山西省大同市平城区两校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份山西省大同市平城区两校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于的一元二次方程有一根是，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是
A．B．C．D．
4．一个几何体的部分视图如图，则该几何体是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．如果是锐角，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，绳索端点向下移动了，则滑轮上的点旋转了（）
A．B．C．D．
9．如图，的面积为平分，垂足为，连接，若三角形内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．在一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个白球，将球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色并放回，摇匀，再摸出一个球……如此进行下去，共摸球500次，其中200次为红球，则可推断袋中白球有 个．
12．如图，在中，点分别在边上，，的面积为12，则的面积是 ．
13．如图，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ．
14．如图，边长为1的小正方形网格中，点均在格点上，半径为2的与交于点，则 ．

15．如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：
（2）关于的一元二次方程可以变形为的形式，如下是小雨同学解方程的过程：
①上述解方程的方法是通过添项构造______________（填“平方差公式”或“完全平方公式”）
②仿照题中的方法，解方程：
17．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出时的取值范闱；
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，（证方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
(1)画出关于原点对称的，点的坐标是______________．
(2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是______________．
19．某校为了了解八年级学生对哪条研学线路最感兴趣，从该校八年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有_____名，在扇形统计图中，E所在的圆心角的度数是______；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校八年级有560名学生，请估计选择D“游山西，读汇通天下晋商史”的有多少人；
(4)小文和小尹作为本校八年级的优秀代表将参加这次研学活动（每人仅选一条线路），请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一条线路的概率.
20．山西某地充分利用地理优势，大力推动乡村风电建设．如图，与斜坡的坡顶在同一水平面上建一台高为的风力发电机，某综合实践活动小组在坡顶处测得该风力发电机的顶端的仰角为，在斜坡底部处测得该风力发电机的顶端的仰角为，测得坡长为，已知斜坡的坡度为，，．求风力发电机的高度．（结果精确到，参考数据：，，）
21．阅读以下材料，并完成相应的任务：
任务：
(1)填空：方法1中的依据1指的是______________，依据2指的是______________
(2)“方法二”给出了这个定理的部分证明过程，请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)如图④，已知在中，，，，平分，请你直接写出线段的长．
22．【性质探究】
（1）如图1，在中，，AB＝AC，点D在斜边BC上，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE．
①直线BD与CE的位置关系为______；
②若点F为BE的中点，连接AF，请探究线段AF与CD的数量关系，并给予证明．
【拓展应用】
（2）如图2，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点H为BG的中点，连接AH．若AB＝4，BE＝3，求AH的长．
23．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是第一象限内抛物线上的一个动点，其横坐标为，连接交直线于点，求的最大值，并求出此时的坐标；
(3)若点为抛物线上一动点，是否存在点，使?若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】利用已知将图形绕点O逆时针旋转90°得出符合题意的图形即可．
【详解】如图所示：将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是
．
故选C．
【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，熟悉图形的性质是解题的关键．
2．B
【分析】把代入方程得，然后利用代数式变形得到的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根是，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了求代数式的值，运用了恒等变形的思想．理解和掌握一元二次方程解的意义是解题的关键．
3．D
【分析】利用待定系数法求出的值即可判断．
【详解】点、、都在反比例函数的图象上，
，，，
，
故选．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．D
【分析】本题主要考查三视图的识别和判断，解题关键是掌握常见空间几何体的三视图．由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图．
【详解】解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱，
故选：D．
5．C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．D
【分析】连接、，根据矩形性质、旋转性质可得，、分别是、的中点，，再根据勾股定理可求得的值，最后根据三角形的中位线定理得到．
【详解】解：如图，连接，，
、为分别为矩形、矩形对角线，
且矩形由矩形旋转得到，也可看作由旋转得到，
，
，
，
又，分别为，中点，
由矩形性质可得，也是中点，
是的中位线， 即．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形的中位线定理，解题关键是利用中点构造中位线．
7．B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解直角三角形得到，设，则由勾股定理得，即可得到．
【详解】解：如图所示，在中，，
∴，
设，
∴，
∴，
故选：B．
8．C
【分析】此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可；
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了全等三角形，三角形的面积，概率．熟练掌握全等三角形的性质和判定，三角形的面积公式，概率公式，是解决问题的关键．
由角平分线和垂线证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，根据面积概率可得的答案．
【详解】延长交于E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点M落在内（包括边界）的概率为，．
故选：A．
10．C
【分析】根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．
【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，故abc＞0，因此①错误，
对称轴为x= -= - 1，即b=2a，也就是 2a-b=0，所以②正确,
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，即 a−b+c ＞0，所以③ 正确，
由图象可知,当x=-3时，y=9a-3b+c＜0，所以④ 正确，
所以正确的个数有3个，
故答案为：C
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围.
11．6
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】解：设白球有个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
