勾股定理之“垂美四边形”模型练习-中考数学专题

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勾股定理是计算的工具，识别环境对同学们来说至关重要如果能够了解模型背后的结论，做题可以节省大量的时间。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出现垂美四边形。
【考点剖析】
一．填空题（共1小题）
1．图中每个小格都是正方形，点A，B，C，D都落在格点上，则图中∠BCD的度数为 135° ．
【分析】连接AC，AD，利用勾股定理得出AB，BC，AC，AD，CD的长，进而利用勾股定理的逆定理和角的关系解答即可．
【解答】解：连接AC，AD，
由勾股定理可得，AB＝AC＝CD＝，BC＝AD＝，
∴AB2+AC2＝BC2，AC2+CD2＝AD2，
∴△ABC和△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°，
故答案为：135°．
【点评】此题考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出AB，BC，AC，AD，CD的长．
二．解答题（共5小题）
2．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据勾股定理得出AC，进而利用勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形解答即可；
（2）根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，
∴AC＝，
∵AC2+CD2＝45+4＝49＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD；
（2）解：四边形ABCD的面积＝＝9+3．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出AC的长．
3．连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就是四边形ABCD的对角线．把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述） AB，CD的平方和等于BC，AD的平方和 ．
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB，CD的平方和等于BC，AD的平方和，理由：
如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
故答案为AB，CD的平方和等于BC，AD的平方和；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
4．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG，AB⊥AE且AE＝AB，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，
理由如下：连接AC，BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴四边形ABCD是垂美四边形；
（2）∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
故答案为：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
5．【图形定义】
我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【性质探究】
如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】
如图2，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△ABE，连接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的长．
【分析】（1）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（2）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（1）的结论计算即可；
【解答】解：（1）结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
（或：AD2+BC2＝AB2+CD2．）
证明：设AC与BD相交于点E．
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）连接CE，BD相交于点N，CE交AB于点M．
∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠DAB＝∠CAE，
又∵AB＝AE，AD＝AC，
∴△DAB≌△CAE，
∴∠ABD＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABD+∠AME＝90°，即CE⊥BD，
∴四边形CDEB是垂美四边形，
由（1）得，CD2+BE2＝CB2+DE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CD＝，BE＝，
∴DE2＝CD2+BE2﹣CB2＝73，
∴DE＝．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
6．[定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形．
[理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形ABCD，每个三角尺三个内角的度数都是30°、60°和90°．四边形ABCD是 垂美 四边形，∠ABC+∠ADC＝ 180 度；
[探究]如图②，四边形ABCD是垂美四边形．∠A＝90°．∠B＝80°，E是边AD延长线上一点，求∠C和∠CDE的度数．
[应用]如图③，四边形ABCD是垂美四边形，∠A＝90°，BE和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，交AD、BC于点E、F．试说明BE∥DF．
【分析】[理解]根据垂美四边形的定义即可解决问题；
[探究]根据垂美四边形的定义，四边形内角和定理即可解决问题；
[应用]利用等角的余角相等，证明∠AEB＝∠ADF即可解决问题；
【解答】解：[理解]如图①中，∵∠A＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是垂美四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°
故答案为垂美，180；
[探究]如图②中，∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵∠A+∠B+∠C+∠ADC＝360°，且∠B＝80°，
∴∠ADC＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝80°，
[应用]如图③中，由探究可知，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF＝（∠ABC+∠ADC）＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠ADF，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查四边形综合题、四边形内角和定理、垂美四边形的定义，角平分线的定义，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【过关检测】
一、填空题
1．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
【答案】20
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.
