小学方程的意义精品课时练习

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5.2、方程的意义和等式的性质
（重难点讲解＋知识总结＋同步练习＋答案解析）
1、方程的意义
（1）含有未知数的等式就是方程。
（2）方程必须具备两个条件：①必须是等式；②必须含有未知数。
【注意】方程一定是等式，但等式不一定是方程。
2、等式的性质
（1）等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数， 左右两边仍然相等。
（2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。

考点1：方程的认识
【典型例题】（23-24五年级上·全国·单元测试）下列式子中，属于方程的是（ ）。
A．3x＋4＞13 B．3x＋4 C．3x＋4x＝13 D．3x＋4≈13
【答案】C
【分析】含有未知数的等式叫方程，据此解答。
【详解】A．3x＋4＞13含有未知数，但不是等式，所以它不是方程；
B．3x＋4含有未知数，但不是等式，所以它不是方程；
C．3x＋4x＝13含有未知数且是等式，所以它是方程；
D．3x＋4≈13，含有未知数，但不是等式，所以它不是方程。
故答案为：C
【变式训练1】（23-24五年级上·福建三明·期末）在下面的式子中，属于方程的是（ ）。
A．5.2－xB．3.6÷2＝1.8C．x＋20＞45D．x－52＝19
【答案】D
【分析】方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答。
【详解】A.含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
B.是等式，但不含有未知数，所以不是方程；
C.含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
D.含有未知数，又是等式，所以是方程；
故答案为：D
【变式训练2】（23-24五年级上·广东东莞·期末）下面式子中，（ ）是方程。
A．35＋65＝100 B．6（y＋2）＝42 C．3x－12 D．x－12＜24
【答案】B
【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；由此进行选择。
【详解】A．35＋65＝100，不含未知数，不是方程；
B．6（y＋2）＝42，含有未知数，是等式，所以是方程；
C． 3x－12含有未知数，不是等式，不是方程；
D．x－12＜24含有未知数，不是等式，不是方程。
故答案为：B
【变式训练3】（23-24五年级上·山东济南·期末）下面的式子中，（ ）是方程。
A．9x－2B．4x＋8＝32C．5×3＋6＝21D．8x＋4＞15
【答案】B
【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。
【详解】A．9x－2，不是等式，所以不是方程；
B．4x＋8＝32，是等式，有未知数，所以是方程；
C．5×3＋6＝21，没有未知数，所以不是方程；
D．8x＋4＞15，不是等式，所以不是方程。
4x＋8＝32是方程。
故答案为：B
考点2：列简易方程
【典型例题】（23-24五年级上·河北保定·期末）下面选项中，不能用方程“”来表示的是（ ）。
A．3个小球总质量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克。
B．买3千克苹果，每千克苹果x元，付出20元，找回2元。
C．绕保温杯一圈长x厘米，用一根20厘米长的细绳绕保温杯3圈，还多出2厘米。
【答案】A
【分析】A．将3个小球的质量减去一个大球质量，差等于2克；
B．将付出的钱减去买苹果花的钱，等于找回的钱2元；
C．将3圈乘每圈的长度x米，再加上2厘米，会等于细绳的长度20厘米。
【详解】A．3x－20＝2；
B．20－3x＝2，或3x＋2＝20；
C．3x＋2＝20；
所以，A选项不能用方程“3x＋2＝20”表示。
故答案为：A
【变式训练1】（23-24五年级上·全国）一个两位数，十位上的数字是x，个位上的数字是y，如果这个两位数是56，根据题意列出的方程是（ ）。
A．xy＝56B．10x＋y＝56C．10y＋x＝56
【答案】B
【分析】已知十位上的数字是x，表示x个十，可以写成（10x）；个位上的数字是y，表示y个一，可以写成（1y）﹔如果这个两位数是56，也就是x个十与y个一相之和等于56，据此解答。
【详解】由分析可得：一个两位数，十位上的数字是x，个位上的数字是y，如果这个两位数是56，根据题意列出的方程是10x＋y＝56。
