七年级上册数学压轴题（含答案）

这是一份七年级上册数学压轴题（含答案），共31页。试卷主要包含了 故答案为，“翻移线”，＝5，，即阴影部分的面积是 28等内容，欢迎下载使用。

一．解答题（共 22 小题）
1．（2021 秋•普陀区期末）如图 1，长方形纸片 ABCD（AD＞AB），点 O 位于边 BC 上，点 E 位于边 AD 上，将纸片沿 OE 折叠，点 C、D 的对应点分别为点 C′、D′．
当点 C′与点 A 重合时，如图 2，如果 AD＝12，CD＝8，联结 CE，那么△CDE 的周长是 20 ；
如果点 F 位于边 AB 上，将纸片沿 OF 折叠，点 B 的对应点为点 B′．
①当点 B′恰好落在线段 OC′上时，如图 3，那么∠EOF 的度数为 90° ；（直接填写答案）
②当∠B′OC′＝20°时，作出图形，并写出∠EOF 的度数.
【分析】（1）证明 DE+EC＝AD＝12，可得结论；
（2）①利用角平分线的定义以及平角的性质解决问题即可；
②分两种情形，分别画出图形，利用角平分线的定义，平角的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图 2 中，点 C′与点 A 重合时，
由翻折的性质可知，EA＝EC，
∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝12，
∴△CDE 的周长＝DE+EC+CD＝12+8＝20． 故答案为：20；
（2）①如图 3 中，
由翻折的性质可知，∠BOF＝∠B′OF，∠EOC＝∠EOC′，
∵∠BOC＝180°，
∴∠EOF＝∠EOB′+∠FOB′＝ （∠COB′+∠BOB′）＝ ∠BOC＝90°． 故答案为：90°；
②如图 4﹣1 中，当 OB′值 OC′的下方时，
∵∠B′OC′＝20°，
∴∠BOB′+∠COC′＝180°﹣20°＝160°，
∵∠FOB′＝ ∠BOB′，∠EOC′＝ ∠COC′，
∴∠FOB′+∠EOC′＝ ×160°＝80°，
∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′+∠B′OC′＝100°． 如图 4﹣2 中，当 OB′在 OC′的上方时，
∵∠B′OC′＝20°，
∴∠BOB′+∠COC′＝180°+20°＝200°，
∵∠FOB′＝ ∠BOB′，∠EOC′＝ ∠COC′，
∴∠FOB′+∠EOC′＝ ×200°＝100°，
∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′﹣∠B′OC′＝80°． 综上所述，∠EOF 的度数为 100°或 80°．
2．（2021 秋•浦东新区期末）生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图①、②、③、
④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为 26 厘米，分别回答下列问题：
如果长方形纸条的宽为 2 厘米，并且开始折叠时起点 M 与点 A 的距离为 3 厘米，那么在图②中，BE＝ 21
厘米；在图④中，BM＝ 15 厘米．
如果长方形纸条的宽为 x 厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点 P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离（结果用 x 表示）．
【分析】（1）观察图形，由折叠的性质可得，BE＝纸条的长﹣宽﹣AM，BM 的长等于②中 BE 的长﹣2 个宽；
（2）根据轴对称的性质，由图可得 AP＝BM＝，继而可求得在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离．
【解答】解：（1）图②中 BE＝26﹣3﹣2＝21（厘米），图④中 BM＝21﹣2×3＝15（厘米）．
故答案为：21，15；
（2）∵图④为轴对称图形，
∴AP＝BM＝ ，
∴AM＝AP+PM＝ +x＝13﹣ x．
即开始折叠时点 M 与点 A 的距离是厘米．
3．（2020 秋•虹口区期末）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 内部有两个大小相同的长方形 AEFG、HMCN，HM
与 EF 相交于点 P，HN 与 GF 相交于点 Q，AG＝CM＝x，AE＝CN＝y．
用含有 x、y 的代数式表示长方形 AEFG 与长方形 HMCN 重叠部分的面积 S 四边形 HPFQ，并求出 x 应满足的条件；
当 AG＝AE，EF＝2PE 时，
①AG 的长为 4 ．
②四边形 AEFG 旋转后能与四边形 HMCN 重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的．
【分析】（1）依据 PH＝HM﹣PM＝y﹣（6﹣y）＝2y﹣6，PF＝EF﹣PE＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6，即可得到 S 四边形
