备战2025年高考二轮复习数学专题突破练6（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练6（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·河北承德二模)在△ABC中,D为BC中点,连接AD,设E为AD中点,且BA=x,BE=y,则BC=( )
A.4x+2yB.-4x+y
C.-4x-2yD.4y-2x
答案D
解析由于BE=12(BA+BD)=12BA+14BC,所以BC=4BE-2BA=4y-2x.故选D.
2.(2024·江苏南京二模)已知向量a=(1,2),b=(x,x+3).若a∥b,则x=( )
A.-6B.-2C.3D.6
答案C
解析由a∥b,知1·(x+3)=2·x,解得x=3.
故选C.
3.(2024·湖南长沙二模)在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中,A1A4·A3A6的值为( )
A.2B.-2C.23D.-23
答案B
解析如图,易知△A3OA4,△A1OA6为正三角形,
则|A1A4|=|A3A6|=2,=2π3,
所以A1A4·A3A6=|A1A4||A3A6|cs=2×2×-12=-2.故选B.
4.(2024·浙江绍兴二模)已知e1,e2是单位向量,且它们的夹角是60°,若a=2e1+e2,b=λe1-e2,且a⊥b,则λ=( )
A.25B.45C.1D.2
答案B
解析由a⊥b得,a·b=(2e1+e2)·(λe1-e2)=2λe12+(λ-2)e1·e2-e22=0,即2λ+λ-22-1=0,解得λ=45.故选B.
5.(2024·山东滨州二模)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则c·(b-a)=( )
A.4
B.1
C.-1
D.-4
答案A
解析建立平面直角坐标系如图所示,
可知a=(-1,-2),b=(-2,1),c=(2,2),则b-a=(-1,3),所以c·(b-a)=-2+6=4.
故选A.
6.(2024·江苏扬州模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a与b的夹角为5π6,则|2a-b|=( )
A.12B.13C.1D.13
答案B
解析根据题意,a·b=|a||b|cs5π6=1×3×-32=-32,则|2a-b|=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4+6+3=13.故选B.
7.(2024·广东茂名模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为4,对称中心为O,以O为圆心作半径为2的圆,点M为圆O上任意一点,则AD·CM的取值范围为( )
A.[-24,16]B.[0,32]
C.[-32,0]D.[-123,0]
答案C
解析连接OM,OC,设=θ,依题意,AD=8,OC=4,=π3,
则AD·CM=AD·(OM-OC)=AD·OM-AD·OC=8×2cs θ-8×4csπ3=16cs θ-16.
由θ∈[0,π],得-1≤cs θ≤1,
所以-32≤AD·CM≤0.
故选C.
8.(2024·湖南邵阳一模)如图,四边形ABCD是正方形,M,N分别是BC,DC的中点,若AB=λAM+μAN,λ,μ∈R,则2λ-μ的值为( )
A.43B.52C.-23D.103
答案D
解析AB=AM+MB=AM+CM=AM+12DA=AM+12(DN+NA)=AM+1212AB-AN,
所以34AB=AM-12AN,
所以AB=43AM-23AN,
所以λ=43,μ=-23,2λ-μ=83+23=103.
故选D.
二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·浙江温州模拟预测)已知单位向量a,b,c共面,则下列说法中正确的是( )
A.若|a+b|=|a-b|,则a∥b
B.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
C.若a+b+c=0,则=π3
D.若a+b+c=0,则=2π3
答案BD
解析由|a+b|=|a-b|,可得(a+b)2=(a-b)2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,可得a·b=0,所以a⊥b,故A不正确,B正确.
因为向量a,b,c为单位向量,可得|a|=|b|=|c|=1.
又a+b+c=0,可得b=-(a+c),
则b2=a2+c2+2a·c,
即|b|2=|a|2+|c|2+2a·c,
可得a·c=-12,
所以cs=a·c|a||c|=-12.
因为∈[0,π],所以=2π3,故C错误.
由a+b+c=0,可得a=-(b+c),
则|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,可得b·c=-12,
所以cs=b·c|b||c|=-12.
因为∈[0,π],所以=2π3,故D正确.
