山西省阳泉市平定县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份山西省阳泉市平定县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共26页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟
2．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的根为（ ）
A． B． C． D．
3．以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．李师傅去年6月份开了一家商店，9月份开始盈利，10月份盈利元，12月份盈利达到元，若设10月到12月每月盈利的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）

A．B．C．D．
6．把抛物线先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为（ ）
A．40°B．60°C．50°D．80°
8．如图，在中，D是边上的一点，以为直径的交于点E，连接．若与相切于点D，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为和，由此可估计盒中大约有白球（ ）
A．20B．24C．32D．56
10．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球从飞出到落地要用4s
C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
D．小球的飞行高度可以达到25m
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．抛物线的顶点坐标是
12．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）．
13．新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，更好地管理班级事务，使同学们的学习生活温暖和谐，任何人都有同样的机会，则这个班选中一名男生来当值日班长的概率是
14．一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则可列方程为
15．如图，直径的半圆，绕点B顺时针旋转，此时点A到了点，则图中阴影部分的面积的是 （结果保留）
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．解方程
(1)
(2)
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；
(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
18．平定县是三晋东大门，境内山川秀丽，有很多旅游景点是人们周末自驾游的好去处．某个周末甲、乙两人分别从A：娘子关景区，B：固关长城，C：冠山；D：红岩岭四个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择D景点的概率为________．
(2)请用画树状图或列表法表示出所有等可能的结果，并求出恰好选中同一景点的概率．
19．某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200千克，每千克可盈利8元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1元，则每天可多售出20千克．
(1)设每千克核桃降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式；
(2)若要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？
20．已知为的直径，C为上一点，D为的延长线上一点，连接．
(1)如图1，若，，，求的长；
(2)如图2，若与相切，E为上一点，且，求证：．
21．阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务．
求（n为正整数）方法欣赏
数学活动小组收集了“求（n为正整数）的值”这个问题的两种方法：设．
方法1：“头尾相加法”
把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2．
．
可得．即：
方法2：“递归法”
由完全平方公式可得，∴．
我们列出特殊情况：；
；
；
…
．
两边分别相加可得，．
∴．
我们用这些方法和结果，可以解决一些数学问题．
任务：
(1)计算：________；
(2)我们知道：；；；…
则________．
(3)如图所示是一个三角形点阵，从上向下数由无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，求300是前多少行点数的和．
22．综合与实践：
问题情境：
数学课上，老师组织同学们开展了一次项目学习，项目内容：已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点A，B重合）．连接，以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，连接．
试探究：线段之间的数量关系．
操作发现：
活动中，大家积极思考，通过操作发现，共有以下三种图形位置关系：
①如图1，点D在线段上
②如图2，点D在线段的延长线上
③如图3，点D在线段的延长线上
（1）请直接写出线段之间的数量关系；
拓展应用：
（2）如图4，当点D在线段的延长线上时，若，线段的中点为F，连接，求的长度．
23．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．D
【分析】直接利用开平方法解一元一次方程，即可得出答案．
【详解】解：，
开方得：或，
解得：，．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练利用直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
3．B
【分析】此题主要考查了坐标与图形变换旋转．建立平面直角坐标系，作出旋转后的图形，然后根据图形写出点Q的坐标即可．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
【详解】解：∵10月到12月每月盈利的平均增长率为x
∴根据题意可列方程，
故选：A
5．B
【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．
【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下：

故相同的概率为．
故选B．
【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数的图象平移的法则进行解答即可，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．
【详解】解：把抛物线先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为：．
故选：D．
7．C
【分析】根据圆周角定理，可求得∠A的度数；由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，可得∠DCE=∠A，由此可求得∠DCE的度数．
【详解】∵∠BOD=100，
∴∠A=50，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCE=∠A=50.
故答案选C.
【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质.