HPFQ＝（2x﹣6）（2y﹣6）＝4xy﹣12x﹣12y+36，x 应满足的条件是：3＜x＜6；
（2）①当 AG＝AE，EF＝2PE 时，四边形 AEFG、四边形 MCNH 都是正方形，点 P 为 EF 的中点，据此可得 AG
＝EF＝ AD；②依据四边形 AEFG、HMCN 都是正方形，点 P 既是 EF 的中点也是 HM 的中点，点 Q 既是 GF
的中点也是 HN 的中点，联结 HF、PQ，设交点为点 O，那么该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点 O、点 P、点 Q．
【解答】解：（1）由题意可得：
PM＝BE＝AB﹣AE＝6﹣y，那么 PH＝HM﹣PM＝y﹣（6﹣y）＝2y﹣6， PE＝BM＝BC﹣CM＝6﹣x，那么 PF＝EF﹣PE＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6， 所以重叠部分长方形 HPFQ 的面积为：
S 四边形 HPFQ＝（2x﹣6）（2y﹣6）＝4xy﹣12x﹣12y+36，
x 应满足的条件是：3＜x＜6；
（2）①当 AG＝AE，EF＝2PE 时，四边形 AEFG、四边形 MCNH 都是正方形，点 P 为 EF 的中点，
∴EP＝PF＝GD，
∴AG＝EF＝ AD＝4， 故答案为：4；
②可以发现此时四边形 AEFG、HMCN 都是正方形，点 P 既是 EF 的中点也是 HM 的中点，点 Q 既是 GF 的中点也是 HN 的中点．
联结 HF、PQ，设交点为点 O，那么该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点 O、点 P、点 Q．
四边形 AEFG 绕着点 O 逆时针方向（或顺时针方向）旋转 180 度可与四边形 HMCN 重合；
四边形 AEFG 绕着点 P 顺时针方向旋转 90 度（或逆时针方向旋转 270 度）可与四边形 HMCN 重合； 四边形 AEFG 绕着点 Q 逆时针方向旋转 90 度（或顺时针方向旋转 270 度）可与四边形 HMCN 重合．
4．（2021 秋•宝山区期末）数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”．如图 1，△A2B2C2 就是由△ABC 沿直线 l 翻移后得到的，
（先翻折，然后再平移）．
在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图 1 中的 A 与 A2，B 与 B2…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）
如图 2，在长方形 ABCD 中，BC＝8，点 E，F 分别是边 BC，AD 中点，点 G 在边 CD 延长线上，联结 AE， FG，如果△GDF 是△ABE 经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a：联结 AG，线段 AG 和直线 a 交于点 O，若△OGF 的面积为 3，求此长方形的边长 AB 的长．
如图 3，M 是（2）中的长方形边 BC 上一点，如果 BM＝1，△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折， 然后再平移 2 个单位，得到△A1B1M1，联结线段 AA1、MM1，分别和“翻移线”a 交于点 K 和点 H，求四边形AKHM 的面积．
【分析】（1）画出图形，即可得出结论；
作直线 EF，即为“翻移线”直线 a，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可；
分两种情况：①△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折，然后再向上平移 2 个单位，②△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折，然后再向下平移 2 个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可．
【解答】解：（1）如图 1，连接 AA2，BB2…，
则“翻移运动”对应点（指图 1 中的 A 与 A2，B 与 B2…）连线被翻移线平分；
作直线 EF，即为“翻移线”直线 a，如图 2 所示：
∵四边形 ABCD 是长方形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝8，
由“翻移运动”的性质得：AB＝DC＝GD，AF＝DF＝AD＝4，O 是 AC 的中点，
∴S△AOF＝S△OGF＝3，
∴S△AFC＝2S△OGF＝6，
∵AF＝DF，
∴S△CDF＝S△AFC＝6，
∴S△CDF＝ DG×DF＝ ×DG×4＝6，
∴DG＝3，
∴AB＝3；
分两种情况：
①△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折，然后再向上平移 2 个单位，如图 3 所示：
设△ABE 翻折后的三角形为△DCP，连接 PM1， 则 A1D＝B1C＝M1P＝2，