二、解答题
2．（2021春·全国·八年级期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
（1）性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出AB2、CD2、AD2、BC2的数量关系： ．
（2）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长（可直接利用（1）中性质）
【答案】（1）AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）GE＝．
【分析】(1)利用勾股定理即可得出结论；
(2)先判断出CE⊥BG，得出四边形CGEB是垂美四边形，借助(1)的结论即可得出结论．
【详解】(1)结论：AD2+BC2=AB2+CD2，
如图1中，设BD交AC于E．
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．
(2)连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE(SAS)，
∴∠ABG=∠AEC，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，
∴GE=．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
3．（2021秋·河南南阳·八年级统考期末）若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，并说明理由；
（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究、、、之间的数量关系；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝，求线段DE的长．
【答案】（1）是，见解析；（2）；（3）
【分析】（1）证法一：证明△ABC≌△ADC，即可得解；证法二：根据垂直平分线的性质证明即可；
（2）根据勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理计算即可；
【详解】解：（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：
证法一：
∵，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴∠BAC＝∠DAC．
∴AC是等腰三角形ABD顶角∠BAD的平分线．
∴．
∴四边形ABCD是垂美四边形．
证法二：
连结AC、BD交于点E．
∵，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵，
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴直线AC是线段BD的垂直平分线．
∴．
∴四边形ABCD是垂美四边形．
（2）如图2，在垂美四边形ABCD中，
∵于点O，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°．
∴．
．
．
．
∴．
．
∴．
（3）分别连结CD、BE，
如图3，∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴．
即．
在和中，
，
∴．
∴．
∵∠BAE＝90°，
∴．
∴．
∴，即．
∴四边形CDEB是垂美四边形．
由（2）得：．
∵AB＝AE＝2，AC＝AD＝，
∴．
．
．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合勾股定理、垂直平分线的性质计算是解题的关键．
4．（2021春·江西赣州·八年级统考期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形）
（3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）先判断出△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，进而根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【详解】解：（1）四边形是垂美四边形．
证明：连接AC、BD交于点E ，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
（3）连接、，
∵，
∴，即，
∵
∴，
∴，又，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
∵，，
∴，，
∴，
∴
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
5．（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由；
（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究、、、之间的数量关系；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．若AB=3，AC=2，求线段GE的长．

【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析；（2）AB2+CD2=AD2+BC2，证明见解析；（3）EG=．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【详解】解：（1）如图，四边形ABCD是垂美四边形；
理由如下：
连接AC、BD交于点E，
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：AB2+CD2=AD2+BC2，
证明：在四边形ABCD中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2=AO2+BO2+OD2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）如图3，连接CG，BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，
∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNC=90°，即BG⊥CE，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得：EG2+BC2=CG2+BE2，
∵AC=2，AB=3，
∴BC=，CG=2，BE=3，
∴EG2=CG2+BE2-BC2=8+18-5=21，
∴EG=．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
6．（2020春·浙江宁波·八年级统考期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 ．
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形．
（4）如图3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，以AC为边在AC的右上方作等腰三角形，使四边形ABCD是垂等四边形，请直接写出四边形ABCD的面积．
【答案】（1）正方形，矩形；（2）见解析；（3）见解析；（4）2．
【分析】（1）根据垂等四边形的定义判断即可．
（2）根据垂等四边形的定义画出图形即可．
（3）想办法证明∠EFG＝90°，EG＝DF即可．
（4）分三种情形：①如图4﹣1中，当AD＝AC时，连接BD，过点D作DH⊥AB于H．②如图4﹣2中，当CA＝CD时，连接BD，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H，DT⊥BC于T．③如图4﹣3中，当DA＝DC时，取AC的中点H，连接DH，BH，过点D作DT⊥BH交BH的延长线于T．分别求解即可．
【详解】解：（1）正方形，矩形是垂等四边形．
故答案为正方形，矩形．
（2）如图1中，四边形ABCD即为所求．
（3）在正方形ABCD中，
∵AF＝CG，AB＝BC，
∴FB＝BG，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°，
∴∠EFG＝90°，
∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，AF＝CG，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG，
∵AD∥CB，
∴∠EDG＝∠DGC，
∵∠DGC＝∠DEG，
∴∠GDE＝∠GED，
∴DG＝EG，
∴DF＝EG，
∴四边形DEFG是垂等四边形．
（4）①如图4﹣1中，当AD＝AC时，连接BD，过点D作DH⊥AB于H．
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴BD＝AC＝4，
∴AD＝BD＝4，AH＝BH＝1，
∴DH＝＝，
∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△BCD＝×2×+×2×1＝+．
②如图4﹣2中，当CA＝CD时，连接BD，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H，DT⊥BC于T．
同法可得，S四边形ABCD＝S△DCB+S△ABD＝×2×+×2×＝+．
③如图4﹣3中，当DA＝DC时，取AC的中点H，连接DH，BH，过点D作DT⊥BH交BH的延长线于T．
设DH＝y，
∵AB＝AH＝BH＝2，
∴∠CHT＝∠AHB＝60°，
∵DA＝DC，AH＝HC，
