人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直公开课教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直公开课教学设计及反思，共9页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，设计意图等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第六节《空间直线、平面的垂直》。以下是本节的课时安排：
初中的时候就学习过平面内的两条直线判定垂直的方法，前面在学习空间中两条直线的位置关系时也已经掌握了异面直线的概念，本节主要研究异面垂直和异面直线所成的角。
1. 理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角，培养数学运算的核心素养；
2. 掌握证明两条异面直线垂直的方法，提升逻辑推理的核心素养。
1.重点：理解异面直线所成角的定义以及证明两直线垂直。
2.难点：会求两异面直线所成的角。
（一）新知导入
观察下面两个图形.
【问题】 (1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？
(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？
【提示】(1)是异面直线.
(2)是异面直线；是平行直线.
（二）直线与直线垂直
知识点一 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90.
知识点二 直线与直线垂直
与平面内两直线垂直的概念是一致的、统一的，可以看作是平面内直线垂直的推广
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.
【思考1】直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗?
【提示】无关
【思考2】两条直线垂直，一定相交吗？
【提示】 不一定.当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，不一定相交.
【做一做】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是________；
(2)AC和D1C1所成的角是________；
(3)AC和B1D1所成的角是________；
(4)AC和A1B所成的角是________.
【解析】(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.
(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.
(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.
(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.
【答案】(1)90° (2)45° (3)90° (4)60°
（三）典型例题
1.求异面直线所成的角
例1.在正四面体中，，E，F分别为SC､AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解析】取AC中点G，连接EG，GF，因为E，F分别为SC､AB的中点，所以 ，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角.
因为，所以，又，所以，所以△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°.故选B.
【答案】B
【类题通法】求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角：求角度，常利用三角形.
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
【巩固练习1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.
【解】(1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
2.证明直线与直线垂直
例2.如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
【证明】如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴DB1⊥EF.
【类题通法】 证明两条异面直线垂直的步骤：
(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．
(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．
(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．
【巩固练习2】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3.
求证：AC⊥BD.
【证明】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，
同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
（四）操作演练 素养提升
1.设a，b，c是直线，则( )
A.若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B.若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D.若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线
2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
3.在正方体中，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．B．C．D．
4.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是 ．
【答案】1.C 2.B 3.C 4.90°

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第148页 练习 第1，2,3,4题
第162页 习题8.6 第4,11题










8.6空间直线、平面的垂直
课时内容
8.6.1直线与直线垂直
8.6.2直线与平面垂直
8.6.3平面与平面垂直
所在位置
教材第146页
教材第149页
教材第155页
新教材内容分析
本节内容是利用空间直线平行的传递性和等角定理，探究异面直线所成的角，渗透把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的转化思想.
本节内容是空间直线平面垂直，按照“判定--性质”展开内容，通过直观感知和操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定和性质定理。
本节内容是空间平面与平面垂直，与研究直线与平面垂直一样，借助长方体模型，理解平面与平面平行的判定和性质定理。
核心素养培养
通过实物观察、抽象出异面直线夹角的定义，培养直观想象的核心素养；借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养.
通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养。
通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
教学主线
垂直关系的相互转化