江西省丰城中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（创新班）

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考试范围：高中数学必修一.二选择必修一 第一章
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a的值为( ).
A.1B.-13 C.-23 D.-2
2．欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．设是不同的直线，是不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4.P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是( ).
A.2B.22 C.3 D.23
5．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，若对任意点P，在直线l：x＋y－4＝0上均存在两点A，B，使得∠APB≥eq \f(π,2)恒成立，则线段AB长度的最小值是( )
A.eq \r(2)－1 B.eq \r(2)＋1 C．2eq \r(2)－1 D．4eq \r(2)＋2
6．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为( )
A.eq \f(4π,3) B.eq \f(8\r(2)π,3) C．4π D．8π
7．过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（ ）
A．1B．C．D．2
8．已知定义在上的函数满足，，若，且对任意的，，当时，都有恒成立，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
多选题：（本小题共3小题，满分18分，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列各式中，值为1的是（ ）
A． B． C．D．
10．已知，下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为 B．若，则的最小值为
C．若，则的最小值为 D．的最大值为
11.在平面内有三个互不相交的圆，三个圆的半径互不相等．三个圆的方程分别为.其中圆与圆的两条外公切线相交于点，圆与圆的两条外公切线相交于点，圆与圆的两条外公切线相交于点，表示直线AB的斜率，表示直线AC的斜率，表示直线BC的斜率.下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得 B．对任意，使得
C．存在点到三个圆的切线长相等
D．直线上存在到与的切线长不相等的点
填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则
13. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______．
14.已知满足，则函数的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
15、（13分在∆ABC中，，.
(1)求的值；
(2)若，求∆ABC的面积;
(3)设为∆ABC内一点，，，求的值.
16、（15分）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，，，.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
17、（15分）．2024年10月13日，丰城市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.丰城市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
18、（17分）学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题：
(1)已知正实数，满足，求的最小值；
(2)若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件；
(3)利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值.
19、（17分）．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
(1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若点，，求的最大值；
(3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．