×sinCcs2C×sinπ2+C=12×42×sinCcs2C×cs C=4sin2Ccs2C=4tan 2C.又π8又y=tan x在区间-π2,π2上单调递增,
则tan 2C∈(1,3),所以4tan 2C∈(4,43),
即△ABC的面积的取值范围为(4,43).