故答案为：B
【变式训练2】（23-24五年级上·河南新乡·期末）一头鲸重150吨，比一头大象的体重的37倍还重2吨，这头大象的体重是多少吨？列方程解决这个问题的数量关系式错误的是（ ）。
A．大象的体重×37＋2＝150B．大象的体重×37－2＝150
C．150－大象的体重×37＝2D．大象的体重×37＝150－2
【答案】B
【分析】根据“一头鲸重150吨，比一头大象的体重的37倍还重2吨”分析各选项的数量关系式，找出错误的数量关系式即可。
【详解】A．大象的体重×37＋2＝150，符合题意，数量关系式正确；
B．大象的体重×37－2＝150，意思是，一头鲸重150吨，比一头大象的体重的37倍还轻2吨，不符合题意，数量关系式错误；
C．150－大象的体重×37＝2，符合题意，数量关系式正确；
D．大象的体重×37＝150－2，符合题意，数量关系式正确。
故答案为：B
【变式训练3】（23-24五年级上·全国）看图列方程。
【答案】3x＝36
【分析】观察图文可知：每盒有x支，有3盒，一共有36支。根据等量关系“每盒的支数×盒数＝一共的支数”可列出方程。
【详解】3x＝36
考点3：等式的性质1
【典型例题】（23-24五年级上·湖北孝感·期末）要保持天平平衡，右边应该添加（ ）物品。
A．B．C．
【答案】C
【分析】）2个正方体重量等于1个圆柱体重量，根据等式的性质，天平的左边增加了1个圆柱体，右边也得增加两个正方体。据此解答。
【详解】左图中2个正方体重量等于1个圆柱体重量；
右图中天平左边增加一个圆柱体，要保持天平平衡，右边应该增加两个正方体。
故答案为：C
【变式训练1】（23-24五年级上·福建福州·期末）如果3x＋2＝y，根据等式的性质，3x＝（ ）；x＋2＝（ ）。
【答案】y－2；y－2x
【分析】第一个空，根据等式的性质1，等式两边同时减去2；即可解答；
第二个空，把3x化为x＋2x，原式化为：x＋2x＋2＝y，再根据等式的性质1，方程两边同时减去2x，即可解答。
【详解】3x＋2＝y
3x＋2－2＝y－2
3x＝y－2
3x＋2＝y
x＋2x＋2＝y
x＋2x＋2－2x＝y－2x
x＋2＝y－2
如果3x＋2＝y，根据等式的性质，3x＝y－2；x＋2＝y－2x。
【变式训练2】（23-24五年级上·河北）已知a＝b，在里填数，在里填运算符号。
a＋＝b＋5 a－8＝b
at＝b＋ ＋a＝b＋e
【答案】5；－；8；＋；t；e
【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
【详解】已知a＝b，根据等式的性质1可得：
a＋5＝b＋5
a－8＝b－8
a＋t＝b＋t
e＋a＝b＋e
【变式训练3】（23-24五年级上·全国）要保持天平平衡，右边应该添加什么物品？
【答案】一个圆柱；两个长方体或两个球
【分析】根据等式的性质，等式的左右两边同时加上（或减去）一个相同的数，等式仍然成立。据此解答即可。
【详解】第一题要保持天平平衡，右边应该添加一个圆柱；
第二题要保持天平平衡，右边应该添加两个长方体或两个球。
考点4：等式的性质2
【典型例题】（23-24五年级上·甘肃临夏·期末）图中的天平都处于平衡状态，则○＝（ ）□。
【答案】9
【分析】观察左边图可知，2○＝3△，根据等式的性质2，方程两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变；两边同时乘2；2×2○＝3×2△，即4○＝6△；
右边图可知，2△＝3□，根据等式的性质2，等式两边同时乘3；2×3△＝3×3□，即6△＝9□，据此解答。
【详解】2○＝3△
2×2○＝3×2△
4○＝6△
2△＝3□
2×3△＝3×3□
6△＝9□
4○＝9□
图中的天平都处于平衡状态，则4○＝9□。
【变式训练1】（23-24五年级上·湖北鄂州·期末）根据等式的性质填空：若方程2.4x÷（2x＋0.7）＝1.2，那么2.4x÷（2x＋0.7）×（2x＋0.7）＝1.2×（ ）。
【答案】2x＋0.7
【分析】等式的性质2：等式左右两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。据此观察发现，等式左边乘（2x＋0.7），那么右边也需要乘（2x＋0.7）。
【详解】根据等式的性质填空：若方程2.4x÷（2x＋0.7）＝1.2，那么2.4x÷（2x＋0.7）×（2x＋0.7）＝1.2×（2x＋0.7）。
【变式训练2】（23-24五年级上·湖北十堰·期末）如果a＋5＝b，根据等式的性质填空。
a＋9＝b＋（ ） 4a＋（ ）＝4b
【答案】4；20
