备战2025年高考二轮复习数学专题突破练5（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练5（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了已知函数f=aln x-2x，已知函数f=exsin x等内容，欢迎下载使用。

1.(13分)(2024·浙江杭州模拟)设函数f(x)=(x-1)2ex-ax,若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)零点的个数.
解(1)由题意可得f'(x)=(x2-1)ex-a.因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b,所以f'(0)=-1-a=-2,f(0)=1=b,解得a=1,b=1.
(2)由(1)知f(x)=(x-1)2ex-x,所以f(x)=ex(x-1)2-xex,令g(x)=(x-1)2-xex,则f(x)的零点个数就是g(x)的零点个数.由于g'(x)=(x-1)2+1ex,所以当x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.又g(0)=1>0,g(1)=-1e<0,g(2)=1-2e2>0,所以g(0)g(1)<0,g(1)g(2)<0,由零点存在定理可得,∃x1∈(0,1),使得g(x1)=0,∃x2∈(1,2),使得g(x2)=0,故函数f(x)有两个零点.
2.(15分)已知函数f(x)=aln x-2x.
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,16]上有两个零点,求实数a的取值范围.
解(1)当a=2时,f(x)=2ln x-2x,该函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-1x,又f(1)=-2,f'(1)=1,因此,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.
(2)①当a≤0时,f'(x)=ax-1x<0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
②当a>0时,由f(x)=aln x-2x=0可得2a=lnxx,令g(x)=lnxx,其中x>0,则直线y=2a与曲线y=g(x)的图象在(0,16]上有两个交点,g'(x)=xx-lnx2xx=2-lnx2xx,令g'(x)=0,可得x=e2<16,当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如表所示.
所以函数g(x)在区间(0,16]上的极大值为g(e2)=2e,且g(16)=ln 2,作出g(x)的图象如图所示.
由图可知,当ln 2≤2a<2e,
即e3.(15分)(2024·湖北黄石三模)已知函数f(x)=x-ln x+m有两个零点x1,x2.
(1)求实数m的取值范围;
(2)如果x1解(1)令f(x)=0,即m=ln x-x,令g(x)=ln x-x,则g'(x)=1x-1=1-xx,当00,当x>1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.又g(1)=-1,且x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→-∞,又y=g(x)的图象与直线y=m有两个交点,所以,实数m的取值范围是(-∞,-1).
(2)由(1)可得m=ln x1-x1,m=ln x2-x2,又04.(17分)(2024·四川成都一模)已知函数f(x)=exsin x(e是自然对数的底数).
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)记g(x)=f(x)-ax,若0解(1)f(x)=exsin x,定义域为R.
f'(x)=ex(sin x+cs x)=2exsinx+π4.
令f'(x)<0,解得sinx+π4<0,
解得2kπ+3π4(2)由已知g(x)=exsin x-ax,
∴g'(x)=ex(sin x+cs x)-a.
令h(x)=g'(x),则h'(x)=2excs x.
∵x∈(0,π),∴当x∈0,π2时,h'(x)>0;
当x∈π2,π时,h'(x)<0,
∴h(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减,即g'(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减.∵g'(0)=1-a,g'(π)=-eπ-a<0,
①当1-a≥0,即0∴g'π2>0.∴∃x0∈π2,π,使得g'(x0)=0,
∴当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减.
∵g(0)=0,∴g(x0)>0.又g(π)=-aπ<0,
∴由零点存在定理可得,此时g(x)在(0,π)上仅有一个零点.
②当1∵g'(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减,又g'π2=eπ2-a>0,
∴∃x1∈0,π2,x2∈π2,π,使得g'(x1)=0,g'(x2)=0,
且当x∈(0,x1),x∈(x2,π)时,g'(x)<0;当x∈(x1,x2)时,g'(x)>0,∴g(x)在(0,x1)和(x2,π)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.∵g(0)=0,∴g(x1)<0.
∵gπ2=eπ2-π2a>eπ2-3π2>0,∴g(x2)>0.
又g(π)=-aπ<0,由零点存在定理可得,g(x)在(x1,x2)和(x2,π)内各有一个零点,即此时g(x)在(0,π)内有两个零点.
综上,当0x
(0,e2)
e2
(e2,16]
g'(x)
+
0
-
g(x)
单调递增
极大值
单调递减