即白球有6个，
故答案为：6．
12．75
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质， 由，可证明，再根据相似三角形面积的性质求得，即可求得的面积是75，得到问题的答案．适当选择相似三角形的判定定理并且证明是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积是75，
故答案为：75．
13．3
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过点B作轴于点D，延长交y轴于点E，根据平行四边形，得到轴于点E，结合平行四边形的性质，解答即可．
【详解】过点B作轴于点D，延长交y轴于点E，
∵平行四边形，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，
∴，，
∴，
故答案为：3．
14．
【分析】根据圆周角定理得到，根据正方形网格特点和正切函数定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴在中，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理和求三角函数值．一般来说，初中数学中求角的三角函数值的方法有两种，一是构造直角三角形，根据定义求解；二是将角进行转化求解．本题应用了第二种方法，要深刻领会．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了等边三角形的性质．先根据等边三角形的性质得到，，再利用比例的性质得到，接着证明，然后根据相似三角形的判定方法得到，最后利用相似比可计算出的长．
【详解】解：为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．（1）；（2）①平方差公式，②，
【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法是解答的关键．
（1）先根据负指数幂性质、零指数幂的性质及特殊角的三角函数化简，再计算即可；
（2）根据题目中给出的思路，先转化为平方差形式，再解方程即可解决．
【详解】解：（1）
；
（2）①平方差公式
②
原方程可变形为
∴
∴，．
17．(1)；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式．
（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，利用三角形面积的和差：，可得答案；
（3）根据反比例函数图象在一次函数图象下方的部分是不等式的解集，可得答案．
【详解】（1）解：将代入反比例函数得，，
∴，
∴；
将代入反比例函数得，，
∴，则，
将，代入一次函数得，，
∴ ，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴；
（3）使得成立时，反比例函数图象在一次函数图象下方，
则x的取值范围为：或．
18．(1)见解析，
(2)见解析，
【分析】本题考查了作图位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点，延长到点使，延长到点使，点与点重合，则满足条件．
【详解】（1）如图，即为所求，，
（2）如图，即为所求，
19．(1)80 ， 90
(2)见解析
(3)D“游山西，读汇通天下晋商史”的有119人
(4)
【分析】本题考查概率与统计的综合问题；
（1）根据A研学线路的人数所占百分比即可求出本次调查的学生总人数，再根据E研学线路的人数所占百分比度即可求解；
（2）用总人数－其他几条研学线路的人数即可求出D研学线路的人数，即可补全条形统计图；
（3）用人数所占百分比即可；
（4）根据题意画出树状图即可求解．
【详解】（1）解：本次调查的学生共有名；
E所在的圆心角的度数是
（2）解：D研学线路的人数为：名，
补全条形统计图如下：
（3）解：选择D：
（4）解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，其中小文和小尹选择同一条线路（记为事件A）的结果有5个
∴
20．风力发电机BC的高度约为28
【分析】过点作，垂足为，延长交于点，首先利用坡度的定义可知，可设，则，由勾股定理可得，进而可得，，再证明四边形是矩形，由矩形的性质可得，，然后证明的等腰直角三角形，可设，则，在中，利用三角形函数即可获得答案．
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，
∵斜坡的坡度为，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
答：风力发电机的高度约为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、坡度、三角函数的应用、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，理解题意，熟练运用相关知识是解题关键．
21．(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；等角对等边
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定，角平分线的性质是解答本题的关键．
（1）根据题意，得到，，由此证明，故依据1指的是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；过点作于点，通过证明，得到，故依据2指的是：等角对等边，由此得到答案．
（2）过点作，交的延长线于点，得到，，，由角平分线的性质得到，由此得到证明．
（3）由已知得，再由角平分线的性质，得到，从而得到，再由勾股定理得到，由此得到答案．
【详解】（1）根据题意得：
，
，，
，
依据1指的是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；
如图，过点作于点，
在和中，
，
，
依据2指的是：等角对等边，
故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；等角对等边．
（2）证明：如图③，过点作，交的延长线于点，
，
，，，
平分，
，
，
，
．
（3）由已知得：在中，，，，
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，，，
，
．
22．（1）①；②，证明见解析；（2）
【分析】（1）①先证明∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ACB=45°， 再证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得结论；② 延长BA至点G，使AG＝AB，连接GE，证明△ADC≌△AEG，可得CD＝GE．延长FA至点Q，使AQ＝AF，连接GQ，证明△ABF≌△AGQ，可得∠BFA＝∠GQA，BF＝GQ，证明四边形EFQG是平行四边形，可得QF＝GE．从而可得结论；
（2）如图，连接DE､DG，证明△BAE≌△DAG，△DAG可以由△BAE绕点A逆时针旋转90°得到．可得CE＝1，CD＝4． 延长AB至N，使AN=AB，连接NG，延长HA至Q，使AQ=AH，连接NQ，同理：由（1）中②可知，从而可得答案．
【详解】解：（1）①∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD，AC＝AB
∴∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ACB=45°，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=45°+45°=90°， 即
②，理由如下：
延长BA至点G，使AG＝AB，连接GE，
∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD，AC＝AB＝AG，
又∠DAC=90°－∠CAE=∠GAE，
∴△ADC≌△AEG，
∴CD＝GE．
延长FA至点Q，使AQ＝AF，连接GQ，
∵AG＝AB，∠BAF＝∠GAQ，
∴△ABF≌△AGQ，
∴∠BFA＝∠GQA，BF＝GQ，
∴，即．
∵点F为BE的中点，
∴EF＝BF＝GQ，
∴四边形EFQG是平行四边形，
∴QF＝GE．
∵，CD＝GE，
∴．
（2）如图，连接DE､DG，
∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
∴AB＝AD=BC=CD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
又∠BAE＝90°－∠EAD＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG，
∴△DAG可以由△BAE绕点A逆时针旋转90°得到．
∵AB＝4，BE＝3，
∴CE＝1，CD＝4．

