广东省阳江市高新区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页，19小题，满分150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合，且，则（ ）
A. 10或13B. 13C. 4或7D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系计算即可.
【详解】当，即时，，此时与4重复，则.
当，即时，.
故选：B
2. 已知，则p是q的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为当时，成立，而当时，不一定成立，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：B
3. 已知实数且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由等式得到关于的表达式，再由条件得到，进而分析各不等式得到的取值范围，从而得解.
【详解】由，得，
因为且，所以，
所以由，得，所以，
由，得，所以，
由，得，
综上，，即.
故选：B.
4. 已知，，，则以下不等式不成立的是（ ）
A B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用基本不等式即可判断ACD，由，整理后利用不等式的性质即可判断B.
【详解】对于A，，
当且仅当且，即时取等号，故A正确；
对于B，由D选项证得，则有：
，
当且仅当时取等号，所以，即，故B正确
（也可利用三元基本不等式，，相加得证）；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D，因为，，，所以，
所以，当且仅当时取等号，故D错误．
故选：D．
5. 已知，，则的最大值是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】结合，利用不等式的性质即可求解.
【详解】因为，所以，
又，
所以由不等式的可加性可得，
故的最大值是2.
故选：B.
6 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分析在各段区间上的值域，再根据条件由外而内依次求得，从而得解.
【详解】因为，
当时，；
当时，；
当时，；
令，则由，得，
由上述分析可得且，解得，即，
所以且，解得.
故选：D.
7. 函数为定义在上的减函数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据是定义域R上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D.
【详解】是定义在R上的减函数，，
与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误；
，时，；时，，故的关系不确定，故B错误；
，，，故C正确．
，时，；时，，故关系不确定，D错误，
故选：C．
8. 定义在上的函数和的最小周期分别是和，已知的最小正周期为1，则下列选项中可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设，可知，然后根据每一个选项的，去求，判断选项是否成立即可.
【详解】令，则有，
若，则，此时，有，此时，故A错误；
若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为，
所以，此时，故B错误；
若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为，
所以，此时，故C错误；
若，则，因为，此时，而的整数倍，相同的最小的数为，
所以，此时，故D正确；
故选：D
【点睛】关键点点睛：当两个最小正周期不同的函数相互加或减的时候，形成的新函数的周期为初始两个函数周期的整数倍，且相同的最小的数.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组中M，N表示不同集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ABC
【解析】
【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同.
【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确；
B选项，为点集，为数集，则两集合不同，故B正确；
C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确；
D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误.
故选：ABC
10. 对于实数，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对ABD，举反例说明不等式不恒成立，对C，根据不等式的性质，证明不等式恒成立.
【详解】对A：令，，则，但不成立，所以A错误；
对B：令，，，，则，，但不成立，所以B错误；
对C：由题意，根据不等式的性质，有即，故C成立；
对D：令，，，，则，，但不成立，所以D错误.
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C.
D. 的一个周期为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB；利用赋值法求出的值，结合对称性可求，判断C；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D.
【详解】由于函数的定义域为为偶函数，
则，即，则的图象关于直线对称，A正确；
又为奇函数，则，即，
故的图象关于点对称，B正确；
由于，令，则，
又的图象关于直线对称，故，C错误；
又，，则，
故，即，则，
即的一个周期为8，D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合元素的互异性分别讨论集合中三个元素分别为1时的值，再计算即可；
【详解】因为，
若时，，不符合元素的互异性；
若，即或2时：
当时，集合，不符合元素的互异性；
当时，，不符合元素互异性；
若，即或2时：
当时，由以上可知不符合题意；
当时，，符合；
所以，所以，
故答案为：.
13. 已知，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】分子进行有理化，然后结合“1”的妙用，利用，即可结合基本不等式来求解最值.
【详解】由题知，，
令
，
因为，所以，
所以，，
所以，
当且仅当，即时取等，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴与单调性求解即可.
【详解】由题意，图象的对称轴为，
因为在上是减函数，故，即.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得集合，由题意，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式，即可求解；
（2）先求得集合，结合，分类讨论求得实数的范围，进而求得时，实数的取值范围，得到答案.
【小问1详解】
由集合，，
因为，可得，
当时，即，解得，此时满足；
当时，要使得，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
【小问2详解】
由集合，，
当时，即，解得，此时；
当时，要使得，则满足或，
解得或，
综上可得，若时，实数的取值范围为，
所以，若时，可得实数的取值范围为.
16. （1），，求证：；
（2）已知，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用作差法结合已知条件证明即可；
（2）令，整理后求出，然后利用不等式的性质可求得结果.
【详解】（1），
因为，所以，
又，所以，
即.
（2）令，
所以，解得，
所以，
因为，所以，
又，所以，
故的取值范围为.
17. （1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，再结合二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以当，时取得最大值；
（2）因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
18. 已知，，且.
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式，即可求解；
（2）根据，代入，转化为二次函数求最小值.
【小问1详解】
，，得，
当时，等号成立，
所以的最大值为2；
【小问2详解】
，
，
当时，时，取得最小值.
19. 已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，对，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用分类讨论的思想求解含有参数的不等式的解集.
（2）利用函数的思想构造函数，借助二次函数分类讨论求函数的值域，进而列出不等式组求解即得.
【小问1详解】
令，解得或，
①当时，，不等式的解集为，
②当时，，不等式的解集为，
③当时，，不等式的解集为，
所以当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为.
【小问2详解】
由，得，
令，依题意，，取值集合包含于，
而，当，即时，在上单调递增，则，无解；
当，即时，则，解得，
所以实数的取值范围是.