备战2025年高考二轮复习数学中低档大题规范练3（Word版附解析）

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1.(13分)如图,已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面,矩形SADE的对角线交于点F,G为SB的中点,∠ABC=∠BAD=π2,SA=AB=BC=12AD=1.
(1)求证:BD∥平面AEG;
(2)求平面SCD与平面ESD夹角的余弦值.
(1)证明连接GF,因为四边形SADE为矩形,
所以F为SD的中点.
又G为SB的中点,
所以GF∥BD.
因为GF⊂平面AEG,BD⊄平面AEG,
所以BD∥平面AEG.
(2)解因为SA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,
所以SA⊥AB,SA⊥AD.
又∠BAD=π2,
所以AB,AD,AS两两垂直.
以A为原点,分别以AB,AD,AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0),C(1,1,0),所以AB=(1,0,0),CD=(-1,1,0),SD=(0,2,-1),
易知,AB=(1,0,0)为平面ESD的一个法向量.
设n=(x,y,z)为平面SCD的法向量,
则CD·n=-x+y=0,SD·n=2y-z=0,取x=1,得n=(1,1,2).
记平面SCD与平面ESD夹角为θ,则cs θ=|cs|=16=66,
故平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为66.
2.(15分)(2024·浙江杭州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足b1=3,令anbn=an+2bn+1,求证:∑k=1nbk<92.
(1)解设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
由S4=4S2,a2n=2an+1,
得4a1+6d=8a1+4d,a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1,
解得a1=1,d=2,
所以an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*).
(2)证明由(1)知,(2n-1)bn=(2n+3)bn+1,即bn+1bn=2n-12n+3,bnbn-1=2n-32n+1,bn-1bn-2=2n-52n-1,…,b3b2=37,b2b1=15,
当n≥2时,利用累乘法可得bn=bnbn-1×bn-1bn-2×…×b2b1×b1=2n-32n+1×2n-52n-1×…×37×15×3=9(2n-1)(2n+1)=92(12n-1-12n+1),
当n=1时,b1=92×(1-13)=3符合上式,
故bn=92(12n-1-12n+1).
∑k=1nbk=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=92[1-13+13-15+15-17+…+(12n-1-12n+1)]=92(1-12n+1),
所以∑k=1nbk=92(1-12n+1)<92.
3.(15分)(2024·山东日照二模)某公司为考核员工,采用某方案对员工进行业务技能测试,并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级.
(1)已知该公司甲部门有3名负责人,乙部门有4名负责人,该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析,记负责人来自甲部门的人数为X,求X的最有可能的取值;
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100分)与绩效等级优秀率y,如下表所示:
根据数据绘制散点图,初步判断,选用y=λecx作为回归方程.令z=ln y,经计算得z=-0.642, ∑i=17xizi-7xz∑i=17xi2-7x2≈0.02.
(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分,估计其绩效等级优秀率;
(ⅱ)根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩x~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.经计算s≈20,求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率.
参考公式与数据:①ln 0.15≈-1.9,e1.2≈3.32,ln 5.2≈1.66.
②线性回归方程y^=b^x+a^中,b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x.
③若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ解(1)依题意,随机变量X服从超几何分布,且X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=C30·C43C73=435,
P(X=1)=C31·C42C73=1835,
P(X=2)=C32·C41C73=1235,
P(X=3)=C33·C40C73=135.
由此可得P(X=1)=1835最大,即X=1的可能性最大,故X最有可能的取值为1.
(2)(ⅰ)依题意,y=λecx两边取对数,得ln y=cx+ln λ,即z=cx+ln λ,
其中x=32+41+54+68+74+80+927=63.
由提供的参考数据,可知c=0.02.
又-0.642=0.02×63+ln λ,故ln λ≈-1.9,
所以λ≈e-1.9,
由提供的参考数据,可得λ≈0.15,
故y^=0.15×e0.02x.
当x=60时,y^=0.15×e0.02×60≈0.498,
即估计其绩效等级优秀率为0.498.
(ⅱ)由(ⅰ)及提供的参考数据可知,μ≈x=63,σ≈s≈20.
又y^≥0.78,即0.15×e0.02x≥0.78,可得0.02x≥ln 5.2,即x≥83.
又μ+σ=83,且P(μ-σ由正态分布的性质,得P(x≥83)=12[1-P(μ-σ记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A,则P(A)=P(x≥83)≈0.158 7,所以绩效等级优秀率不低于0.78的概率等于0.158 7.
x
32
41
54
68
74
80
92
y
0.28
0.34
0.44
0.58
0.66
0.74
0.94