同（2）得：KF＝ A1D＝1，HE＝ M1P＝1，
∵BE＝4，BM＝1，
∴ME＝BE﹣BM＝3，
∴四边形 AKHM 的面积＝梯形 ABEK 的面积﹣△ABM 的面积﹣△HME 的面积＝×（3+3+1）×4﹣ ×3×1
﹣ ×3×1＝11；
②△ABM 先按（2）的“翻移线”直线 a 翻折，然后再向下平移 2 个单位，如图 4 所示：
设△ABE 翻折后的三角形为△DCP，连接 PM1， 则 A1D＝B1C＝M1P＝2，
同（2）得：KF＝ A1D＝1，HE＝ M1P＝1，
∵BE＝4，BM＝1，
∴ME＝BE﹣BM＝3，
∴四边形 AKHM 的面积＝梯形 AFEM 的面积﹣△AFK 的面积+△HME 的面积＝×（3+4）×3﹣ ×4×1+ ×
3×1＝10；
综上所述，四边形 AKHM 的面积为 11 或 10．
5．（2020 秋•普陀区期末）如图，已知三角形 ABC 中，∠B＝90°，将三角形 ABC 沿着射线 BC 方向平移得到三角形 DEF，其中点 A、点 B、点 C 的对应点分别是点 D、点 E、点 F，且 CE＝DE．
如图①，如果 AB＝4，BC＝2，那么平移的距离等于 6 ；（请直接写出答案）
在第（1）题的条件下，将三角形 DEF 绕着点 E 旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），使得点 F 恰好落在线段 DE 上的点 G 处，并联结 CG、AG．请根据题意在图②中画出点 G 与线段 CG、AG，那么旋转角 α 等于 90°或 270° ；（请直接写出答案）
在图②中，如果 AB＝a，BC＝b，那么此时三角形 ACG 的面积等于 ；（用含 a、b 的代数式
表示）
在第（3）小题的情况下，如果平移的距离等于 8，三角形 ABC 的面积等于 6，那么三角形 ACG 的面积等于 20 ；（请直接写出答案）如果平移距离等于 m，三角形 ABC 的面积等于 n，那么三角形 ACG 的面积等于
﹣2n ．（用含 m、n 的代数式表示，请直接写出答案）
【分析】（1）由平移的性质可得△ABC≌△DEF，可得 AB＝DE＝4＝CE，即可求解；
由旋转的性质直接可求解；
由“SAS”可证△ABC≌△CEG，可得 AC＝CG，∠BAC＝∠GCE，可证△ACG 是等腰直角三角形，由勾股定理和三角形面积公式可求解；
由完全平方公式可求 BC2+AB2 的值，由勾股定理和等腰直角三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵将△ABC 沿着射线 BC 方向平移得到△DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE＝4，
∵CE＝DE，
∴CE＝4，
∴平移距离＝BC+CE＝4+2＝6， 故答案为：6；
如图②，点 G 为所求点，
∴△DEF 绕着点 E 顺时针旋转 270°或△DEF 绕着点 E 逆时针旋转 90°， 故答案为：90°或 270°；
如图②，由折叠可知：GE＝EF， 又∵AB＝CE，∠ABC＝∠CEG＝90°，
∴△ABC≌△CEG（SAS），
∴AC＝CG，∠BAC＝∠GCE，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠GCE＝90°，
∴∠ACG＝90°，
∴△ACG 是等腰直角三角形，
∵AB＝a，BC＝b，
∴AC＝ ＝，
∴S△ACG＝ ×AC2＝ ， 故答案为：；
若平移的距离等于 8，三角形 ABC 的面积等于 6，
∴BC+CE＝8， ×AB×BC＝6，
∵AB＝CE＝DE，
∴BC+AB＝8，AB×BC＝12，
∴BC2+AB2+2AB•BC＝64，
∴BC2+AB2＝40，
∵AC2＝BC2+AB2，
∴AC2＝40，
∵△ACG 是等腰直角三角形，
∴S△ACG＝ ×AC2＝20；
若平移距离等于 m，三角形 ABC 的面积等于 n，
∴BC+CE＝m， ×AB×BC＝n，
∵AB＝CE＝DE，
∴BC+AB＝m，AB×BC＝2n，
∴BC2+AB2+2AB•BC＝m2，
∴BC2+AB2＝m2﹣4n，
∵AC2＝BC2+AB2，
∴AC2＝m2﹣4n，
∵△ACG 是等腰直角三角形，
∴S△ACG＝ ×AC2＝ ﹣2n， 故答案为：20，﹣2n．
6．（2019 秋•金山区期末）如图一，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝AC＝3，在 Rt△DEF 中，∠DFE＝
90°，EF＝DF＝5，点 B、F 重合，点 C、F、B、E 在同一直线上．现将△ABC 沿 FE 方向平移．
如图二，若平移距离为 1.2，求四边形 ACFG 的面积．
若平移距离为 x（0≤x≤5），设△ABC 与△DEF 的重叠部分的面积 y，那么 y 与 x 有怎样的数量关系．
【分析】（1）根据梯形面积即可解决问题；
（2）分两种情况即可解决问题．
【解答】解：（1）根据题意可知：四边形 ACFG 的面积＝（1.2+3）（3﹣1.2）＝3.78；
（2）当 0≤x≤3 时，y＝x2；
当 3＜x≤5 时，y＝3×3＝ ．