延长AB至N，使AN=AB，连接NG，延长HA至Q，使AQ=AH，连接NQ，
同理：由（1）中②可知，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，作出合适的辅助线，构建全等三角形与平行四边形是解本题的关键．
23．(1)
(2)；
(3)存在，
【分析】该题主要考查了二次函数以及一次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是数形结合；
（1）将代入求解即可；
（2）过D作轴，交于F，过A作轴，交于点H，求出直线的表达式，设，则，证明，列出表达式即可求解；
（3）过点作轴，交x轴于M，设，表示出根据列出方程即可求解；
【详解】（1）将代入，得
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）过D作轴，交于F，过A作轴，交于点H，

当时，，
，
设直线的表达式为，
将代入，得
，
∴，
∴，
设，则，
，
把代入，得，
，
轴，轴，
，
∴，
∵，
∴当时，，
当时，，
；
（3）过点作轴，交x轴于M，

点为抛物线上一动点，设，
则
解得：或，
故点的坐标为或．
解：
原方程可变形为
角平分线分线段成比例定理的认识
定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，即：如图①，在中，平分，则
综合与实践课上，“奋斗”小组利用不同的方法验证出该定理的正确性．
方法一：证明：如图②，过点作，交线段于点

（依据1）
平分
（依据2）
即
方法二：证明：如图③，过点作，交的延长线于点……．