河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试卷（Word版附解析）

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1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数，三角函数、三角恒等变换，解三角形、平面向量．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的值域可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断.
【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，
故对于函数，其值域可表示为：.
故选：B.
2. 若“”是“”的充分条件，则是（ ）
A 第四象限角B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角
【答案】B
【解析】
【分析】根据角正切值与正弦值的正负判断象限即可.
【详解】由题可知，，则是第三象限角或第四象限角；又要得到，故是第三象限角.
故选：B
3. 下列命题正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】对于选项A:利用指数函数的值域即可判断；对于选项B:利用对数函数的单调性求出值域即可判断；对于选项C:采用特殊值法，令即可判断; 对于选项D: 令，结合三角函数的值域求解验证即可.
【详解】对于选项A:因为指数函数的值域为0,+∞，故，，故选项A错误；
对于选项B: 因为对数函数在上单调递增，所以当时，，故选项B错误；
对于选项C:令,则，，显然，故，使得成立，故选项C正确;
对于选项D:结合题意可得：令，因为，所以，所以，
因为，故不存在，使得,故选项D错误.
故选：C.
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案.
【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称，排出选项A、B；再取特殊值和，可得函数的大致图象为C，
故选：C.
5. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可.
【详解】由题可知，
，
所以
故向量与的夹角为
故选:A
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定两个角的关系，然后利用三角恒等变换公式求解即可.
【详解】由题可知，
所以有
故选：C
7. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. 12D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令代入化简，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】
当且仅当，，即时等号成立；
故选：A
8. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将两个乘积看做两个函数，易知要使时，，则需要两函数同号，所以我们需要去找他们零点，时零点相同，然后求解参数即可.
【详解】由题易知，当时，；
由对数函数的性质可知，当时，；当时，；
显然函数有两个根，不妨令，则
由二次函数的图像可知，时，；时，
故要使恒成立，则
所以有，解得
故选：D
【点睛】关键点点睛：当两个式子相乘大于等于零时，两个式子必定同为负或者同为正，或者有一个为零.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的值域为B. 为奇函数
C. 在上单调递增D. 的最小正周期为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项A:利用换元，再结合指数函数的单调性即可求出值域；对于选项B:利用奇偶性的定义说明即可；对于选项C: 结合复合函数的单调性即可判断；对于选项D:借助三角函数的周期，以及周期函数的定义即可判断.
【详解】对于选项A:由，令，则，，
因为在上单调递增，所以，故选项A正确；
对于选项B: 由可知，对任意的，
因为，而，易验证故不是奇函数，
故选项B错误；
对于选项C:结合选项A可知在单调递减，而在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可得在单调递减，故选项C错误；
对于选项D:因为的最小正周期为，
所以，所以的最小正周期为，故选项D正确.
故选：AD.
10. 国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ）
A. 当时，应进甲商场购物B. 当时，应进乙商场购物
C. 当时，应进乙商场购物D. 当时，应进甲商场购物
【答案】AC
【解析】
【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.
【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场，
所以选项A正确；
当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，
，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误；
当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为
，因为，所以
故，所以应进乙商场，所以选项C正确；
假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为，
所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误.
故选：AC
11. 已知函数满足：①，，；②，则（ ）
A. B.
C. 在上是减函数D. ，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】取可求，判断A，取证明，取可得，由此可得，
结合指数运算性质和指数函数性质判断BC，选项D的条件可转化为当，恒成立，结合函数性质求结论.
【详解】因为，，，
取可得，A 错误；
取可得，又，
所以，
取可得，，
所以，其中，
所以，B正确，
由指数函数性质可得，其中在上单调递减，
所以在上是减函数，C正确；
不等式可化为，
所以，
由已知对于，恒成立，
所以当，恒成立，
故，其中，
因为函数，在上都单调递增，
所以在上的最大值为，
所以，D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解切线.
【详解】由题可知，，，
所以切线斜率，
故切线方程为.
故答案为：
13. 已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，求得，，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解.
【详解】为偶函数，
所以，，得，，
当x∈0,π时，，在区间内仅有两个零点，
所以，解得：，所以.
故答案为：2
14. 若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在中，，，若P为的布洛卡点，且，则BC的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得，进而求得，也即是.
【详解】，所以为锐角，为锐角，
所以.
由于，所以，设，则，
，
为锐角，则.
由于，
所以，所以①，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，
即，由正弦定理得，
即，解得，则为锐角，
由解得，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，
在三角形中，由正弦定理得，
所以，解得.