7．（2019 秋•黄浦区校级期末）若 x 满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2 的值．解：设 9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 x 满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2 的值
（2）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是
48，分别以 MF、DF 作正方形，求阴影部分的面积．
【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）设正方形 ABCD 边长为 x，进而表示出 MF 与 DF，求出阴影部分面积即可．
【解答】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）∵正方形 ABCD 的边长为 x，AE＝1，CF＝3，
∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∴（x﹣1）•（x﹣3）＝48，
∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+4×48＝196．
∴a+b＝14．
∴a＝8，b＝6，a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是 28．
8．（2019 秋•黄浦区校级期末）如图 1，长方形纸片 ABCD 的两条边 AB、BC 的长度分别为 a、b（0＜a＜b），小明它沿对角线 AC 剪开，得到两张三角形纸片（如图 2），再将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状，点 A、B、D、 E 在同一条直线上，且点 B 与点 D 重合，点 B、F、C 也在同一条直线上．
将图 3 中的△ABC 沿射线 AE 方向平移，使点 B 与点 E 重合，点 A、C 分别对应点 M、N，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含 a 或 b 的代数式表示）
将图 3 中的△DEF 绕点 B 逆时针方向旋转 60°，点 E、F 分别对应点 P、Q，按要求画出图形，并直接写出∠ABQ 的度数；
将图 3 中的△ABC 沿 BC 所在直线翻折，点 A 落在点 G 处，按要求画出图形，并直接写出 GE 的长度．（用含 a、b 的代数式表示）
【分析】（1）根据平移作图的步骤进行平移作图即可，观察对应点之间的距离判断即可；
根据旋转作图的步骤进行旋转作图即可，计算∠ABQ 的度数，可以通过通过旋转作图过程，求出∠QBF 的度数；
根据翻折作图的步骤找到 A 点的对应点 G，然后连接 CG 即可．
【解答】解：（1）如图 3﹣1，即为所求作．
①找出已知图形中的相关的点 A，B，C；
②过这些点作与已知平移方向平行的线段，使这些平行线段的长度都等于平移的长度 b．
③依照图形依次连接对应点，得到新的图形，这个图形就是已知图形的平移图形．按要求画出正确的图形．平移的距离是 b．
如图 3﹣2，即为所求作．
①在已知图形上找到旋转中心 B，点 C、点 A；
②作出这些点的对应点，对应点的找法是：
以旋转中心为顶点，以 BC 为一边，向逆时针方向作角的另一边，
使这些角等于 60 度，且使另一边长度都等于对应线段到旋转中心的长度， 在这些“另一边“的端点 P 就是点 C 的对应点；同理找到点 A 的对应点 Q．
③顺次连接对应点 P、Q、B．
∵∠ABC＝90°，
又∵BQ 是由 BF 绕点 B 逆时针旋转 60°得到的
∴∠QBF＝60°
∴∠ABQ＝∠ABC﹣∠QBF＝90°﹣60°＝30°．
以点 B 为圆心，以 BA 长为半径作弧，交 BE 与点 G，连接 CG，
△CGB 即为所求的图形．如图 3﹣3：
由题意知 BE＝b，AB＝a
∵△CGB 是由△CAB 翻折而来，
∴BA＝BG＝a，
∴GE 的长度是 BE﹣BG＝（b﹣a）．
9．（2013 秋•浦东新区期末）贾宪三角如图，最初于 11 世纪被发现，原图载于我国北宋时期数学家贾宪的著作中．这一成果比国外领先 600 年！这个三角形的构造法则是：两腰都是 1，其余每个数为其上方左右两数之和．它给出（a+b）n（n 为正整数）展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2 的展开式中的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系数；等等．
（1）请根据贾宪三角直接写出（a+b）4、（a+b）5 的展开式：（a+b）4＝ a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ．（a+b）5
＝ a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ．
