人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念优秀教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念优秀教案设计，共12页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，变式探究1，变式探究2，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第一节《平面向量的概念》。以下是本节的课时安排：
学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的。学生在物理学科中已经知道重力，弹力，摩擦力，位移，速度等是既有大小又有方向的物理量即矢量，知道借助有向线段来作力的图示，经历并了解了实数的形成过程，针对实际生活中一些常见的量，能识别是否具有大小，方向。

通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，培养数学抽象的核心素养；
2.理解平面向量的表示和两个向量平行与相等的含义，提升数学抽象的核心素养；
重点：相等向量和共线向量的区别和联系
难点：理解平面向量的意义和两个向量相等的含义
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
向量又称为矢量，最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的作用可用平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
2.探索交流，解决问题
【思考1】在物理中,位移与距离是同一个概念吗?现实世界中有各种各样的量,如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等,怎样正确区分这些量呢?
【提示】位移与距离不是同一个概念;这些量中有些只有大小,没有方向,但有些既有大小又有方向,因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分.
【设计意图】让学生体验向量表示方法的探究过程，明确向量的几何表示，在展示中可以锻炼学生的数学语言表达能力，提升自信。
（二）平面向量的概念
（1）向量的实际背景与概念
向量与数量的定义：我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把只有大小，没有方向的量称为数量。
向量在物理学中称为矢量；数量在物理学中称为标量。
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的。
（2）向量的几何表示
1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度
以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|
2.向量的表示：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
【思考】向量与有向线段有什么区别？
【提示】 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小相等和方向相同，则这两个向量就是相同的向量.
有向线段有起点、方向与长度三个要素，若起点不同，尽管方向与长度相同，也是不同的有向线段.
（3）模、零向量、单位向量：
向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
长度为0的向量叫做零向量，记作0；
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
【思考1】零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？
【提示】零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同.
【思考2】向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等,方向同与不同而言,有哪几种可能情形?
【提示】有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.
【辩一辩】1.如果|eq \(AB,\s\up6(→))| >|eq \(CD,\s\up6(→))|，那么eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→)).(×)
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(×)
3.若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同.(√)
4.零向量的大小为0，没有方向.(×)
（4）相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
记法：向量a与b平行，记作a∥b
规定：零向量与任意向量平行。
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.
共线向量与平行向量关系：如图所示,因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量。
【探究1】若平行向量有相同的起点，那么它们是否一定有相同的终点？
【提示】不一定，只有当两个平行向量相等时，它们才有相同的终点.
【探究2】不相等的两个向量a，b可能平行吗？
【提示】可能.事实上，考虑到零向量的特殊性，向量平行有如下三种情况：
(1)两个向量a，b中，有一个为零向量，另一个为非零向量；
(2)两个向量均为非零向量，方向相同，但模不相等；
(3)两个向量均为非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可.
【探究3】如果两个向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向有什么关系?
【提示】方向相同或相反.
【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)平行向量方向一定相同.( )
(2)不相等向量一定不平行.( )
(3)与零向量相等的向量是零向量.( )
(4)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反.( )
(5)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
答案:(1)×(2)×(3)√(4)√（5）×
【设计意图】通过探究让学生理解平面向量的概念、平行向量、相等向量的概念，培养数学抽象的核心素养。
（三）典型例题
1.平面向量的相关概念
例1.给出下列命题：
①若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在▱ABCD中，一定有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．
答案：②③
【类题通法】1．单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的．
2．对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．
【巩固练习1】下列说法正确的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
解析：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；C选项，当b＝0时，a与c可能不共线；两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
答案：A
2.平面向量的表示
例2.在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)eq \(OA,\s\up6(→))，使|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))，使|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，点B在点A正东方向；
(3)eq \(BC,\s\up6(→))，使|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，点C在点B北偏东30°方向．
解析：如图中的eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))和eq \(BC,\s\up6(→)).
【类题通法】1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．
2．注意事项：书写有向线段时，要注意起点和终点的不同；在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头.
【巩固练习2】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
①作出向量eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(BC,\s\up12(→))，eq \(CD,\s\up12(→)).
②求eq \(AD,\s\up12(→))的模．
解：①作出向量eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(BC,\s\up12(→))，eq \(CD,\s\up12(→))，如图所示：
②由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)．所以|eq \(AD,\s\up12(→))|＝5eq \r(5)米．
3.相等向量与共线向量
例3.如图，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与eq \(AC,\s\up6(→))平行且长度为2eq \r(2)的向量个数有________个．
解析：如图所示，满足与eq \(AC,\s\up6(→))平行且长度为2eq \r(2)的向量有eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))，eq \(HG,\s\up6(→))，eq \(IJ,\s\up6(→))，eq \(JI,\s\up6(→))共8个．
答案：8
【变式探究1】本例中的条件不变，与同向且长度为2的向量有几个？
解：与同向且长度为2的向量占与平行且长度为2的向量中的一半，共4个.
【变式探究2】本例中的条件不变，如图,与向量 相等的向量有多少个?
解：图中每个小正方形的对角线所在的向量中,与向量方向相同的向量与其相等,共有8个.
【类题通法】相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
【巩固练习3】如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则
(1)与Oeq \(A,\s\up12(→))的模相等的向量有多少个？
(2)与Oeq \(A,\s\up12(→))的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与Aeq \(B,\s\up12(→))共线的向量．
解：(1)与Oeq \(A,\s\up12(→))的模相等的向量有Oeq \(C,\s\up12(→))，Aeq \(O,\s\up12(→))，Ceq \(O,\s\up12(→))三个向量．
(2)与Oeq \(A,\s\up12(→))的模相等且方向相反的向量为Oeq \(C,\s\up12(→))，Aeq \(O,\s\up12(→)).
(3)与Aeq \(B,\s\up12(→))共线的向量有Deq \(C,\s\up12(→))，Ceq \(D,\s\up12(→))，Beq \(A,\s\up12(→)).
（四）操作演练 素养提升
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线 B.eq \(DE,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))共线
C.eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))相等 D.eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))相等
2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量eq \(AB,\s\up12(→))与eq \(DC,\s\up12(→))的关系是( )
A.eq \(AB,\s\up12(→))＝eq \(DC,\s\up12(→)) B．|eq \(AB,\s\up12(→))|＝|eq \(DC,\s\up12(→))|
C.eq \(AB,\s\up12(→))＞eq \(DC,\s\up12(→)) D．eq \(AB,\s\up12(→))＜eq \(DC,\s\up12(→))
3．若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
4.下列结论中正确的是( )
①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；
②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；
③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；
④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|.
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
答案：1.B 2.B 3.C 4.B
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第4页 练习 第1，2，3,4题
第5 页 习题6.1 第1,2,3,4题









第一节
课时内容
平面向量的概念
所在位置
教材第2页
新教材内容分析
本节课是一节概念课，在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。
核心素养培养
通过理解平面向量的概念，向量的模的概念，两个向量相等的含义以及共线向量的概念，培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养；通过向量的表示方法，提升直观想象的核心素养。
教学主线
平面向量的概念