【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
根据等式的性质1，等式两边同时加4，a＋5＋4＝b＋4，得：a＋9＝b＋4；
根据等式的性质2，等式两边同时乘4，（a＋5）×4＝b×4，得：4a＋20＝4b。
【详解】如果a＋5＝b，根据等式的性质可得：
a＋9＝b＋4
4a＋20＝4b
一、选择题
1．（23-24五年级上·全国）方程（ ）是等式，等式（ ）是方程。
A．一定；不一定B．一定不；一定不C．不一定；一定
【答案】A
【分析】方程是指含有未知数的等式，所以所有的方程都是等式是正确的；但所有的等式不一定都是方程，等式包含方程，方程只是等式的一部分，据此解答。
【详解】由分析可得：方程一定是等式，等式不一定是方程。
如：5x＋8＝20，是方程，也是等式，
5＋8＝13，是等式，但不是方程。
故答案为：B
2．（23-24五年级上·广东汕尾·期末）下列各式中，是方程的是（ ）。
A．4a－2.5＝1.8B．3x＋2C．3x＋5＜5
【答案】A
【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答即可。
【详解】A．4a－2.5＝1.8，是含有未知数的等式，是方程。
B．3x＋2，含有未知数，但不是等式，不是方程。
C．3x＋5＜5，含有未知数，但不是等式，不是方程。
故答案为：A
3．（23-24五年级上·新疆喀什·期末）下列（ ）不是方程。
A．3x＋y＝7B．a×2＞7C．3b＝9
【答案】B
【分析】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程；方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式，据此逐项分析，进行解答。
【详解】A．3x＋y＝7；含有未知数，是等式，是方程；
B．a×2＞7；含有未知数，不是等式，不是方程；
C．3b＝9；含有未知数，是等式，是方程。
a×2＞7不是方程。
故答案为：B
4．（23-24五年级上·广东江门·期末）下列式子中，属于方程的是（ ）。
A．3x＋4＞13B．6x＋1＝14.2C．4x＋6
【答案】B
【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，由此进行选择。
【详解】A．3x＋4＞13，虽含有未知数，但是不等式，不是方程；
B．6x＋1＝14.2，是含有未知数的等式，是方程；
C．4x＋6，虽含有未知数，但不是等式，不是方程；
故答案为：B
5．（23-24五年级上·青海海南·期末）根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（ ）个。
A．1B．2C．3
【答案】B
【分析】根据题干可知“18比3x少6”，也就是“3x比18多6”，分析每个选项列式的实际含义，与题干对比即可。
【详解】A．18－3x＝6表示“18比3x多6”，与题干不符；
B．3x－6＝18表示“3x减去6就是18”，即“3x比18多6”，与题干相符合；
C．3x－18＝6表示“3x比18多6”，与题干相符；
正确的有2个
故答案为：B
6．（23-24五年级上·山西阳泉·期末）下列选项中，不能用方程来表示的是（ ）。
A．买3千克苹果，每千克x元，付出20元，找回2元
B．绕一个包装盒一圈需x厘米，用一根20厘米长的细绳绕包装盒3圈，还多出2厘米
C．3个小球总重量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克
【答案】C
【分析】A．根据单价×数量＝总价，据此可知买3千克的苹果需要用3x元，再用买苹果花去的钱数加上找回的钱数即可得到付的钱数，据此判断；
B．绕一个包装盒一圈需x厘米，3圈需要用3x厘米，再加上多出的长度就是细绳的长度，据此判断；
C．一个小球的质量为x克，3个小球总重量为3x克，用3个小球总重量减去一个大球的重量就是2克，据此判断。
【详解】A．买3千克苹果，每千克x元，付出20元，找回2元，可列方程为：3x＋2＝20；
B．绕一个包装盒一圈需x厘米，用一根20厘米长的细绳绕包装盒3圈，还多出2厘米，可列方程：3x＋2＝20；
C．3个小球总重量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克，可列方程为：3x－20＝2。
故答案为：C
二、填空题
7．（23-24五年级上·山西阳泉·期末）在第19届中国北京科技产业博览会上，一项“中国原创”的重大发明成为世界焦点，这项发明被称为“立体快巴”，也被称为“空中奔跑的巴士”“陆地空客”。普通公交车最大载客a人，“立体快巴”载客量是普通公交车最大载客量的15倍，“立体快巴”最大载客（ ）人。“立体快巴”的载客量比普通公交车的最大载客量还多1120人，根据上面所述数量关系列出方程是（ ）。