故答案为：
【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若为的外心，为边的中点，且，求周长的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；
（2）利用向量表示出，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.
【小问1详解】
由已知及正弦定理得：，
由得：
，
所以，又，
所以，即，
因为，所以，
所以解得.
【小问2详解】
因为为的外心, 且由上问知，
所以,
设（为的外接圆半径），
因为为边的中点，且，
所以在中易得：，
所以，
即，解得：，
在中由余弦定理可得：，
解得，
在中由余弦定理可得：，
由基本不等式可得：
，当且仅当时等号成立，
所以，即.
所以周长，
当且仅当时等号成立.
故周长的最大值为.
16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．
（1）求a；
（2）如图，D是外一点（D与A在直线BC的两侧），且，，求四边形ABDC的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求，即求角，再根据余弦定理求解；
（2）根据诱导公式求解，以及两角和的三角函数求，再根据正弦定理求，最后根据面积公式，即可求解.
【小问1详解】
由条件可知，，
所以，所以，即，
所以，
则
所以；
【小问2详解】
，
，，
,
中，，即，
所以，，
所以四边形的面积为.
17. 已知平面向量，，且，其中，．设点和在函数的图象（的部分图象如图所示）上．
（1）求a，b，的值；
（2）若是图象上的一点，则是函数图象上的相应的点，求在上的单调递减区间．
【答案】（1），，；
（2）
【解析】
【分析】（1）由得，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a，b，的值；
（2）由题意中点的变换求得，利用正弦函数的图象特点即可求得在上的单调递减区间.
【小问1详解】
因，，由，可得，
由
，其中，
因点和在函数的图象上，则有，，
结合图象，由① 可得，
将其代入② 式，可得，即，（*）
由图知，该函数的周期满足，即又，则有，
由（*）可得，故.
由解得，，
故，，；
【小问2详解】
不妨记，则，
因是图象上的一点，即得，即，
又因是函数图象上的相应的点，故有.
由，可得，
因，故得.
在上的单调递减区间为.
18. 已知函数，m，．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）当时，证明：，．
【答案】（1）0 （2）答案见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；
（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式等价转化为，设，依题意，只需证在时，成立，分别求即可得证.
【小问1详解】
当时，，，
由，可得或，由，可得，
即在和上单调递增；在上单调递减，
时，，时，，
故时，取得极小值也即最小值，为.
【小问2详解】
当时，，函数的定义域为，，
当时，恒成立，故在上增函数；
当时，由，可得，
故当或时，；
即在和上单调递增；
当时，，
即在上单调递减.
综上，当时，在上为增函数；
当时，在和上单调递增,
在上单调递减.
【小问3详解】
当时，,
要证，，只需证，
即证在上恒成立.
设，依题意，只需证在时，.
因，，由，可得，由，可得，
故在上单调递减，在上单调递增,
则在时取得极小值也是最小值，为；
因，，由，可得，
由，可得，由，可得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则在时取得极大值也是最大值，为.
因，即在上成立，故得证.
即，．
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题.
证明不等式型如的恒成立问题，一般方法有：
（1）构造函数法：即直接构造，证明；
（2）比较最值法：即证明即可；
（3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较.
19. 已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”：．
（1）证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角（为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且），并举一个具体的例子说明之；
（2）如图1，分别以的边AB，AC为一边向外作和，使，．设线段DE的中点为G，证明：；
（3）如图2，设，圆，B是圆O上一动点，以AB为边作等边（A，B，C三点按逆时针排列），求的最大值．
【答案】（1）证明见解析.
（2）证明见解析. （3）5.
【解析】
【分析】（1）根据圆的参数方程设定的坐标，再依据题意证明即可；
（2）依据新定义把的坐标表示出来再运算证明即可；
（3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答.
【小问1详解】
证明：设（分别为轴正方向逆时针到所成角，且），
则，
，
于是，
即，轴正方向逆时针到所成的角为.
故：是这样一个向量：把的模变为原来的倍，并按逆时针方向旋转角（为轴正方向逆时针到所成的角，且）.
例如，，则，，与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为，将的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转，即可得.
【小问2详解】
证明：记，
根据新定义，可得，
同理，
所以，
而，
所以，
故：.
【小问3详解】
解：设，则，
，
所以，
所以
.
设，则，
当，即时，.
【点睛】此题考查了圆的参数方程；平面向量数量积的性质，以及三角函数最值.