精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（日新班）

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1. 已知全集，集合，，则下面韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据韦恩图可得图中阴影部分表示的集合为，进而结合补集和交集的定义求解即可.
【详解】图中阴影部分表示的集合为，
因为，，
所以或，又，
所以.
故选：D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数乘方运算化简，根据共轭复数定义即得答案.
【详解】由，则.
故选：A
3. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用斜二测画法的定义通过的长确定OA，OB的长，再求出的面积.
【详解】∵在轴上，在轴上，
∴在x轴上，在y轴上，
，，如图，
∴.
故选：B.
4. 在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定的
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数的平方关系将转化为，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断角，即可得答案.
【详解】因为，所以，
即，由正弦定理角化边得，
即，故．
因为，所以是钝角，即是钝角三角形．
故选：C
5. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面，
且圆锥的母线长为，
所以该陀螺表面积为.
故选：C.
6. 如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，利用平面上两点间的线段距离最短，通过解三角形求解即可．
【详解】如图．沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示：
则即为的周长的最小值，又因为，
所以，在中，，由勾股定理得：
．
故选：C．
7. 已知，，则的值为（ ）
A. －8B. －6C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】先由，，求出，然后利用诱导公式化简式子求值即可.
【详解】，，
所以，所以
，
故选：A
8. ．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理求出外接圆半径，根据直三棱柱求出球心到平面的距离为，由及球的体积公式求解即可.
【详解】在中，由正弦定理得外接圆半径满足，所以，
又因为在直三棱柱中侧棱垂直于底面，所以该三棱柱外接球的球心到平面的距离为，
所以该三棱柱外接球的半径为，体积为.

故选：B.
【点睛】思路点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，是两条不同直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，根据条件可得与可能有平行、相交或；对于B，根据条件结合线与线位置关系即可得解；对于C，由垂直于同一条直线的两个平面平行即可得解；对于D，先由和得，再由结合面面垂直判定定理即可得解.
【详解】对于A，若，，则可能或与相交或，故A错误；
对于B，若，，，则或与异面，故B错误；
对于C，若，，即平面和垂直于同一条直线，则，故C正确；
对于D，若，，则，又，
则存在使得，所以，
所以由面面垂直判定定理得，故D正确.
故选：CD.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是曲线的一条对称轴D. 在区间上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，根据图象求得求解判断；对于B，由由求解判断；利用三角函数的对称轴对C选项进行判断，利用三角函数的单调性对D选项进行判断.
【详解】对于A，因为，所以由图象知，
，所以，A选项正确；
由图象知，又因为，
所以即，
因为，所以，B错误；
对于C，当时，，
则不是的对称轴，故C错误；
对于D，的单调增区间满足：，，
即单调增区间为，，
当时，增区间为，所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：AD.
11. 一块正方体形木料如图所示，其棱长为3，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（ ）
A.
B. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C. 截面的面积为
D. 以点为球心，长为半径的球面与截面的交线长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：通过证明平面得；对B：作出截面，截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱；对C：求出矩形各边长得面积；对D：过作于点，球面与截面的交线为以点为圆心，长为半径的半圆弧，求其弧长即可.
【详解】对于A，如图，连接，由平面平面，得．
又平面平面，
所以平面．
又平面，所以，正确．
对于B，过点作直线平行于，分别交于两点，连接，
显然，所以四边形为过点及直线的正方体的截面，
截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，错误．
对于C，由选项B，得，则，
因此截面矩形的面积，正确．
对于D，过作于点，
由平面平面，得．
又平面平面，所以平面，
所以点为以点为球心，长为半径的球面被平面所截小圆圆心，
球面与截面的交线为以点为圆心，长为半径的半圆弧，
显然，因此交线长为，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，，若，则__________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】由向量线性运算及垂直的坐标表示求参数值即可.
【详解】因为，，所以，
因为，所以，得．
故答案为：
13. 如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】取中点，连接，，即可得到异面直线与所成的角（或补角），再由勾股定理计算可得.
【详解】取中点，连接，，
又因为，，，分别为，的中点，
所以且，且，
则为异面直线与所成的角（或补角），
又因为异面直线与所成的角为，
所以，
所以，所以，
故答案为：5
14. 如图为一个圆锥形的金属配件，重90克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量为__________克.
【答案】40
【解析】
【分析】根据圆锥和球的体积公式，结合体积比求解即可得出结果.
【详解】由于该圆锥的轴截面为等边三角形，如图所示：
设内切球的半径为r，，
所以，
所以，
则：，解得
故答案为：40.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若，且x∈0,π，求的值；
（2）设函数，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量平行的坐标关系可得的值，再由x∈0,π可得和的值，从而得到结果；
（2）利用数量积的坐标运算公式，化简得到，结合，利用三角函数的图象性质可分析得到值域.
【小问1详解】
，，又，
，.
【小问2详解】
由题意：，
，
，，
，∴fx的值域是.
16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求侧面与底面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直即可求证；
（2）根据面面垂直的性质可得为平面PCD与面所成二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解.
小问1详解】
因为是正三角形，且是的中点.，所以，
又底面 是正方形，所以 ，
又因为平面平面，
且平面平面，平面，所以平面，
又因为平面 ，所以平面，
所以平面.
【小问2详解】
如图，取的中点的中点，连接，
因为是正三角形，所以
又因为平面平面，且平面平面 ，平面，
所以平面 ，平面，故，
由题意可知平面，故平面
平面故，
故为平面PCD与面所成二面角的平面角，
设 ， 则， ，
所以 .
综上所述：侧面PCD与底面所成二面角正弦值为.
17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由及正弦定理得：．
，可得：,
，且是锐角三角形，
，可得：．
【小问2详解】
,，．
，,．
．
.
18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点．从条件①②中选择一个作为已知，①；②．

（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）选择条件①：先证，过点作于，再证，结合，可得平面；
选择条件②：过点作，交于点，先证，再证，结合，可得平面；
（2）先证平面，可得平面平面，从而将问题转化为求的底边上的高，再结合勾股定理，余弦定理，求解即可；
（3）过点作于点，先证平面平面，可得直线与平面所成角为，再利用，根据锐角三角函数求出的长，即可得解.
【小问1详解】
证明：选择条件①，
由平面，且平面，
知，，
，，平面，
平面，
平面，，
过点作于，，则四边形是正方形，，

又，，
，即，
，
又，平面，
平面.
选择条件②：，
过点作，交于点，
，四边形为平行四边形，
，
，
，
，即，
，
，又，
，即，
由平面，且平面，
知，又，，
又，平面，
平面.
【小问2详解】
由平面，且平面，知，
，，
由（1）知，
平面，平面，
平面，平面平面，
点到平面的距离等价于的底边上的高，
由勾股定理知，
在中，由余弦定理知，
，
，
，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
过点作于点，则，

由（2）知平面，
平面，
平面平面，
在平面上的投影落在上，
直线与平面所成角为，
则，，
在中，，
，
或，
故线段的长为或.
19. 已知：
①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．
②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程（为正整数）有个不同的复数根．
（1）设，求；
（2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合；
（3）复数，求．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得.
（2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解.
（3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得.
【小问1详解】
依题意，，
所以.
【小问2详解】
设，则，
因此，，解得，
由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，
因此对应的依次为，
所以所求的集合是.
【小问3详解】
当时，，，
则，，
因此关于的方程的根为，
则，
又，
由此可得，
则，
令，得，而为奇数，
所以.