备战2025年高考二轮复习数学题型专项练10 中低档大题规范练（D）（Word版附解析）

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1.(13分)已知{an}是各项都为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=2lg2an+1,且b1=1,b4=7.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*都有2λan≥bn-2,求实数λ的取值范围.
解(1)因为bn=2lg2an+1,b1=1,b4=7,所以b1=2lg2a1+1=1,b4=2lg2a4+1=7,得a1=1,a4=8.
因为{an}是各项都为正数的等比数列,所以q3=a4a1=8,得q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,则bn=2lg2an+1=2(n-1)+1=2n-1.
(2)若对任意的n∈N*,2λan≥bn-2恒成立,则λ≥2n-32n恒成立,设f(n)=2n-32n(n∈N*),则f(n+1)-f(n)=2n-12n+1-2n-32n=5-2n2n+1.
当n≤2时,f(n+1)-f(n)>0,则f(3)>f(2)>f(1);
当n≥3时,f(n+1)-f(n)<0,则f(3)>f(4)>f(5)>….
所以f(n)max=f(3)=38,所以λ≥f(n)max=38,即λ≥38.
2.(15分)(2024河北唐山二模)某学校组织游戏活动,让学生从盒子中有放回地摸球.规定每次只能摸取1个球,且每次摸球的结果相互独立.已知盒中有1分球和2分球若干,摸到1分球的概率为23,摸到2分球的概率为13.
(1)若学生甲摸球2次,其总得分记为X,求随机变量X的分布列与期望;
(2)学生甲、乙各摸5次球,若两人的最终得分相同,则都不获得奖励;若不同,则得分多者获得奖励.已知甲前3次摸球得了6分,求乙获得奖励的概率.
解(1)由题意知,学生甲摸球2次总得分X的可能取值为2,3,4,
则P(X=2)=23×23=49,P(X=3)=C21×23×13=49,P(X=4)=13×13=19,所以X的分布列为
所以E(X)=2×49+3×49+4×19=83.
(2)记Am=“甲最终得分为m分”,m=8,9,10;
B=“乙获得奖励”.
P(A9)=C21×23×13=49,P(A8)=23×23=49.
当甲最终得9分时,乙获得奖励需要最终得10分,则P(B|A9)=135;
当甲最终得8分时,乙获得奖励需要最终得10分或9分,则P(B|A8)=135+C51×23×134=11×135.
故P(B)=P(A9B)+P(A8B)=P(A9)P(B|A9)+P(A8)P(B|A8)=49×135+49×11×135=4837=16729.
即乙获得奖励的概率为16729.
3.(15分)如图,在棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的投影O是棱AC的中点,P为棱A1B1(包含端点)上的动点.
(1)求点P到平面ABC1的距离;
(2)若AP⊥平面α,求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围.
解(1)由题意知,A1O⊥平面ABC,OB⊥AC(底面△ABC为正三角形),且A1O=OB=3,
以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),
AC1=(0,3,3),AB=(3,1,0),BC1=(-3,2,3),AA1=(0,1,3).
因为A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,所以A1B1∥平面ABC1,
又点P在棱A1B1上,所以点P到平面ABC1的距离等于点A1到平面ABC1的距离,
设n=(x,y,z)为平面ABC1的法向量,则n·AC1=3y+3z=0,n·AB=3x+y=0,取x=1,得n=(1,-3,3),因此,点A1到平面ABC1的距离d=|AA1·n||n|=2313=23913,
所以点P到平面ABC1的距离为23913.
(2)设A1P=λA1B1,λ∈[0,1],
则AP=AA1+A1P=AA1+λAB=(0,1,3)+λ(3,1,0)=(3λ,1+λ,3),由AP⊥平面α,得AP为平面α的一个法向量.
设直线BC1与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cs|=|BC1·AP||BC1||AP|=|5-λ|10·3λ2+(1+λ)2+3=5-λ25·2λ2+λ+2,
令t=5-λ,则λ=5-t,t∈[4,5],
则sin θ=t25·2(5-t)2+(5-t)+2=t25·2t2-21t+57=125·2-21t+57t2=12557(1t-738) 2+576,
设x=1t,f(x)=57x-7382+576,
由t∈[4,5],得x∈15,14,因为738<735=15,所以f(x)在15,14上单调递增,f15=225,f14=516,
所以571t-7382+576∈225,516,
所以25·57(1t-738) 2+576∈[2105,52],
所以sin θ∈25,104,
即直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围是25,104.
X
2
3
4
P
49
49
19