8．A
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、直径所对的圆周角知识点，熟练运用切线的性质、直径所对的圆周角知识点是解题的关键．
根据圆的切线的性质可得，即可求得；再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵与相切于点D，
∴，
∴，即，解得：
∵以为直径的交于点E，
∴，即，
∴．
故选A．
9．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出盒中白球所占的比例，再计算其个数．根据题意，先求出摸到白色小球的频率，再乘以总球数即可求解．
【详解】解：∵多次试验的频率会稳定在概率附近，
∴从盒子中摸出一个球恰好是白球的概率约为，
∴白球的个数约为个．
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答．
【详解】解：的两根，，即时所用的时间，
小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；
，
对称轴为直线，最大值为20，故D错误；
时，，此时小球继续下降，故C错误；
当时，，，
，
小球从飞出到落地要用4s，故B正确．
故选：B．
11．
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
12．18π
【分析】根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴的长＝＝18π（cm），
故答案为：18π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】解：全班共有学生（人，
其中男生30人，
则这班选中一名男生当值日班长的概率是．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程在图形中的应用，表示出矩形衬纸的长和宽，即可根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程．
【详解】解：∵矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，矩形衬纸的长和宽分别为：，
∴
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，旋转的性质，根据旋转的性质可得，再由 进行求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可得，
∴
，
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键；
（1）先求解，再利用求根公式解方程即可；
（2）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
，
∴，．
（2）
方程可变形为．
因式分解，得．
于是，得，或．
∴，．
17．（1）图形见解析；
（2）图形见解析；
（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）
【分析】（1）按题目的要求平移就可以了；
（2）关于原点对称的点的坐标变化是∶横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可．
（3）AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．
【详解】
（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）作A点关于x轴的对称点A＇（1，-1），然后连接对称点与B点，
则BA＇的解析式为，
当时，．
∴△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）．
18．(1)
(2)画图见解析，
【分析】本题考查简单概率计算，树状图法求概率．
（1）根据题意依据概率公式列出等式即可得到本题答案；
（2）用树状图列举出可能出现的情况，再求出概率即为本题答案．
【详解】（1）解：共四个景点，甲选择其中的D景点概率为，
故答案为：；
（2）解：画出树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个景点的结果有4种，
∴甲、乙两人选择同一个景点的概率为．
19．(1)
(2)2
【分析】本题考查了二次函数的应用和解一元二次方程，
（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）将代入(1)中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，可得
化简，得
（2）当时
即，
解得，(舍去)．
要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价2元．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了含的直角三角形、勾股定理以及圆的切线的性质定理等知识点，熟练掌握相关结论是解题关键．
（1）在中运用勾股定理求出，运用线段和差关系求出即可求解；
（2）根据，，即可求证．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
在中，，，，
∴．
在中，由勾股定理可得
．
∴．
（2）证明：∵与相切，
∴．
即．
∵，
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
21．(1)1025156
(2)
(3)300是前24行点数的和
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数字的变化规律，解题关键是要读懂题目的意思，
(1)根据方法1：“头尾相加法”，即可解答；
(2)方法2：“递归法”计算即可；
(③)可设300是前n行点数的和，根据题意列方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：令
，
得：
（3）解：设300是前n行点数的和．
列方程，得
解方程，得，（不合题意，舍去）
答：300是前24行点数的和．
22．（1）①，②，③；（2）.
【分析】（1）①根据三角形判定定理和性质即可得结论；②根据三角形判定定理和性质即可得结论；③根据三角形判定定理和性质即可得结论；
（2）先证明，根据全等三角形性质得出，再证明是直角三角形．最后用勾股定理求值即可．
【详解】解：（1）①如图1，当点D在线段AB上时，
理由：∵，
∴，即．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴；
②如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，即，
在与中，
，
，
，
，
；
③如图3，当点D在线段的延长线上时，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，即，
在与中，
，
，
，
．
；
（2）∵，，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵．
∴．
∴是直角三角形．
∵线段的中点为F，
∴．
∵在中，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．(1)，，
(2)存在，
(3)，32
【分析】(1) 当时，．当时，．计算求解即可．
(2) 根据菱形的判定，建立等式求解即可．
(3)设点P的坐标为，分割法表示出四边形的面积，构造关于m的二次函数，利用抛物线的最值思想计算即可．
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，菱形的判定，构造二次函数求最值．
【详解】（1）当时，．解得，．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别是，．
当时，．
∴点C的坐标是．
（2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形为菱形，连接交CO于点D．
∵四边形为菱形，
∴，且．
∴，即P点的纵坐标为．
由，得
，（不合题意，舍去）．
所以存在这样的点，此时点P的坐标为．
（3）连接PO，作同于点M，轴于点N．
设点P的坐标为，
∵点A，B，C的坐标分别是，，，
∴，，，，．
∴
∴当时，．
此时点P坐标为．
∴当点P运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32．