故选BD.
10.(2024·山东济宁模拟)如图2,这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫ABCDEF,则下列选项正确的是( )
图1
图2
A.向量BF在向量DE上的投影向量为-32AB
B.AD-BE+CF=0
C.|AC+AE|=30
D.点P是正六边形内部(包括边界)的动点,AP·AB的最小值为-200
答案ABD
解析以A为原点,以AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
对于A,由图可知B(20,0),F(-10,103),D(20,203),E(0,203),所以BF=(-30,103),DE=(-20,0),故向量BF在向量DE上的投影向量为BF·DE|DE|2 DE=600400DE=32DE=-32AB,故A正确.
对于B,由图可知A(0,0),C(30,103),所以AD=(20,203),BE=(-20,203),CF=(-40,0),所以AD-BE+CF=(20+20-40,203-203+0)=(0,0)=0,故B正确.
对于C,AC=(30,103),AE=(0,203),|AC+AE|=302+(303)2=3 600=60,故C错误.
对于D,设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(20,0),所以AP·AB=20x.因为点P是正六边形内部(包括边界)的动点,所以-10≤x≤30,所以当x=-10时,AP·AB有最小值,最小值为-200,故D正确.
故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
11.(2024·山东潍坊三模)已知向量a=(1,2),b=(4,-2),c=(1,λ),若c·(2a+b)=0,则实数λ= .
答案-3
解析2a+b=(2,4)+(4,-2)=(6,2),c·(2a+b)=(1,λ)·(6,2)=6+2λ=0,解得λ=-3.
12.(2024·湖北武汉期末)设P为△ABC所在平面内一点,满足AP·BC=BP·AC=0,则CP·AB= .
答案0
解析由AP·BC=0,得PA·(PC-PB)=0,则PA·PC=PA·PB.
由BP·AC=0,得PB·(PC-PA)=0,则PB·PC=PB·PA,
于是PA·PC=PB·PC,
所以CP·AB=-PC·(PB-PA)=-PC·PB+PC·PA=0.
13.(2024·山东泰安二模)已知在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,则AP·AD的最大值为 ;若AP=mAB+nAD(m,n∈R),则m+n的最大值为 .
答案92 3
解析如图,以B为原点,以BC,BA所在的直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,1),D(3,1),C(3,0),AD=(3,0).
设圆的半径为r,∵BC=3,CD=1,
∴BD=(3)2+12=2,
∴12BC·CD=12BD·r,
解得r=32,
∴圆的方程为(x-3)2+y2=34.
设∠PCE=θ,则点P的坐标为(32cs θ+3,32sin θ),θ∈[0,2π],则AP=(32cs θ+3,32sin θ-1),AP·AD=3(32cs θ+3)=32cs θ+3∈[32,92],故AP·AD的最大值为92.
∵AP=mAB+nAD(m,n∈R),AB=(0,-1),
∴AP=(32cs θ+3,32sin θ-1)=m(0,-1)+n(3,0)=(3n,-m),
∴12cs θ+1=n,-32sin θ+1=m,
∴m+n=12cs θ-32sin θ+2=cs(θ+π3)+2.∵-1≤cs(θ+π3)≤1,
∴1≤m+n≤3,
故m+n的最大值为3.
四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14.(15分)(2024·湖南长沙一模)“费马点”是由数学家费马提出,该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于120°时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cs 2B+cs 2C-cs 2A=1.
(1)求A;
(2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点,求PA·PB+PB·PC+PC·PA.
解(1)由cs 2B+cs 2C-cs 2A=1,得1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,故sin2A=sin2B+sin2C.
由正弦定理可得a2=b2+c2,
故△ABC是直角三角形,且A=π2.
(2)由(1)知,A=π2,
所以△ABC中的三个角都小于120°.
由费马点定义,可知∠APB=∠BPC=∠APC=120°.
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z,
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC得,12xy·32+12yz·32+12xz·32=12bc=1,
整理得xy+yz+xz=433,则PA·PB+PB·PC+PA·PC=xy·-12+yz·-12+xz·-12=-12×433=-233.