江苏省无锡市经开区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

这是一份江苏省无锡市经开区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
2024.11
本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
4．已知的半径是8，点A到圆心O的距离是7，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定
5．如图，，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．平分D．是、的比例中项
6．今年是新中国成立75周年，国庆档电影《志愿军：存亡之战》展现了打不垮的英雄铁军，燃不尽的奋勇志气，第一天当日票房约为1亿元，如果每天票房按相同的增长率增长，第三天当日票房约为2亿元，方程可以列为（ ）
A．B．C．D．
7．如果两个相似三角形对应面积的比为，则这两个三角形对应周长的比是（ ）
A．B．C．D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．外心和重心重合的三角形是等边三角形
C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
D．过三点一定可以画一个圆
9．如图，在中，，，点D，E分别在边，上，且，，连接，，相交于点O，则面积最大值为（ ）
A．B．C．3D．
10．如图，正方形中，，连接，点E，F分别在，边上运动，始终满足，连接、交于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．2024年巴黎奥运会，中国体育代表团以40金27银24铜位于金牌榜并列第一、奖牌榜第二，在比例尺为的地图上，无锡到巴黎的长度约为，则它的实际长度约为________．
12．如图，是的弦，半径，点D在上，且，则________．
13．关于y的一元二次方程有一个根是2，则这个一元二次方程可以是________．（写出一个即可）
14．在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为________．
15．下列命题中，
①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号）
16．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的竿长是________尺．
17．若一元二次方程的两根为，，则方程的两根为________．
18．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点不在外，且此时，则称点C是弦的“点”．
如图，已知点，点，在点，，中，点________是弦的“点”；若点F是弦的“点”，则点F的横坐标的最大值为________．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分16分）解方程：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
20．（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m为何值时，方程有两个实数根；
（2）若、是方程的两根，且，求m的值．
21．（本题满分8分）如图，在中，E为边上一点，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求对角线的长．
22．（本题满分8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为．
（1）将向左平移5个单位长度得到，画出；
（2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的网格中画出；
（3）若点是内的一点，经过（1）、（2）两次变换，点D的对应点的坐标是________．（用含a，b的代数式表示）
23．（本题满分8分）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：
设，则原方程可变为，解得，，
当时，即，∴；
当时，即，∴；
∴原方程有四个根：，，，．
②因式分解法求解三次方程：
将其变形为；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三个根：，，
（1）仿照以上方法解方程：
①；
②；
（2）已知：，且，则的值为________．
24．（本题满分8分）如图，已知锐角中，．
（图1） （图2）
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．（如需画草图，请使用图2）
25．（本题满分10分）如图，是的直径，内接于，，，的延长线相交于点E，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
26．（本题满分10分）2024年4月23日是第二十九个世界读书日，第三届全民阅读大会在昆明如期举行，共建书香社会，共享现代文明，学校积极响应“最是书香能致远”，计划购买文学和科普两类图书．已知文学类图书每本50元，科普类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动：若不超过50本，按每本50元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于30元（即超过一定的购买数量后，单价保持30元不变）．
（1）如果每本文学类图书的单价是30元，则至少购买文学类图书________本；
（2）如果学校购进两类图书共100本，用去购书款4300元，求购进文学类图书多少本？
27．（本题满分10分）【问题背景】
2021年7月，第14届国际数学教育大会在中国上海召开，其会标（如图1）设计的基本思想来自《河图》，会标中蕴含丰富的数学知识，请观察、思考、探究：
【观察】如图2，《河图》是中华文明之源，由1、2、310这10个自然数排列而成，“十”字形布局中，横向上的5个数（8、3、10、4、9）之和为34，纵向上的5个数（7、2、5、1、6）之和为21，这两个数字是相邻的斐波那契数（斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55），该数列随着项数增大，相邻两数的比越接近黄金比，因而又被称为黄金分割数列．请直接写出该黄金分割数列中第13个数为________．
【思考】会标右下方“ICME—14”下面的“卦”是中国古代某个数进制（正整数进制且十进制以内）的计数符号表示为3745，换算成十进制数为2021，即表示开会年份，请通过计算说明，此“卦”是几进制？（例如：二进制数1101，逢2进1，只有1和0两个数字组成，换算成十进制为：．）
【探究】会标中心的弦图是三国时期数学家赵爽给出勾股定理的一个绝妙证明．如图3，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，点E是的黄金分割点，求正方形与正方形的面积之比．

（图1） （图2） （图3）
28．（本题满分10分）【数学实验】
将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，．
【感知】
（1）如图，在绕点A旋转过程中，若连接，，求的值．
【探究】
（2）在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的中线上时，求的长．
【拓展】
（3）在绕点A旋转过程中，连接，，试探究与能否相似，若能，请求出此时的面积；若不能，请说明理由．
2024年秋学期期中考试九年级数学
参考答案及评分说明
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1-5：CBAAB6-10：CDBAD
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．9150．12．50．13．答案不唯一，如．
14．．15．③④．16．10．
17．，．18．D，．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（1）（2分）（2）（2分）
∴，．（4分）∴，．（4分）
（3）（2分）（4）（2分）
∴，． （4分）∴，．（4分）
20．（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，（2分）
∴且．（4分）
（2）∵、是方程的两根，
∴，，（6分）
∵，∴，
∴，（7分）
∴经检验，m的值为．（8分）
21．（1）∵四边形是平行四边形，∴，（1分）
∴，，（3分）
∴．（4分）
（2）可得：，（5分）
∵，∴，（6分）
∴，．（8分）
22．（1）如图；（2分）
（2）如图；（5分）
（3）（8分）
23．（1）①设，则原方程可变为，解得，，（1分）
当时，即，∴无解（舍去）；
当时，即，∴，，
∴原方程有两个根：，．（3分）
②将其变形为：；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，（5分）
∴原方程有三个根：，，．（6分）
（2）．（8分）
24．（1）作角平分线交于点D，（2分）
作（或）垂直平分线交于点O，（4分）
以点O为圆心、为半径作．（5分）
（2）．（8分）
25．（1）∵，∴，（2分）
∵，∴，∴，（4分）
又∵，∴．（5分）
（2）连接，
∵是的直径，∴，（6分）
设，∵，∴，
∵，∴，（7分）
∵四边形是的内接四边形，
∴，∴，∴，（9分）
∴（10分）
26．（1）90；（3分）
（2）设购进文学类图书x本，
①当时，，∴；（5分）
②当时，，
∴（不符合题意，舍去），；（8分）
③当时，，∴（不符合题意，舍去）；（9分）
答：购进文学类图书30本或60本．（10分）
27．（1）233；（3分）
（2）设此“卦”是x进制，
由题意可得，且x为正整数，
∴或9，
代入验证，可得：符合题意，
答：此“卦”是八进制．（6分）
（3）∵点E是的黄金分割点，∴，即，（7分）
∵，∴，∴，
∵，，∴，（8分）
∵，∴，
∴设，∴，，
∴．（10分）
28．（1）连接，，可证，∴，（1分）
∵，，∴，（2分）
∴．（3分）
（2）此时，如图28（1）点E与点F重合，可得：．（6分）
（3）如图28（1），可得：，则有；（8分）
如图28（2），可得：，则有．（10分）
（28（1）图） （28（2）图）