∴DH⊥AC，
∴∠DHC＝90°，
∴∠DHT＝30°，
∴DT＝DH＝y，HT＝DT＝y，
在Rt△BDT中，∵BD＝AC＝4，
∴42＝（y）2+（2+y）2，
解得y＝﹣，
∴S四边形ABCD＝S△ACB+S△ADC＝×2×2+×4×（﹣）＝2．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了垂等四边形的定义，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．（2021春·浙江宁波·八年级统考期中）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________；
（2）如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形中，点E，F，G分别在，，上，四边形是垂等四边形，且．
①求证：；
②若，求n的值；
【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）见解析；（3）①见解析；②
【分析】（1）矩形的邻边垂直且对角线相等，则矩形是垂等四边形；
（2）根据垂等四边形的定义画出两个符合条件的不全等的垂等四边形即可；
（3）①由SAS证得△ADF≌△CDG（SAS），得出DF=DG，再由垂等四边形定义得出EG=DF，即可得出结论；
②过点G作GH⊥AD于H，则四边形CDHG为矩形，得出CG=DH，由①得EG=DG，由等腰三角形的性质得DH=EH，推出CG=DH=EH，证明△BFG为等腰直角三角形，得出∠GFB=45°，再证明△AEF为等腰直角三角形，得出AE=AF=CG，则AE=EH=DH，推出BC=3AE，BG=2AE，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵矩形的邻边垂直且对角线相等，
∴矩形是垂等四边形，
故答案为：矩形；
（2）由垂等四边形的定义画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，如图1所示：
∵∠ABC=90°，BD=AC=，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=90°，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF=DG，
∵四边形DEFG是垂等四边形，
∴EG=DF，
∴EG=DG；
②过点G作GH⊥AD于H，如图2所示：
则四边形CDHG为矩形，
∴CG=DH，
由①得：EG=DG，
∵GH⊥DE，
∴DH=EH，
∴CG=DH=EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD，
∵AF=CG，
∴AB-AF=BC-CG，
即BF=BG，
∴△BFG为等腰直角三角形，
∴∠GFB=45°，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFA=180°-90°-45°=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=AF=CG，
∴AE=EH=DH，
∴BC=3AE，BG=2AE，
∵BC=nBG，
∴n=．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了垂等四边形的定义、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；正确理解垂等四边形的定义、证明△BFG和△AEF都为等腰直角三角形是解题的关键．
8．（2021·河南周口·统考二模）问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”．
概念理解：
（1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长．
性质探究：
（2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程．
问题解决：
（3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．
【分析】解：（1）根据，可得和都是等腰直角三角形，则可求得 ，，利用勾股定理可得的长度；
（2）由题意可知，，， ，，化简后可得；
（3）连接，，易证，可得 可视为绕点逆时针旋转后得到的，由旋转的性质知，，得到四边形 为“垂美四边形”．根据， ，，可得，， ，可求得，根据为直角三角形， 为其斜边上的中线，可得．
【详解】解：（1）由题意知，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴， ．
∴．
（2）由题意可知，，，
∴，①
，，
∴，②
∴由①②可知，“垂美四边形”的两组对边之间的数量关系是
（3）连接，．
∵，
，，
∴．
∴可视为绕点逆时针旋转 后得到的．
由旋转的性质知，．
∴四边形为“垂美四边形”．
∴由（2）知，．
又，，
∴，，．
∴，
∴，
∴
又为直角三角形，为其斜边上的中线，
∴
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解“垂美四边形”的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
9．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）
（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ；
（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 _________________________；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）
【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）利用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出CE⊥BG，得出四边形CGEB是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论．
【详解】解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形，
故答案为：菱形、正方形；
（2）如图1，∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2，
（3）如图2，设AB与CE相交于点M，连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴，
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是： （填写序号）；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长．
【答案】（1）①③；（2）结论：AD2+BC2=AB2+CD2．证明见解析；（3）
【分析】（1）根据垂美四边形的定义判断即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理得出AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论；
（3）先由SAS证明△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，进而证出CE⊥BG，再根据勾股定理、结合（2）的结论计算，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵正方形，菱形的对角线互相垂直，
∴正方形，菱形是垂美四边形，
故答案为：①③．
（2）结论：AD2+BC2=AB2+CD2．
理由：∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2=CB2+GE2，
∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，
∴AC==8，
∴CG=，BE=，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=292，
∴GE=．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，垂美四边形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，并熟练运用及全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的判定等知识点．
11．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：
垂美四边形的两组对边的平方和相等．
已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．
求证：AD2+BC2=AB2+CD2
证明：∵四边形ABCD是垂美四边形
∴AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
拓展探究：
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
问题解决：
如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长．
【答案】拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由详见解析；（2）四边形FMAN是矩形，理由详见解析；问题解决：.
