山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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（本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上）
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
3. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A B.
C. D.
4. 已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知满足，，且向量在向量上投影向量为，则（ ）
A B. C. D. 2
6. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，记的周长为，面积为，则的最大值为（ ）

A. B. C. D.
7. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A.
B.
C. 在等差数列中，，，，则
D. 在等差数列中，为其前项和，若，，则
10. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 有两个零点
C.
D. 若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，且，则______．
13. 对于数列，定义数列为数列的“和数列”，若，数列的“和数列”的通项公式为，则数列的前21项和______．（结果保留指数形式）
14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，且的最小正周期为．
（1）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值；
（2）若，，求的值．
16. 已知函数．
（1）证明：曲线是轴对称图形；
（2）若函数在上有三个零点，求实数的取值范围．
17. 民族要复兴，乡村需振兴．为响应国家号召，我市城市规划管理局拟将某乡村一三角形区域规划成休闲度假区，通过文旅赋能乡村经济发展．度假区按如图所示规划为三个功能区：区域规划为露营区，区域规划为休闲垂钓区，区域规划为自由活动区．为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏．已知，，，为内一点，．

（1）当时，求护栏的长度（的周长）；
（2）若，求；
（3）为了容纳更多的游客，露营区的面积要尽可能大，求露营区面积的最大值．
18. 已知函数．
（1）令，求的单调区间；
（2）若存在使得，求证：．
19. 对于无穷数列，“若存，必有”，则称数列具有性质．
（1）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）把（1）中满足性质从小到大一一列出，构成新的数列，若，求证：；
（3）对于无穷数列，设，若数列具有性质，求集合中元素个数的最大值．（写出表达式即可，结论不需要证明）