（2）请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的（a+b）4 的结果．
【分析】（1）根据系数规律，由题意展开即可；
（2）利用多项式乘以多项式，以及完全平方公式计算，即可得到结果．
【解答】解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）（a+b）4＝（a+b）2•（a+b）2
＝（a2+b2+2ab）（a2+b2+2ab）
＝a4+a2b2+2a3b+a2b2+b4+2ab3+2a3b+2ab3+4a2b2
＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：（1）a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
10．（2019 秋•宝山区期末）已知：如图①长方形纸片 ABCD 中，AB＜AD．将长方形纸片 ABCD 沿直线 AE 翻折，使点 B 落在 AD 边上，记作点 F，如图②．
当 AD＝10，AB＝6 时，求线段 FD 的长度；
设 AD＝10，AB＝x，如果再将△AEF 沿直线 EF 向右起折，使点 A 落在射线 FD 上，记作点 G，若线段 FD
＝ DG，请根据题意画出图形，并求出 x 的值；
设 AD＝a，AB＝b，△AEF 沿直线 EF 向右翻折后交 CD 边于点 H，联结 FH，当＝时，求的值．
【分析】（1）根据折叠的性质可得 AF＝AB＝6，从而求出结论；
根据点 G 的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用 x 表示出 FD 和 DG，根据题意列出方程即可求出结论；
过点 H 作 HM⊥EF 于 M，根据用 a 和 b 表示出 S△HFE 和 S 四边形 ABCD，结合已知等式即可求出结论．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得 AF＝AB＝6，
∵AD＝10，
∴FD＝AD﹣AF＝4；
若点 G 落在线段 FD 上时，如图 1 所示，
由折叠的性质可得：FG＝AF＝AB＝x，
∴FD＝AD﹣AF＝10﹣x，
∴DG＝FD﹣FG＝10﹣2x，
∵FD＝ DG，
∴10﹣x＝ （10﹣2x），
解得：x＝ ；
若点 G 落在线段 FD 的延长线上时，如图 2 所示，
由折叠的性质可得：FG＝AF＝AB＝x，
∴FD＝AD﹣AF＝10﹣x，
∴DG＝FG﹣FD＝2x﹣10，
∵FD＝ DG，
∴10﹣x＝（2x﹣10），解得：x＝ ；
综上：x＝ 或；
如图 3 所示，过点 H 作 HM⊥EF 于 M，
∴HM＝FD，
由题意可知：AF＝AB＝b，EF＝AB＝b，
∴FD＝AD﹣AF＝a﹣b，
∴HM＝a﹣b，
∴S△HFE＝EF•HM＝b（a﹣b），S 四边形 ABCD＝AD•AB＝ab，
∵＝，
∴ ，
整理可得：3a＝4b， ∴ ＝ ．
11．（2019 秋•普陀区期末）如图，正方形 ABCD，点 M 是线段 CB 延长线上一点，联结 AM，AB＝a，BM＝b．
将线段 AM 沿着射线 AD 方向平移，使得点 A 与点 D 重合．用代数式表示线段 AM 扫过得平面部分得面积
a2 ．（直接写出答案）
将三角形 ABM 绕着点 A 旋转，使得 AB 与 AD 重合，点 M 落在点 N，联结 MN．用代数式表示三角形 CMN
a2﹣ b2
的面积 ．（直接写出答案）
将三角形 ABM 顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边与正方形的一边完全重合（第（2） 小题的情况除外）．请在图中画出符合条件的三种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角．
【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可；
根据三角形的面积计算即可；
根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可．
【解答】解：（1）AD•DC＝a2，故答案为：a2；
（2）•MC•NC＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：a2﹣ b2，
（3）如图 1，旋转中心：AB 边的中点为 O，顺时针 180°， 如图 2，旋转中心：点 B；顺时针旋转 90°
如图 3，旋转中心：正方形对角线交点 O；顺时针旋转 90°，
；
．
12．（2020 秋•浦东新区期末）如图 1，图 2，图 3 的网格均由边长为 1 的小正方形组成，图 1 是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．
图 1 中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是 中心 对称图形（填“轴”或“中心”）．
请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图 2，3 的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：
