高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算优秀教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算优秀教案，共10页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，变式探究1，变式探究2，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。


本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第七章《复数》的第一节《复数的概念》。以下是本章的课时安排：
上一节课学生已经掌握了复数的几何意义，本节借助复数的几何意义，学习复数之间的加、减运算及其几何意义。
1.通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性.
2.明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.
3.经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养。
1.重点：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则；
2.难点：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时.在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算.
想一想 复数集内可进行复数的四则运算吗？
2.探索交流，解决问题
【问题1】设向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))分别与复数a＋bi，c＋di对应，那么eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))的坐标如何呢？
[提示]eq \(OZ1,\s\up6(→))＝(a，b)，eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(c，d)，eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(a＋c，b＋d)．
【问题2】向量eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是什么？
[提示]向量eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.
【问题3】按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
[提示] 复数z1－z2的几何意义就是向量eq \(OZ1,\s\up6(→))－eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数．
（二）复数的加减运算
1. 加、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
2.加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【做一做】1.(6－2i)－(3i＋1)＝( )
A．3－3i B．5－5i C．7＋i D．5＋5i
答案：B
若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4 C．3 D．－4
答案：B
3.复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq \(OZ,\s\up6(→))，与z1－z2对应的向量是eq \(Z2Z1,\s\up6(→)).
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数．( )
(2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.( )
(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( )
(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．( )
(5)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
（三）典型例题
1.复数的加减运算
例1.计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i (a，b∈R)．
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
【类题通法】复数代数形式的加、减法运算技巧
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
【巩固练习1】复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．
答案：A
2.复数的加减运算的几何意义
例2. 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.
(1)求eq \(AO,\s\up6(→))表示的复数；
(2)求eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数．
解：(1)因为eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，
所以eq \(AO,\s\up6(→))表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.
(2)因为eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
【变式探究1】若本例条件不变，求点B所对应的复数．
解：因为eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(OB,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所对应的复数为1＋6i.
【变式探究2】若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，则eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，由互动探究1中知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，所以点M对应的复数为eq \f(1,2)＋3i.
【类题通法】复数加、减法几何意义的应用技巧
(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．
(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
【巩固练习2】在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.
所以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－1，2)．
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2，2)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(－3，1)．
即eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数为1＋i，eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数为－2＋2i，eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数为－3＋i.
(2)因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－2）2＋22)＝eq \r(8)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－3）2＋1)＝eq \r(10)，
因为|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝10＝|eq \(BC,\s\up6(→))|2.
且|eq \(AB,\s\up6(→))|≠|eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．
3.复数加、减法运算与模的综合应用
例3.设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，求|z1－z2|.
解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)
由题意知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，
∴2ac＋2bd＝0.
∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2，
∴|z1－z2|＝eq \r(2).
法二：设复数z1，z2，z1＋z2分别对应向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))
∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，
∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形．
∴|z1－z2|＝|eq \(Z2Z1,\s\up6(→))|＝|eq \(OZ,\s\up6(→))|＝eq \r(2).
【类题通法】1.利用复数加、减运算及模的几何意义，应用数形结合的思想，可以直观简便地解决复数模的问题．2.在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB满足：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.
【巩固练习3】已知复数z1＝cs θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．6 D.eq \r(6)
解析：由题意，得|z1－z2|＝|(cs θ－sin θ)＋2i|＝eq \r(（cs θ－sin θ）2＋4)＝eq \r(5－2sin θcs θ)＝eq \r(5－sin 2θ)≤ eq \r(6)，故|z1－z2|的最大值为eq \r(6).
答案：D
（四）操作演练 素养提升
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为( )
A．5－3i B．3＋5i C．7－8i D．7－2i
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．
3.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
4.复数z与它的模的和为5＋eq \r(3)i，求这个复数z.
答案：1.C 2.-2 3.B 4.eq \f(11,5)＋eq \r(3)i.
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第77页 练习 第1，2，3,4题
第80页 习题7.2 第1,2,5题









第七章 复数
课时内容
7.1复数的概念
7.2复数的四则运算
7.3 复数的三角表示
所在位置
教材第68页
教材第75页
教材第83页
新教材
内容
分析
本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。
上一节我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算，即复数的加、减、乘、除运算及其几何意义。
前面我们研究了复数及其四则运算，本节内容是复数的三角表示，是复数与三角函数的结合，是对复数的拓展延伸，这样更有利于我们对复数的研究。
核心素养培养
了解数系的扩充过程，理解复数的概念和复数相等的充要条件，培养学生数学抽象和数学运算的核心素养。
通过实例，明确复数的四则运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，发展学生的数学抽象的核心素养；通过了解复数的辐角及辐角的主值的含义，培养学生的直观想象的核心素养。
教学主线
复数的概念、复数的运算