四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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数学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页：答题卡共6页．满分150分，测试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，案超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义可求.
【详解】，
故选：C
2. 若，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用反例可判断ABC的正误，利用不等式的性质可判断D的正误.
【详解】取，则，，故AC错误；
取，则，故B错误；
对于D，由不等式的性质可得成立，故D正确；
故选：D.
3. 设函数则（ ）
A. 12B. 10C. 5D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设条件求出后可求.
【详解】，
故选：B
4. 已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求命题为真命题时的取值范围，再求其补集.
【详解】若命题为真命题，则，解得：或，
所以当命题为假命题时，得到取值范围是.
故选：A
5. 下列函数中，是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的定义及幂函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，设，则，
故为上偶函数，而在为增函数，
故A正确；
对于B，设，则，故为上奇函数，故B错误；
对于C，在上为减函数，故C错误；
对于D，，该函数为反比例函数，为 上的奇函数，
故D错误；
故选：A.
6. 函数的图象不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论，和三种情况，讨论函数类型，即可判断函数的图象.
【详解】当时，，，为A的图象；
当时，为对勾函数，为B图象；
当时，，函数的零点是，函数的单调递增区间是和，为C图象；
不管为何值，都不可能是D的图象.
故选：D
7. 某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式可求面积最大值.
【详解】设，则，
因为，所以，解得，其中，
所以花园的面积为，
当且仅当即时等号成立，
故花园的面积的最大值为，
故选：B.
8. 已知函数，对任意，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，不等式转化为，结合函数的单调性，利用参变分离，转化为函数的最值问题，即可求解.
【详解】，在区间和都是增函数，且，
所以函数在上单调递增，
且，
所以不等式，
即，在恒成立，
即，恒成立，即，得或.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ）
A. 定义域为B. 函数在上的值域为
C. 在上单调递增D. 函数的图象关于轴对称
【答案】AB
【解析】
【分析】根据反例可判断BC的正误，求出函数的定义域后可判断A的正误，判断函数的单调性求出函数的值域后可判断D的正误.
【详解】因为，故其定义域为，故A正确；
而，，故在上不单调递增，
故C错误，
而，故函数的图象关于轴对称，故D错误；
又当时，因均为增函数，故在上为增函数，
故其值域为，故B正确.
故选：AB.
10. 下列叙述中正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. “”的一个必要不充分条件是“”
D. 集合中只有一个元素的充要条件是
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于ACD，根据各选项中条件之间的推出关系可判断它们的条件关系，根据存在性命题的否定的结构形式可判断B的正误，从而可得正确的选项.
【详解】对于A，当时，由，而，成立，但不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“”的否定是“”，故B正确；
对于C，若，则，故成立，
若，成立，但，
故“”的一个必要不充分条件是“”，故C成立；
对于D，若，则，
集合中只有一个元素推不出，
但时，，该集合为单元素集合，
故集合中只有一个元素的充分不必要条件是，
故D错误，
故选：ABC.
11. 高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，．已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A 若，则
B. 方程在区间上有4个实数根
C. 函数在上单调递增
D. ，都有
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据高斯函数的定义可得，故可判断A的正误，对于B，分段讨论后可判断其正误，对于C，利用反例可判断其正误，结合A的范围及高斯函数的定义可判断其正误.
【详解】对于A，因为x表示不超过的最大整，故，
故，所以，，
，所以，故A正确；
对于B，当时，，此时的解为；
当时，，此时的解为；
当时，，此时的解为；
当时，，此时的解为；
当时，，不是的解，
故方程在区间上有4个实数根，故B正确；
对于C，，
故在0,+∞上不是单调递增，故C错误；
对于D，由A的分析可得，故，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：对于函数新定义题，应根据新定义研究函数的性质，必要时需分段讨论.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据具体函数的形式，列不等式，即可求解.
【详解】函数的定义域需满足，解得：，且，
所以函数的定义域是.
故答案为：
13. 已知是定义在上的奇函数，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用奇函数的性质计算可求得的值.
【详解】因为，，所以，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
又，所以，解得.
故答案为：.
14. 若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】把原方程解转化为在0,+∞上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达定理可求参数的范围.
【详解】令，则，则原方程可化为，
因为关于的方程有四个不同的实数根，
故在0,+∞上有两个不同的正数解，
故，解得.
故答案为：.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出结合，根据补集并集的定义可求.
（2）根据条件关系可得集合的包含关系，从而得到关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围．
【小问1详解】
当时，，而，
故.
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集，
故，故.
16. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增．
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）， .
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据单调性可得，再根据奇偶性可得，从而得到函数解析式；
（2）根据单调性和奇偶性可得，解该不等式可得实数的取值范围．
【小问1详解】
因为在上单调递增，故即，
而为整数，故，
因为幂函数的图象关于轴对称，
故为偶数，故，此时.
【小问2详解】
因为，故，
所以，所以或.
17. 已知，且．
（1）若，求的最小值及此时相应的值；
（2）若，求的最小值，并求出此时的值．
【答案】（1）的最小值为，此时.
（2）的最小值为，此时.
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式求得，故可求其的最小值及对应的的值；
（2）利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值及对应的的值，从而可求原代数式的最小值.
【小问1详解】
因为，所以，
当或（舍），故，当且等号成立，
故的最小值为，此时.
【小问2详解】
因为，
故，
又，故，
当且仅当时等号成立，
而，
故的最小值为，此时.
18. 某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入万元，文创作品的销售量可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元．
（1）求该文旅公司在旅游季增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
（2）当为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？
【答案】（1）
（2）当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元.
【解析】
【分析】（1）由利润公式，结合与的函数关系式，分段写出函数解析式；
（2）根据（1）的结果，分段求函数的最值，再比较即可求解.
【小问1详解】
本季度增加的利润，
当时，，
当时，，
所以该公司增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系式为；
【小问2详解】
，
当时，，
当，即时，等号成立，
当时，是减函数，当时，取得最大值16，
因为，所以当（万元）时，该公司在旅游季增加的利润最大，最大为万元.
19. 定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）．
（1）判断是否为“型函数”？并说明理由；
（2）是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数是“型函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）不是“型函数”
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别求函数在和时函数值的范围，再结合定义，即可判断；
（2）根据的定义域求的取值范围，结合“型函数”的定义以及函数的单调性求得的取值范围；
（3）对进行分类讨论，根据函数的单调性分别求两段函数的范围，再结合“型函数”的定义，即可求解.
【小问1详解】
函数，当时，，当时，，
当时，，不存在，使，
所以不是“型函数”；
【小问2详解】
首先函数的定义域为，则，得，
由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增，
所以只需对任意恒成立即可，
所以；
【小问3详解】
函数是“型函数”，
当时，在上单调递增，，
而，要使存在且唯一，则有，解得：，
所以，
当时，在单调递减，在单调递增，所以，
而，要使存在且唯一，则有，
设，即，解得，
解得：
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键1是理解新定义，理解新定义的关键词：任意，存在唯一，关键2是理解每一问出现的函数，以及函数图象.