①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；
②图 2 中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图 3 中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【分析】（1）利用中心对称图形的意义得出答案即可；
（2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形；
②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形画出图．
【解答】解：（1）图 1 中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形．故答案为：中心；
（2）如图 2 是轴对称图形而不是中心对称图形；
图 3 既是轴对称图形，又是中心对称图形．
13．（2019 秋•浦东新区期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式 x2+的值．
解：因为 ，所以 ＝4 即 x+＝4，所以 x2+﹣2＝16﹣2＝14． 根据材料回答问题（直接写出答案）：
（1） ，则 x+＝ 3 ．
（2）解分式方程组，解得方程组的解为．
【分析】（1）根据题目中的例子，将题目中的分子分母的位置颠倒，然后化简即可求得所求式子的值；
（2）根据题目中的例子，对所求式子化简变形，即可求得分式方程组的解．
【解答】解：（1）∵，
∴ ＝2，
∴x﹣1+ ＝2，
∴x+ ＝3， 故答案为：3；
（2）， 化简，得，即，
令 ，
则得， 解得，， 故，
故答案为：．
14．（2019 秋•奉贤区期末）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝8cm，BC＝10cm，现将长方形 ABCD 向右平移 xcm，再向下平移（x+1）cm 后到长方形 A′B′C′D′的位置，
当 x＝4 时，长方形 ABCD 与长方形 A'B'C'D'的重叠部分面积等于 18 cm2．
如图，用 x 的代数式表示长方形 ABCD 与长方形 A'B'C'D'的重叠部分的面积．
如图，用 x 的代数式表示六边形 ABB'C'D'D 的面积．
【分析】（1）表示出重叠部分的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式整理，将 x＝4 代入解答即可；
表示出重叠部分的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式整理即可；
利用平移前后的长方形的面积的和加上两个正方形的面积，然后再减去重叠部分的面积列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵AB＝8cm，BC＝10cm，
∴重叠部分的长为（10﹣x），宽为[8﹣（x+1）]，
∴重叠部分的面积＝（10﹣x）[8﹣（x+1）]＝（10﹣x）（7﹣x）＝70﹣10x﹣7x+x2＝x2﹣17x+70（cm2），把 x＝4 代入 x2﹣17x+70＝16﹣17×4+70＝18（cm2），
故答案为：18；
（2）∵AB＝8cm，BC＝10cm，
∴重叠部分的长为（10﹣x），宽为[8﹣（x+1）]，
∴重叠部分的面积＝（10﹣x）[8﹣（x+1）]＝（10﹣x）（7﹣x）＝70﹣10x﹣7x+x2＝x2﹣17x+70（cm2），
（3）六边形 ABB'C'D'D 的面积＝10×8×2+x（x+1）×2﹣（x2﹣17x+70）
＝160+x2+x﹣x2+17x﹣70
＝18x+90（cm2）．
15．（2018 秋•浦东新区期末）如图①，点 O 为直线 MN 上一点，过点 O 作直线 OC，使∠NOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点 O 处，一边 OA 在射线 OM 上，另一边 OB 在直线 MN 的下方，其中∠OBA＝30°
将图②中的三角尺沿直线 OC 翻折至△A′B′O，求∠A′ON 的度数；
将图①中的三角尺绕点 O 按每秒 10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为 α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线 OA 恰好平分锐角∠NOC；
将图①中的三角尺绕点 O 顺时针旋转，当点 A 点 B 均在直线 MN 上方时（如图③所示），请探究∠MOB 与
∠AOC 之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．
【分析】（1）如图②中，延长 CO 到 C′．利用翻折不变性求出∠A′O′C′即可解决问题；
设 t 秒时，直线 OA 恰好平分锐角∠NOC．构建方程即可解决问题；
