2023-2024学年山东省济宁市金乡县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济宁市金乡县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a3·a3=a9C. (a3)2=a6D. (ab)2=ab2
2.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )
A. 50°B. 58°C. 60°D. 72°
3.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. x2+2x+3=(x+1)2+2B. (x+y)(x−y)=x2−y2
C. x2−xy+y2=(x−y)2D. 2x−2y=2(x−y)
4.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 0.1B. 13C. 6D. 27
5.根据图①的面积可以说明多项式的乘法运算(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，那么根据图②的面积可以说明多项式的乘法运算是( )
A. (a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2B. (a+3b)(a+b)=a2+3b2
C. (b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2D. (a+3b)(a−b)=a2+2ab−3b2
6.下列式子从左到右变形正确的是( )
A. ab=a+2b+2B. ab=a2b2C. a2−b2a−b=a−bD. ab=abb2
7.如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
8.某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x m，则根据题意可列方程为( )
A. 1200(1−20%)x−1200x=2B. 1200(1+20%)x−1200x=2
C. 1200x−1200(1−20%)x=2D. 1200x−1200(1+20%)x=2
9.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在BA的延长线上，EF⊥BC，垂足为F，EF与AC交于点O，若OA=4，OC=3，则BE的长为( )
A. 7
B. 9
C. 11
D. 12
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.以下四个结论：
①∠CDE=∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD=30°时，BD=CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC=30°．
其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为______．
12.分解因式：2a3−4a2b+2ab2= ______ ．
13.已知y= x−3+ 3−x−2，则x−y的值为______．
14.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是______ ．
15.若关于x的分式方程3xx−1=m1−x+2的解为正数，则m的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
(1)计算：(a−b)(a+2b)−(a+2b)2+6b2；
(2)先化简，再求值：(1−1m−1)÷m2−4m+4m2−m，其中m=−1．
17.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为(2,2)，(1,−3)，(4,−2).△ABC与△EFG关于x轴对称，点A，B，C的对称点分别为E，F，G．
(1)请在图中作出△EFG，并写出点E，F，G的坐标；
(2)若点M(m+2,n−2)是平面直角坐标系内一点，其关于x轴的对称点为M′(1−n,2m)，求m，n的值．
18.(本小题7分)
为增强学生体质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目.体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价比第一次的进价高25%，购进数量比第一次少了30盒．
(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元，求每盒乒乓球的售价至少是多少元？
19.(本小题7分)
阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y2−16.我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4).这种因式分解的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：a2−6ab+9b2−36；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2−2ab−2bc=0，判断△ABC的形状并说明理由．
20.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F．
(1)求∠ABE的度数；
(2)若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，试说明DG/​/BE．
21.(本小题9分)
在幂的运算中规定：若ax=ay(a>0且a≠1，x、y是正整数)，则x=y.利用上面结论解答下列问题：
(1)若9x=36，求x的值；
(2)若3x+2−3x+1=18，求x的值；
(3)若m=2x+1，n=4x+2x，用含m的代数式表示n．
22.(本小题11分)
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD=AB.点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE.连接EA，且EA⊥AB．
(1)若∠AEF=20°，∠ADE=50°，则∠ABC=______°；
(2)过D点作DG⊥AE，垂足为G．
①填空：△DEG≌△______；
②求证：AE=AF+BC；
(3)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对各选项分析判断后得结论．
【解答】
解：∵a2与a3不是同类项，∴选项A不正确；
∵a3·a3=a6≠a9，∴选项B不正确；
∵(a3)2=a3×2=a6，∴选项C正确；
∵(ab)2=a2b2≠ab2，∴选项D不正确．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC=DF=b，DE=AB=a，
∴∠1=∠B，∠A=∠D=50°，∠F=∠C=72°，
∴∠1=180°−∠D−∠F=58°，
故选：B．
根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A=∠D=50°，∠F=∠C=72°，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A=∠D=50°，∠F=∠C=72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3.【答案】D
【解析】【分析】
根据把多项式写成几个整式积的形式叫做分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了因式分解的意义，熟记概念是解题的关键．
【解答】
解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
C、应为x2−2xy+y2=(x−y)2，故本选项错误；
D、2x−2y=2(x−y)是因式分解，故本选项正确．