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理可得直线AC是线段BD的垂直平分线，进而得证；
（2）首先猜想出结论，根据垂直的定义可得∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，进而证得猜想，将已知代入即可求得CD；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可.
【详解】拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形，
理由如下：
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形．
（2）四边形FMAN是矩形，
理由：如图3，连接AF，
∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，
∴AF=CF=BF，
又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，
∴AD=DB、AE=CE，
∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，
∴四边形AMFN是矩形；
问题解决：
连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=，BE=，
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，
∴GE=
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键；
12．（2023春·全国·八年级期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
【答案】（1）是；（2）AB2+CD2=BC2+AD2；（3）①证明见解析；② ．
【分析】概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明即可；
性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
问题解决：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；
问题解决：①连接CG、BE，如图3所示：
∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG=∠AEC．
又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=2，AB=5，∴BC=，CG=2，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，∴GE=．
故答案为．
【点睛】本题是四边形综合题．考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
13．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．
【答案】（1）四边形ABCD是垂直四边形，理由见解析；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，见解析；（3）
【分析】（1）由题意直接根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）由题意直接根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）由题意根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【详解】解：（1）如图2，四边形ABCD是垂直四边形；
理由如下：
连接AC、BD交于点E，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，
证明：如图1，在四边形ABCD中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
（3）如图3，连接CG，BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
∴△GAB≌△CAE（SSS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2
∵，AB＝2，
∴BC＝1，，，
∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13，
∴．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
14．（2020秋·四川·八年级校考阶段练习）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．
①求证：四边形BCGE是垂美四边形；
②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②GE＝
【分析】（1）由垂美四边形得出AC⊥BD，则∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论；
（2）①连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，由正方形的性质得出AG=AC，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，易求∠GAB=∠CAE，由SAS证得△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，由∠AEC+∠AME=90°，得出∠ABG+∠AME=90°，推出∠ABG+∠BMN=90°，即CE⊥BG，即可得出结论；
②垂美四边形得出CG2+BE2=CB2+GE2，由勾股定理得出BC==3，由正方形的性质得出CG=4 ，BE=5，则GE2=CG2+BE2-CB2=73，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形BCGE是垂美四边形；
②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，
∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了新概念“垂美四边形”、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；正确理解新概念“垂美四边形”、证明三角形全等是解题的关键．
15．（2020·云南·九年级统考学业考试）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形中对角线于点．所以四边形是垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，若，，试判断四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：在图1中，我们发现垂美四边形的两组对边满足：；请你证明这个结论．
（3）性质应用：如图3，请你用“（2）性质探究”中的结论解决下面问题：分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．若，，求的长．
【答案】（1）四边形是垂美四边形，见解析；（2）见解析；（3）
【分析】(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可得到.
(2)根据垂直的定义及勾股定理解答即可；
(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算即可得到答案.
【详解】解：（1）四边形是垂美四边形.
理由如下：
∵，∴点在线段的垂直平分线上，
∵，∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线上，
∴，即四边形是垂美四边形
（2）如图1，∵，∴，
由勾股定理得，在中，
在中，
∴
∴
（3）连接、
∵，∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，
又，
∴，
即，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
∵，，∴，，，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了对新概念的理解、垂直平分线的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定，是一道综合性比较强的题目，灵活运用所学知识是解题的关键.
16．（2022春·山西忻州·八年级统考期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号）
（2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________；
（4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长．
【答案】（1）③④；（2）是，理由见解析；（3）AD2+BC2＝AB2+CD2，理由见解析；
（4）
【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可；
（3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；
（4）证明△GAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可．
【详解】解：（1）∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形，
∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，
故答案为：③④；
（2）四边形ABCD是垂美四边形，
理由如下：如图2，∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（3）AD2+BC2＝AB2+CD2，
证明如下：如图①，∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（4）如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AB＝10，AC＝8，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝36，CG2＝AC2+AG2＝128，BE2＝AB2+AE2＝200，
∴GE2＝128+200﹣36＝292，
则GE＝2．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．