分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图②中，延长 CO 到 C′．
∵三角尺沿直线 OC 翻折至△A′B′O，
∴∠A′OC′＝∠AOC′＝∠CON＝60°，
∴∠A′ON＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
设 t 秒时，直线 OA 恰好平分锐角∠NOC． 由题意 10t＝150 或 10t＝330，
解得 t＝15 或 33s，
答：第 15 或秒时，直线 OA 恰好平分锐角∠NOC；
①当 OB，OA 在 OC 的两旁时，∵∠AOB＝90°，
∴120°﹣∠MOB+∠AOC＝90°，
∴∠MOB﹣∠AOC＝30°．
②当 OB，OA 在 OC 的同侧时，∠MOB+∠AOC＝120°﹣90°＝30°．
16．（2016 秋•金山区校级期末）观察下列等式：＝1 ，＝，＝﹣ ，将以上三个等式两边分别相加得： ＝1﹣＝1﹣ ＝．
直接写出计算结果： ＝ ．
猜想并直接写出计算结果： +… ＝ ．
化简下列代数式（写出必要解题过程）：+… ．
【分析】（1）根据已知的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
同（1），根据已知的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
先将分母写成两个连续奇数的乘积，再化为分数差的形式：（1﹣），＝（），…，再计算即可．
【解答】解：（1）＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；故答案为：；
（2） +… ，
＝ + +…+ ﹣，
＝ ﹣，
＝ ，
＝ ；
故答案为：；
（3） +… ．
＝ + + +…+ ，
＝ + +…+ ﹣，
＝ （1﹣ ），
＝ ，
＝．
17．（2017 秋•青浦区期末）如图 1，小明将一张长为 4、宽为 3 的矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图 2），将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状，但点 B、C、F、D 在同一条直线上，且点 C 与点 F 重合（在图 3至图 6 中统一用点 F 表示）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
将图 3 中的△ABF 沿 BD 向右平移到图 4 中△A1FG 的位置，其中点 B 与点 F 重合，请你求出平移的距离
3 ；
在图 5 中若∠GFD＝60°，则图 3 中的△ABF 绕点 F 按 顺时针 方向旋转 30° 到图 5 的位置
将图 3 中的△ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置，AB1 交 DE 于点 H，试问：△AEH 和△HB1D 的面积大小关系．说明理由．
【解答】解：（1）图形平移的距离就是线段 BC1 的长，又∵在 Rt△ABC 中，长为 4、宽为 3，
∴BF＝3cm，
∴平移的距离为 3cm； 故答案为 3．
（2）∵∠GFD＝60°，
∴∠AFA1＝30°，
图 3 中的△ABF 绕点 F 按顺时针方向旋转 30°到图 5 的位置； 故答案为：F，顺时针，30°．
（3）△AHE 与△DHB1 中，
∵∠FAB1＝∠EDF＝30°，
∵FD＝FA，EF＝FB＝FB1，
∴FD﹣FB1＝FA﹣FE，即 AE＝DB1， 又∵∠AHE＝∠DHB1，
∴△AHE≌△DHB1（AAS），
∴△AEH＝△HB1D．
18．如图（1），有 A 型、B 型、C 型三种不同的纸板，其中 A 形是边长为 m 的正方形，B 型是长为 m、宽为 n的长方形，C 型是边长为 n 的正方形．由图（2）中四块纸板拼成的正方形的面积关系可以说明（m+n）2＝m2+2mn+n2成立．
类似地，由图（3）中六块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式是 （m+n）（2m+n）＝
2m2+3mn+n2 ．
现有 A 型纸板 2 块，B 型纸板 5 块，C 型纸板 2 块，要求紧密且不重叠地拼出一个大长方形，如果纸板最多剩一块，请画出所有可能拼出的大长方形的示意图；类似地，根据所拼出的大长方形的面积关系写出可以说明的等式．
【分析】（1）六块纸板拼成的大长方形的宽为（m+n）、长为（2m+n），而它由 2 块 A 型、3 块 B 型、1 块 C 型组成，所以可以说明的等式是（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2；
（2）A 型纸板 2 块，B 型纸板 5 块，C 型纸板 2 块不重叠地拼出一个大长方形可得到边长为 2m+n 与 m+2n 的长方形；若剩一块 C 型纸板，可得到边长为 2m+2n 与 m+n 的长方形．
【解答】解：（1）六块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2；
