备战2025年高考二轮复习数学题型专项练9 中低档大题规范练（C）（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学题型专项练9 中低档大题规范练（C）（Word版附解析），共3页。
1.(13分)(2024浙江温州三模)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥D1-A1DC1后得到如图所示的几何体,四边形ABCD是菱形,AC=4,BD=2,O为AC与BD的交点,B1O⊥平面ABCD.
(1)求证:B1O∥平面A1DC1;
(2)若B1O=23,求平面A1DC1与平面BCC1B1夹角的大小.
(1)证明在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1?DD1,
∴四边形BB1D1D是平行四边形.
∴B1D1BD.
如图,取A1C1的中点O1,连接B1O1,O1D,
∵四边形ABCD是菱形,O是AC与BD的交点,
∴AC⊥BD于点O,O是BD的中点,
∴B1O1OD.
∴四边形B1O1DO是平行四边形,
∴B1OO1D.
又B1O⊄平面A1DC1,O1D⊂平面A1DC1,
∴B1O∥平面A1DC1.
(2)解以O为原点,OD,OC,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-2,0),D(1,0,0),C(0,2,0),B(-1,0,0),B1(0,0,23),A1C1=AC=(0,4,0),DO1=OB1=(0,0,23),BC=(1,2,0),BB1=(1,0,23),设平面BCC1B1的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·B1C1=x1+2y1=0,m·CC1=x1+23z1=0,
取x1=23,则m=(23,-3,-1).
设平面A1DC1的法向量为n=(x2,y2,z2),则n·DO1=23z2=0,n·DA1=-2y2+23z2=0,取x2=1,则n=(1,0,0).
设平面A1DC1与平面BCC1B1夹角为θ,则cs θ=|cs|=m·n|m||n|=234×1=32,∴平面A1DC1与平面BCC1B1夹角的大小为π6.
2.(15分)(2024浙江杭州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足b1=3,令an·bn=an+2·bn+1,求证:∑k=1nbk