【答案】15a；15a－a＝1120
【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法计算，即用a乘15即可求出“立体快巴”最大载客的人数；因为“立体快巴”的载客量比普通公交车的最大载客量还多1120人，则可得数量关系：“立体快巴”的载客量－普通公交车的最大载客量＝1120，据此填空即可。
【详解】a×15＝15a（人）
普通公交车最大载客a人，“立体快巴”载客量是普通公交车最大载客量的15倍，“立体快巴”最大载客15a人。“立体快巴”的载客量比普通公交车的最大载客量还多1120人，根据上面所述数量关系列出方程是15a－a＝1120。
8．（23-24五年级上·全国）下面的式子，哪些是等式，哪些是方程？把序号填在横线上。
①15＋17＝32 ②6x＝72 ③15－3x ④x＋7＜15.7
⑤y＋10＝83 ⑥4.2÷3＝1.4 ⑦x－y＝12 ⑧3a＋21＝5a－42
等式有： ；方程有： 。
【答案】①②⑤⑥⑦⑧；②⑤⑦⑧
【分析】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子；方程一定是等式，但等式不一定是方程；据此进行判断即可。
【详解】由分析可得：15＋17＝32、6x＝72、y＋10＝83、4.2÷3＝1.4、x－y＝12、3a＋21＝5a－42是等式，6x＝72、x＋7＜15.7、x－y＝12、3a＋21＝5a－42是方程，所以等式有：①②⑤⑥⑦⑧；方程有：②⑤⑦⑧。
9．（23-24五年级上·湖南衡阳·期中）判断下面哪些式子是方程？（是方程的打上“√”，不是方程的打上“×”）
x＋8.6＝9.2（ ） 2a≠6.52（ ）
12.5－1.4＝11.1（ ） 4x＋3y＝21.4（ ）
7m－8n＋9（ ） 9y－10＝35（ ）
【答案】√；×；×；√；×；√
【分析】等式：表示两个数（量）或两个代数式相等关系的式子。方程：含有未知数的等式叫做方程；据此解答。
【详解】x＋8.6＝9.2（√）；2a≠6.52（×）；12.5－1.4＝11.1（×）
4x＋3y＝21.4（√）；7m－8n＋9（×）；9y－10＝35（√）
10．（23-24五年级上·河北沧州·期末）如果a＋7＝b，根据等式的性质填空。
a＋9＝b＋ 4a＋ ＝4b a＋ ＝0
【答案】2；28；7－b
【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
【详解】如果a＋7＝b，根据等式的性质可得：
等式两边同时加2，a＋7＋2＝b＋2，即a＋9＝b＋2；
等式两边同时乘4，4（a＋7）＝4b，即4a＋28＝4b；
等式两边同时减去b，a＋7－b＝b－b，即a＋7－b＝0。
11．（23-24五年级上·河北）在括号里填上合适的运算符号和数。

【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。
【详解】

12．（23-24五年级上·全国）如果a＝b，根据等式的性质填空。
a＋3＝b＋（ ） a－（ ）＝b－9
a×1.5＝b×（ ） a＋（ ）＝b＋m
a－（ ）＝b－c a÷（ ）＝b÷10
【答案】3；9；1.5；m；c；10
【知识点】等式的性质2、等式的性质1
【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。
【详解】a＋3＝b＋3 a－9＝b－9 a×1.5＝b×1.5
a＋m＝b＋m a－c＝b－c a÷10＝b÷10
13．（23-24五年级上·全国·单元测试）根据等式的性质，在括号里填上恰当的数。
（1），（ ）。
（2），（ ）。
【答案】（1）12；（2）3
【分析】（1）等式的性质1：将方程左右两边同时加或同一个数，等式仍然成立。据此将题目左右两边同时减去12，等式仍然成立。
（2）等式的性质2：将方程左右两边同时乘同一个数，或除以一个不为0的数，等式仍然成立。据此将题目左右两边同时除以3，等式仍然成立。
【详解】（1），。
（2），。
三、判断题
14．（23-24五年级上·全国·单元测试）根据等量关系列出的含有未知数的等式是方程。（ ）
【答案】√
【分析】含有未知数的等式就是方程，据此判断即可。
【详解】如：2x＝10，既含有未知数，又是等式，所以2x＝10是方程；
5a＋3，含有未知数，但不是等式，所以5a＋3不是方程。
所以，根据等量关系列出的含有未知数的等式是方程。原题说法正确。