（2）图（4）中九块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2；
若剩一块 C 型纸板，如图（5）中八块纸板拼成的大长方形的面积关系可以说明的等式为（2m+2n）（m+n）＝
2m2+4mn+2n2．
故答案为（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2．
19．（2018 秋•松江区期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这
样的分式为真分式．例如，分式是，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式
为假分式．例如，分式 ，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ＝ ＝1﹣ ．
将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
如果分式 的值为整数，求 x 的整数值．
【分析】（1）根据题意，把分式 化为整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出 x 的值．
【解答】解：（1）由题可得，＝＝2﹣；
（2） ＝＝x+1+ ，
∵分式的值为整数，且 x 为整数，
∴x﹣1＝±1，
∴x＝2 或 0．
20．（2018 秋•浦东新区期末）小明同学在一次找规律的游戏中发现如下的数字和规律，请你按照所给的式子，解答下列问题：
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
（1）试猜想：①1+3+5+7+9+11+…+29＝ 225 ．
②1+3+5+7+9+11+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝ （n+1）2 ．
（2）用上述规律计算：21+23+25+…+57+59＝ 800 ．
【分析】（1）①②观察不难发现，从 1 开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律进行计算即可得解；
（2）用从 1 开始到 59 的和减去从 1 开始到 19 的和，然后列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）①1+3+5+7+9+11+…+29＝（）2＝225．故答案为 225；
②1+3+5+7+9+11+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝（ ）2＝（n+1）2． 故答案为（n+1）2；
（2）21+23+25+…+57+59
＝（1+3+5+7+9+11+…+59）﹣（1+3+5+7+9+11+…+19）
＝（ ）2﹣（ ）2
＝900﹣100
＝800．
故答案为 800．
21．（2017 秋•松江区期末）如图，已知长方形 ABCD 中，AB＝a，BC＝b．正方形 AEPN 是由长方形 ABCD 经过图形的运动形成的．其中长方形 GBEF 是由长方形 ABCD 绕着 B 点顺时针旋转 90°得到的，长方形 HMND 是由将长方形 ABCD 绕着 D 点逆时针旋转 90°得到的，长方形 QFPM 是长方形 ABCD 经过平移得到的．
长方形 QFPM 是由长方形 ABCD 经过怎样平移得到的？
用含 a、b 的代数式分别表示正方形 HCGQ 的面积；
连接 DP，交 HM 于点 O．用 a、b 的代数式分别表示 OM．
【分析】（1）根据平移的定义即可得到结论；
根据正方形的面积公式即可得到结论；
根据三角形和梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）长方形 QFPM 是由长方形 ABCD 先向上平移 a 个单位，再向右平移 b 个单位得到；
（2）S 正方形 HCGQ＝（a﹣b）2；
（3）S△PDN＝S 梯形 DNOM+S△POM＝（a+OM）•b+a•OM＝（a+b）•a，解得：OM＝．
，
，
22．（2020 秋•嘉定区期末）在某班小组学习的过程中，同学们碰到了这样的问题：“已知＝5＝3
＝6，求的值”．根据已知条件中式子的特点，同学们会想起+＝，于是问题可转化为：“已知 ＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，求＝++的值”，这样解答就方便了．
通过阅读，试求 的值；
利用上述解题思路请你解决以下问题：已知 ＝6，求的值．
【分析】（1）由已知 ＝+ ＝5， ＝+ ＝3，＝+ ＝6，可得 + + + + + ＝5+3+6，即可得出答案；
（2）由已知 ＝6，可得 m+＝6， ＝（m+）2﹣2，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵＝+＝5，＝+＝3，＝+＝6，
∴ + + + + + ＝5+3+6，
∴ ，
∴ + + ＝＝7；
（2）∵ ＝6，
∴ ，
，
∴m2+ ＝（m ）2﹣2＝62﹣2＝34．
∴．