备战2025年高考二轮复习数学题型专项练2 客观题11 3标准练（B）（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学题型专项练2 客观题11 3标准练（B）（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024山东威海二模)在研究集合时,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.集合M={1,2,3,4},N={x|x>m},若card(M∩N)=2,则实数m的取值范围为( )
A.[2,3)B.[2,3]
C.(2,3)D.(2,+∞)
答案A
解析由题意知M∩N={3,4},所以2≤m<3.故选A.
2.在x-1x6的展开式中,常数项为( )
A.-15B.15C.30D.360
答案B
解析x-1x6的展开式的通项为Tr+1=C6r(x)6-r-1xr=C6rx6-r2(-1)rx-r=C6rx6-3r2(-1)r,令6-3r2=0,解得r=2,所以常数项为C62(-1)2=15.故选B.
3.已知中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线离心率为5,则其渐近线方程为( )
A.y=±xB.y=±2x
C.y=±5xD.y=±12x
答案D
解析因为e=ca=5,所以c2=5a2=a2+b2,
所以b=2a,又焦点在y轴上,所以渐近线方程为y=±abx=±12x.故选D.
4.已知{an}为正项等比数列,若lg a2,lg a2 024是函数f(x)=3x2-12x+9的两个零点,则a1a2 025=( )
A.10B.104C.108D.1012
答案B
解析因为lg a2,lg a2 024是f(x)=3x2-12x+9的两个零点,所以lg a2+lg a2 024=4,即lg(a2a2 024)=4,得a2a2 024=104,故a1a2 025=a2a2 024=104.故选B.
5.(2023全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A.56B.23C.12D.13
答案A
解析甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率P=1-636=56.故选A.
6.(2024山东临沂二模)若实数a,b,c满足a=2sinπ12,b3=7,3c=10,则( )
A.aC.a答案A
解析因为a=2sinπ12<2sinπ6=1,又b3=7,则b=37,且1<37<38=2,即1因为3c=10,所以c=lg310>lg39=2,所以c>b>a.故选A.
7.(2024山东潍坊一模)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为截面A1C1B上的动点,若DP⊥A1C,则点P的轨迹长度是( )
A.22B.2C.12D.1
答案B
解析如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接DC1,BD,AC,
∵AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥AA1,又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面AA1C,∴BD⊥平面AA1C,∵A1C⊂平面AA1C,
∴BD⊥A1C,同理BC1⊥A1C.
∵BC1∩BD=B,BC1,BD⊂平面BC1D,
∴A1C⊥平面BC1D,
∵DP⊥A1C,点D⊂平面BC1D,
∴DP⊂平面BC1D,
∵点P为截面A1C1B上的动点,平面A1C1B∩平面BC1D=BC1,∴点P的轨迹是线段BC1,长度为2.故选B.
8.(2024广东深圳二模)P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,PF1·PF2=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=b,则C的离心率为( )
A.12B.33C.63D.32
答案C
解析如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,延长OQ交PF2于点A,
∵OQ∥PF1,O为F1F2的中点,
∴点A是PF2的中点,|OA|=12|PF1|=12m.
∵PF1·PF2=0,
∴∠F1PF2=90°,∴∠QAP=90°,
∵点Q在∠F1PF2的平分线上,
∴∠QPA=12∠F1PF2=45°,
∴△AQP是等腰直角三角形,|AQ|=|PA|=12n.
联立方程m+n=2a,b+12n=12m,解得m=a+b,n=a-b,代入m2+n2=4c2,得(a+b)2+(a-b)2=4c2,即a2+b2=2c2,联立b2=a2-c2,得2a2=3c2,所以e=ca=63.故选C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50~350 kW·h之间,进行适当分组后(每组为左闭右开区间),画出频率分布直方图如图所示,记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为si(i=1,2,…,6),则( )
A.x的值为0.004 4
B.这100户居民该月用电量的中位数为175
C.用电量落在区间[150,350)内的户数为75
D.这100户居民该月的平均用电量为∑i=16(50i+25)si
答案AD
解析由频率分布直方图的性质可知,(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50=1,解得x=0.004 4,故A正确;
因为(0.002 4+0.003 6)×50=0.3<0.5,(0.002 4+0.003 6+0.006 0)×50=0.6>0.5,所以中位数落在区间[150,200)内,设其为m,则0.3+(m-150)×0.006=0.5,解得m≈183,故B错误;
用电量落在区间[150,350)内的户数为(0.006 0+0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50×100=70,故C错误;
这100户居民该月的平均用电量为(50+25)s1+(50×2+25)s2+…+(50×6+25)s6=∑i=16(50i+25)si,故D正确.故选AD.
