备战2025年高考二轮复习数学题型专项练7 中低档大题规范练（A）（Word版附解析）

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1.(13分)(2024安徽淮北二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2csin2A2.
(1)试判断△ABC的形状;
(2)若c=1,求△ABC的周长的最大值.
解(1)由c-b=2csin2A2=2c·1-csA2,解得cs A=bc,又由余弦定理得cs A=b2+c2-a22bc,联立可得a2+b2=c2,所以C=π2,所以△ABC是直角三角形.
(2)由(1)知,△ABC是直角三角形,C=π2.
若c=1,则a=sin A,b=cs A,所以△ABC的周长为1+sin A+cs A=1+2sinA+π4,
因为A∈0,π2,所以A+π4∈π4,3π4,所以sinA+π4∈22,1.
当A=π4时,△ABC的周长取最大值,为2+1.
2.(15分)(2024山东潍坊一模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,C分别是椭圆E的左顶点、上顶点,|AC|=5,且椭圆E的焦距为23.
(1)求椭圆E的方程和离心率;
(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆E于R,S两点,设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=-3,求k的值.
解(1)由题意得A(-a,0),C(0,b),|AC|=a2+b2=5,2c=23,又a2=b2+c2,联立解得c=3,a=2,b=1,所以椭圆E的方程为x24+y2=1,离心率e=ca=32.
(2)如图,由(1)知C(0,1),设直线RS的方程为x=my+1(m≠0),则k=1m,联立x24+y2=1,x=my+1,整理可得(4+m2)y2+2my-3=0,Δ=(2m)2+12(4+m2)=16m2+48>0,
设R(x1,y1),S(x2,y2)(x1x2≠0),则y1+y2=-2m4+m2,y1y2=-34+m2,直线CR,CS的斜率k1=y1-1x1,k2=y2-1x2,则k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=(my2+1)(y1-1)+(my1+1)(y2-1)(my1+1)(my2+1)=2my1y2+(1-m)(y1+y2)-2m2y1y2+m(y1+y2)+1=2m·-34+m2+(1-m)·-2m4+m2-2m2·-34+m2+m·-2m4+m2+1=2m-1=-3,解得m=13,所以直线RS的斜率k=1m=3.
3.(15分)如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证:AD⊥BM;
(2)若DE=λDB(0<λ<1),当二面角E-AM-D大小为π3时,求λ的值.
(1)证明取AM的中点O,AB的中点N,连接OD,ON,∵M为CD的中点,且CD=AB=2,∴DM=1,又AD=1,O为AM的中点,∴OD⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,OD⊂平面ADM,
∴OD⊥平面ABCM.
∵ON⊂平面ABCM,∴OD⊥ON.
∵AM=BM=2,AB=2,
∴AB2=AM2+BM2,∴AM⊥BM.
∵O为AM的中点,N为AB的中点,
∴ON∥BM,∴ON⊥AM.
以O为原点,OA,ON,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A22,0,0,B-22,2,0,M-22,0,0,D0,0,22,AD=-22,0,22,BM=(0,-2,0),
∵AD·BM=0,∴AD⊥BM.
(2)解若DE=λDB(0<λ<1),则xE,yE,zE-22=λ-22,2,-22,
∴点E的坐标为-22λ,2λ,22-22λ(其中λ∈(0,1)),
∴AE=-22λ-22,2λ,22-22λ.
设平面AME的法向量为n2=(x,y,z),AM=(-2,0,0),则n2·AM=0,n2·AE=0,
即-2x=0,(-22λ-22)x+2λy+(22-22λ)z=0,
取y=λ-1,则n2=(0,λ-1,2λ).
由(1)易得平面ADM的法向量可以取n1=(0,1,0),∵二面角E-AM-D的大小为π3,
∴csπ3=|cs|=|n1·n2|n1||n2||=|λ-1(λ-1)2+4λ2|=12,解得λ=-23-3或λ=23-3.∵λ∈(0,1),∴λ=23-3.