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：A、原式= 1010，故A不是最简二次根式．
B、原式= 33，故B不是最简二次根式．
C、 6是最简二次根式，故C是最简二次根式．
D、原式=3 3，故D不是最简二次根式．
故选：C．
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
5.【答案】A
【解析】解：根据图②的面积得：(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2，
故选：A．
根据图形确定出多项式乘法算式即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握面积的两种表示方法是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、分式分子分母同时加2，该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
B、分式分子分母分别乘以a，b，该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
C、因式分解以后分子分母同时除以(a−b)，答案应该是a+b，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、分子分母都乘以b(b≠0)，分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
根据分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
7.【答案】B
【解析】解：连接CE交AD于点F，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF=CF，
∴BF+EF=CF+EF=CE，
此时BF+EF的值最小，最小值为CE，
∵D、E分别是△ABC中BC、AB边的中点，
∴AD=CE，
∵AD=6，
∴CE=6，
∴BF+EF的最小值为6，
故选：B．
连接CE交AD于点F，连接BF，此时BF+EF的值最小，最小值为CE．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为(1+20%)x m，根据采用新的施工方式，提前2天完成任务，列出方程即可．
【解答】
解：设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为(1+20%)x m，
由题意得，1200x−1200(1+20%)x=2．
故选D．
9.【答案】C
【解析】解：∵OA=4，OC=3，
∴AC=7，
∵AB=AC=7，EF⊥BC，
∴∠B=∠C，∠BFE=90°，
∴∠BAC=180°−2∠B，∠E=180°−∠B−∠BFE=90°−∠B，
∵∠AOE=∠BAC−∠E=90°−∠B=∠E，
∴AE=OA=4，
∴BE=AB+AE=11，
故选：C．
由题意知AC=7，∠B=∠C，∠BFE=90°，则∠BAC=180°−2∠B，∠E=90°−∠B，O，∠AOE=∠E，可得AE=OA=4，根据BE=AB+AE，计算求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等角对等边求线段长度是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAD=180°−40°−∠ADB，∠CDE=180°−40°−∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°−70°−40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE(ASA)，
∴BD=CE；故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED>40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE或DA=DE，
当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ADC=60°+40°=100°，
∴∠EDC=100°−40°=60°，故④错误，
故选：C．
①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED>40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到AE=DE或DA=DE，当AE=DE时，∠BAD=60°，求出∠EDC=60°，故④错误．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确地识别图形是解题的关键．
11.【答案】6
【解析】解：360÷60=6．
故这个多边形边数为6．
故答案为：6．
利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°．
12.【答案】2a(a−b)2
【解析】解：原式=2a(a2−2ab+b2)=2a(a−b)2
故答案为：2a(a−b)2
根据因式分解的方法即可求出答案．
本题考查因式分解，涉及提取公因式，完全平方公式，属于基础题型．
13.【答案】5
【解析】解：∵y= x−3+ 3−x−2，
∴x=3则y=−2，
故x−y=5．
故答案为：5．
直接利用二次根式的性质得出x的值进而得出y的值，即可得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
14.【答案】18cm
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，
∴DA=DC，AC=6cm，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+AD=12cm，
∴AB+BD+DC=AB+BC=12cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+6=18(cm)，
故答案为：18cm．
根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15.【答案】m<−2且m≠−3
【解析】解：去分母，得：
3x=−m+2(x−1)，
去括号，移项，合并同类项，得：
x=−m−2．
∵关于x的分式方程3xx−1=m1−x+2的解为正数，
∴−m−2>0．
又∵x−1≠0
∴−m−2≠1．
∴−m−2>0−m−2≠1，
解得：m<−2且m≠−3．
故答案为：m<−2且m≠−3．
利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式；又分式方程有可能产生增根x=1，所以分式方程的解不等于1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m的取值范围．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(a−b)(a+2b)−(a+2b)2+6b2
=a2+2ab−ab−2b2−(a2+4b2+4ab)+6b2
=a2+2ab−ab−2b2−a2−4b2−4ab+6b2
=−3ab；
(2)(1−1m−1)÷m2−4m+4m2−m
=m−1−1m−1⋅m(m−1)(m−2)2
=m−2m−1⋅m(m−1)(m−2)2
=mm−2，
当m=−1时，原式=−1−1−2=13．
【解析】(1)先根据完全平方公式计算出各数，再合并同类项即可；
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m=−1代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，△EFG即为所求，
点E，F，G的坐标分别为(2,−2)，(1,3)，(4,2)；
(2)由于点M(m+2,n−2)与点M′(1−n,2m)关于x轴对称，
则m+2=1−n,n−2=−2m,
解得m=3,n=−4.