故答案为：√
15．（23-24五年级上·广东汕头·期末）＝1不是方程。（ ）
【答案】×
【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此解答。
【详解】＝1，既含有未知数，又是等式，所以＝1是方程。
原题说法错误。
故答案为：×
16．（23-24五年级上·湖北孝感·期末）等式一定是方程，但方程不一定是等式。（ ）
【答案】×
【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。
【详解】方程一定是等式，但等式不一定是方程，如x＋2＝5，是方程也是等式，2＋3＝5，是等式但不是方程，原题说法错误。
故答案为：×
17．（23-24五年级上·河南驻马店·期末）4n＝2、y÷4＝24、4.9－2×1.8＝1.3都是方程。（ ）
【答案】×
【分析】含有等号的式子叫做等式，含有未知数的等式叫做方程，据此判断。
【详解】4n＝2是含有未知数的等式，是方程；
y÷4＝24是含有未知数的等式，是方程；
4.9－2×1.8＝1.3是等式，但不含有未知数，不是方程；
所以原题说法错误。
故答案为：×
18．（23-24五年级·湖南邵阳·期中）x的6倍加上5，写成式子是6x＋5，是方程。（ ）
【答案】×
【分析】含有未知数的等式是方程。方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答。
【详解】x的6倍加上5，写成式子是6x＋5，6x＋5含有未知数，但不是等式，所以不是方程，原题说法错误；
故答案为：×
四、计算题
19．（23-24五年级上·全国）用方程表示下面的数量关系。

【答案】2y＋200＝300
【分析】由图可知，一个砝码重y克，两个砝码的质量加上梨的质量，等于一个菠萝的质量，据此列出方程解答即可。
【详解】2y＋200＝300
2y＋200－200＝300－200
2y＝100
2y÷2＝100÷2
y＝50
表示的数量关系为：2y＋200＝300。
20．（23-24五年级上·全国）用方程表示下面的数量关系。
长方形的周长是15.8厘米。

【答案】2（x＋3.6）＝15.8
【分析】已知长方形的宽为x厘米，长为3.6厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此列出方程解答即可。
【详解】2（x＋3.6）＝15.8
解：2（x＋3.6）÷2＝15.8÷2
x＋3.6＝7.9
x＋3.6－3.6＝7.9－3.6
x＝4.3
长方形的宽为4.3厘米。
21．（23-24五年级上·全国）用方程表示下面的数量关系。
一罐糖果共a颗，平均分给25个小朋友，每人得3颗，正好分完。
【答案】a÷25＝3
【分析】根据糖果总颗数÷人数＝每人分得颗数，用字母表示出数量关系即可。
【详解】由分析可得：a÷25＝3。
五、解答题
22．（23-24五年级上·全国·课后作业）王柠有x本故事书，比李强故事书的2倍少7本，李强一共有30本故事书。你能用方程表示其中的数量关系吗？
【分析】已知王柠有x本故事书，比李强故事书的2倍少7本，李强一共有30本故事书，即王柠故事书的本数加上7等于李强故事书的2倍，据此列出方程解答即可。
【详解】
所以它们的数量关系为：x＋7＝30×2。
23．（23-24五年级上·全国·课后作业）阅览室的一张桌子能坐4人。如果多于4人，可以把桌子拼成一行，2张桌子拼成一行坐6人……n张桌子拼成一行能做26人。用方程表示数量关系。
【分析】观察上图发现，无论多少张桌子拼在一起，左右两边始终各坐一人，每张桌子前后也各坐一人，若有n张桌子，那么桌子前后共坐2n人，再加上左右两人，共（2n＋2）人，用方程表示为2n＋2＝26。
【详解】
由分析可得：阅览室的一张桌子能坐4人。如果多于4人，可以把桌子拼成一行，2张桌子拼成一行坐6人……n张桌子拼成一行能做26人，用方程表示为2n＋2＝26。
24．（23-24五年级上·全国）下面哪些式子是方程？
x＋3.6＝7 a×2＜2.4 3－1.4＝1.6
3÷b 8－x＝2 6.2÷2＞3
4×2.4＝9.6 5y＝15 2x＋3y＝9
【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。
【详解】是方程的有：x＋3.6＝7、8－x＝2、5y＝15、2x＋3y＝9
25．（23-24五年级·四川）请根据129＋x＝200＋y，判断x和y的大小。
【答案】x＞y
【分析】根据等式的性质1，等式两边同时减去129，再进行解答。
【详解】129＋x＝200＋y
129＋x－129＝200＋y－129
x＝y＋71
所以x＞y。