高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品习题，文件包含人教A版2019高中数学必修第二册635平面向量数量积的坐标表示分层作业原卷docx、人教A版2019高中数学必修第二册635平面向量数量积的坐标表示分层作业解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共5页， 欢迎下载使用。

(1)； (2) .
设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________.
3.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．（-2，）∪ C．(－∞，－2) D．(－2,2)
4．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.
(1)求向量a的坐标． (2)求向量a与b的夹角．
二、巩固提高
5．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值.
6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是________.
【选做】
7．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为( )
A．3 B．5 C．7 D．8
三、尖子突破
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
9.已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标.

例4 已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
【解析】当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，此时a与b方向相反，夹角为180°，
所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0 且a与b不反向．
由a·b＝－2＋k＜0得k＜2. 由a与b不反向得k≠－，所以k的取值范围是∪(-,2).
2．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________. 【答案】－3.
3.【解析】(1)当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是（-2，）∪，选B.
4．【解析】(1)a＝(1,2)或a＝(－2,1)．(2)向量a与b的夹角θ＝.
5．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值.
【解析】(1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0 ∴⊥，即AB⊥AD.
(2)⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴得∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，所以·＝8＋8＝16＞0，
||＝2，||＝2.设与夹角为θ，则
cs θ＝＝＝＞0，解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是________.
【解析】设点P的坐标是(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
所以·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时·取得最小值，故点P的坐标为(3,0)． 【答案】(3,0)
【选做】7．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为( )
A．3 B．5 C．7 D．8
【解析】以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，设P(0，x)(0≤x≤a)，则＋3＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a4x)，
所以|＋3|＝≥5. 【答案】B
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
【解析】(1)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，
则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．
可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝eq \r(2)，
所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 【答案】
9.已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标.
(2)设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵D在直线BC上，即与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴ ∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，②
即2x＋y－3＝0.由①②可得x=1,y=1.即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝，综上，||＝，D(1,1)．
2024—2025学年下学期高一数学分层作业（11）
6.3.5平面向量数量积的坐标表示