【解析】本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
(1)根据对称的性质即可作出△EFG，并写出点E，F，G的坐标；
(2)根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数即可求m，n的值．
18.【答案】解：(1)设第一次每盒乒乓球的进价是x元，
由题意得600x−600(1+25%)x=30，
解得x=4，
经检验x=4是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一次每盒乒乓球的进价是4元；
(2)设每盒乒乓球的售价为y元，第一次每盒乒乓球的进价为4元，
则第二次每盒乒乓球的进价为4×(1+25%)=5(元)．
由题意得6004×(y−4)+6005×(y−5)≥420，
解得y≥6．
答：每盒乒乓球的售价至少是6元．
【解析】(1)设第一次每盒乒乓球的进价是x元，根据“第二次购进数量比第一次少了30盒”列方程，求出x的值即可．
(2)设每盒乒乓球的售价为y元，根据“这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元”列不等式，求出y的范围即可．
本题主要考查了列分式方程解应用题，和列一元一次不等式解应用题，解题的关键是找等量关系和不等量关系，正确的列出方程和不等式．
19.【答案】解：(1)a2−6ab+9b2−36=(a−3b)2−36=(a−3b−6)(a−3b+6)；
(2)△ABC是等边三角形，
理由：∵a2+c2+2b2−2ab−2bc=0，
∴(a2−2ab+b2)+(c2−2bc+b2)=0，
∴(a−b)2+(b−c)2=0，
∴a−b=0，且b−c=0，
∴a=b，且b=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】(1)前三项符号完全平方式，再和最后一项应用平方差公式；
(2)将2b2分成两个b2，再进行分组分解．
本题属于阅读理解题，主要考查了因式分解的应用，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−60°−40°=80°．
∵AC⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAC=90°−80°=10°．

(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=12×80°=40°，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=60°+40°=100°．
∵DG平分∠ADC，
∴∠GDC=12∠ADC=12×100°=50°．
∵∠EBC=∠ABC−∠ABE=60°−10°=50°，
∴∠EBC=∠GDC．
∴DG//BE．
【解析】(1)根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案；
(2)由角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠GDC=∠EBC.再根据平行线的判定方法可得结论．
此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
21.【答案】解：(1)∵9x=36，
∴32x=36，
∴2x=6，
解得：x=3；
(2)∵3x+2−3x+1=18，
∴3x+1×3−3x+1=18，
2×3x+1=2×32，
∴x+1=2，
解得：x=1；
(3)∵m=2x+1，n=4x+2x，
∴n=(2x)2+2x
=2x(2x+1)
=m2x
=m(m−1)
=m2−m．
【解析】(1)利用幂的乘方的法则进行运算即可；
(2)利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
(3)利用幂的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】(1)60
(2)①EFA
②证明：∵∠GDA+∠GAD=90°，∠GAD+∠BAC=90°，
∴∠GDA=∠BAC，
∵AD=AB，∠DGA=∠C=90°，
∴△GDA≌△CAB(AAS)，
∴AG=BC，
∵△DEG≌△EFA，
∴EG=AF，
∴AE=GE+AG=AF+BC．
(3)解：BC=AE+AF，理由如下，
如图2，过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE=90°，
∵AE⊥AB，
∴∠EAF=∠DGE=90°，
∵△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠DEF=90°，DE=EF，
∴∠GDE+∠GED=∠GED+∠AEF=90°，
∴∠GDE=∠AEF，
∴△GDE≌△AEF(AAS)，
∴GE=AF，
∵∠DGE=∠EAF=90°，
∴DG/​/AB，
∴∠GDA=∠CAB，
在△GDA和△CAB中，
∠DGA=∠C∠GDA=∠CABAD=AB，
∴△GDA≌△CAB(AAS)，
∴BC=AG，
∴BC=EG+AE=AF+AE．
【解析】(1)解：∵∠AEF=20°，∠DEF=90°，
∴∠DEA=70°，
∵∠ADE=50°，
∴∠DAE=60°，
∵∠EAB=90°，
∴∠BAC=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
故答案为，60．
(2)①解：∵DG⊥AE，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEG+∠AEF=90°，
∴∠EDG=∠FEA，
在△DEG和△EFA中，
∠DGE=∠EAF∠EDG=∠FEADE=EF，
∴△DEG≌△EFA(AAS)，
故答案为：EFA．
(1)先由∠AEF=20°、∠DEF=90°得到∠DEA=70°，然后由∠ADE=50°得到∠DAE=60°，再结合∠EAB=90°得到∠BAC=30°，最后由∠ACB=90°得到∠ABC=60°；
(2)①先由DG⊥AE得到∠DEG+∠EDG=90°，然后由∠DEF=90°得到∠DEG+∠AEF=90°，从而得到∠EDG=∠FEA，再结合DE=EF、∠DGE=∠EAF=90°得证△DEG≌△EFA；
②先由∠GDA+∠GAD=90°和∠GAD+∠BAC=90°得到∠GDA=∠BAC，再结合AD=AB、∠DGA=∠C=90°得证△GDA≌△CAB，进而得到BC=AG，最后由△DEG≌△EFA得到EG=AF，最后得证AE=AF+BC；
(3)过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE=90°，先由AE⊥AB，得到∠EAF=∠DGE=90°，然后由△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形得到∠DEF=90°，DE=EF，从而得证△GDE≌△AEF，因此有GE=AF，再由∠DGE=∠EAF=90°得到∠GDA=∠CAB，然后证明△GDA≌△CAB，最后得到BC=EG+AE=AF+AE．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握一线三等角模型证明三角形全等．