10.在信息时代,信号处理是非常关键的技术,而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数f(x)=∑i=14sin[(2i-1)x]2i-1的图象可以近似模拟某种信号的波形,则( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的图象关于点(2π,0)对称
C.f(x)的图象关于直线x=π2对称
D.π是f(x)的一个周期
答案BC
解析由题意得,f(x)=sin x+13sin 3x+15sin 5x+17sin 7x,
∵x∈R,f(-x)=sin(-x)+13sin(-3x)+15sin(-5x)+17sin(-7x)=-sin x-13sin 3x-15sin 5x-17sin 7x=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数,故A错误;
∵f(4π-x)=sin(4π-x)+13sin[3(4π-x)]+15sin[5(4π-x)]+17sin[7(4π-x)]=-sin x-13sin 3x-15sin 5x-17sin 7x=-f(x),∴f(x)的图象关于点(2π,0)对称,故B正确;
∵f(π-x)=sin(π-x)+13sin[3(π-x)]+15sin[5(π-x)]+17sin[7(π-x)]=sin x+13sin 3x+15sin 5x+17sin 7x=f(x),∴f(x)的图象关于直线x=π2对称,故C正确;
∵f(x+π)=sin(x+π)+13sin[3(x+π)]+15sin[5(x+π)]+17sin[7(x+π)]=-sin x-13sin 3x-15sin 5x-17sin 7x=-f(x),∴π不是f(x)的周期,故D错误.故选BC.
11.在长方形ABCD中,AB=8,AD=6,点E,F分别为边BC和CD上两个动点(含端点),且EF=5,设BE=λBC,DF=μDC,则( )
A.16≤λ≤1,38≤μ≤1
B.λ+μ为定值
C.AE·AF的最小值为50
D.|AE+AF|的最大值为265
答案AC
解析由题意知,当点F和点C重合时,BE=1,此时λ取最小值16,μ取到最大值1;
当点E和点C重合时,DF=3,此时μ取最小值38,λ取到最大值1,故A正确;
当点F和点C重合时,λ=16,μ=1,λ+μ=76;
当E,F分别是DC,BC的中点时,满足EF=5,此时λ=12,μ=12,λ+μ=1,由此可知λ+μ不为定值,故B错误;
因为AE·AF=(AB+BE)·(AD+DF)=(AB+λBC)·(AD+μDC)=AB·AD+λBC·AD+μAB·DC+λμBC·DC=λBC·AD+μAB·DC=λBC2+μAB2=36λ+64μ,由EF=5,得EF2=25,即(EC+CF)2=25,
即[(1-λ)BC+(μ-1)DC]2=25,
即36(1-λ)2+64(μ-1)2=25,
设6(λ-1)=5cs θ,8(μ-1)=5sin θ,θ∈[0,2π),
则36λ+64μ=36×5csθ6+1+64×5sinθ8+1=100+30cs θ+40sin θ=100+50sin(θ+φ)φ为辅助角,tan φ=34,
当sin(θ+φ)=-1时,36λ+64μ取到最小值50,即AE·AF的最小值为50,故C正确;
当点F与点C重合时,μ=1,λ=16,AE+AF=AB+BE+AC=AB+16BC+AB+BC=2AB+76BC,|AE+AF|=(2AB+76BC) 2=4AB2+4936BC2=4×64+4936×36=305>265,故D错误.故选AC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024广东广州二模)已知复数z=2csθ+isinθ1+i(θ∈R)的实部为0,则tan 2θ= .
答案43
解析∵复数z=2csθ+isinθ1+i
=(2csθ+isinθ)(1-i)(1+i)(1-i)
=2csθ+sinθ+(sinθ-2csθ)i2(θ∈R)的实部为0,
∴2cs θ+sin θ=0,∴tan θ=-2.
∴tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=-41-4=43.
13.(2024河南郑州模拟)平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理:三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍.若点A,B,C都在圆E上,直线BC的方程为x+y-2=0,且|BC|=210,△ABC的垂心G(2,2)在△ABC内,点E在线段AG上,则圆E的标准方程为 .
答案(x-3)2+(y-3)2=18
解析由△ABC的垂心G(2,2)到直线BC:x+y-2=0的距离d=|2+2-2|12+12=2,设圆E的半径为r,因为点E在线段AG上,由塞尔瓦定理可得r+|EG|=2(|EG|+2),由圆的几何性质可得(|EG|+2)2+(10)2=r2,联立解得|EG|=2,r=32,因为直线BC的方程为x+y-2=0,EG⊥BC且G(2,2),所以直线EG的方程为y-2=1·(x-2),即y=x,设E(a,a),则点E到直线BC的距离d'=|a+a-2|2=22,解得a=-1(舍去)或a=3,所以圆E的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=18.
14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上,当该圆锥的侧面积最大时,它的体积为 .
答案32π3
解析如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为C,顶点与底面圆周均在球O的球面上,
则OA=OP=3,设PA=l,CA=r,OC=d,
则圆锥的侧面积为S=12×l×2π×r=πlr,
当r相同时,l越大,则圆锥的侧面积S越大,由球的对称性知,当P,C两点位于球心O两侧时,圆锥的侧面积更大.
此时l2=r2+(3+d)2,r2+d2=9,联立得r2=9-d2,l2=6d+18,
故S2=π2l2r2=π2(6d+18)(9-d2)=6π2(-d3-3d2+9d+27).
设f(x)=-x3-3x2+9x+27,0≤x≤3,
则f'(x)=-3x2-6x+9=-3(x+3)(x-1),
当0≤x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当1即当d=1时,圆锥的侧面积最大,此时r2=9-d2=8,圆锥的体积V=13πr2(3+d)=13×π×8×4=323π.