重难点07 三角形的6种模型（A字、8字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）-2024年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
重难点突破07 三角形的6种模型
（A字、8字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）目 录
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\l "_Tc156571268" 题型01 A字模型
\l "_Tc156571269" 题型02 8字模型
\l "_Tc156571270" 题型03 飞镖模型
\l "_Tc156571271" 题型04 老鹰抓小鸡模型
\l "_Tc156571272" 题型05 双角平分线模型
\l "_Tc156571273" 题型06 三角形折叠模型
题型01 A字模型
【模型介绍】图形像“A”字，故曰“A”字模型.
1．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1=125°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①对B．①和③对C．①、②、③都对D．①、②、③都不对
4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2= 度．
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1＋∠2＝ °．

6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证∠DBC+∠ECB=180°+∠A．
题型02 8字模型
【模型介绍】图形像“8”字，故曰“8”字模型.
7．（2023下·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD．下列结论正确的是（ ）
A．∠BOD=∠BB．∠AOC<∠D
C．∠BOD=∠C+∠DD．∠AOC=∠A+∠C
8．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C=28°，∠D=22°，则∠P的度数为（ ）

A．22°B．25°C．28°D．30°
9．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，AD与BC交于点O，甲、乙两人要证明∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下：
甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，
∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，
故得证．
乙：作一圆通过A，B，C，D四点，
∵∠A与∠C对同弧BD，∠B与∠D对同弧AC．
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=∠D+∠C．
对于甲、乙两人的做法，以下结论正确的是（ ）
A．甲、乙两人的做法都是正确的B．甲的做法正确，乙的做法错误
C．乙的做法正确，甲的做法错误D．甲、乙两人的做法都是错误的
10．（2023·陕西榆林·统考一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
11．（2020·全国·九年级专题练习）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
12．（2020·全国·九年级专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．
13．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
14．（2021下·江苏苏州·七年级苏州市第十六中学校考阶段练习）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）如图②，AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD，若∠ABC=36°,∠ADC=16°，求∠P的度数．
（3）如图③，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=α,∠ADC=β，则∠P=________用α、β的代数式表示）
15．（2019下·河南新乡·七年级校联考期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
题型03 飞镖模型
【模型介绍】图形像“飞镖”，故曰飞镖模型.
16．（2013·湖北鄂州·中考真题）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165°B．120°C．150°D．135°
17．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点F是△ABC的内心，连接BF，CF，若∠BFC=112°，则∠A=（ ）
A．44°B．45°C．50°D．55°
18．（2023上·河北邯郸·八年级统考期末）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
19．（2023·河北邯郸·统考一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不变，则将图中∠D （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”．
20．（2021·全国·九年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是（ ）．
A．72°B．70°C．65°D．60°
21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．
22．（2019·全国·九年级专题练习）如图，ΔABC中，
(1)若∠ABC、∠ACB的三等分线交于点O1、O2，请用∠A表示∠BO1C、∠BO2C；
(2)若∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2⋅⋅⋅⋅⋅⋅On−1（O1、O2⋅⋅⋅⋅⋅⋅On−1依次从下到上），请用∠A表示∠BO1C，∠BOn−1C．
23．（2020下·七年级统考课时练习）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、⋯、G9，若∠BDC=140°,∠BG1C=77°，求∠A的度数．
24．（2021下·江苏镇江·七年级统考期中）模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，则∠BOC=__________°；
②如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；
（2）拓展应用：
①如图4，∠ABO、∠ACO的2等分线（即角平分线）BO1、CO1交于点O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，则∠BO1C=__________°；
②如图5，BO、CO分别为∠ABO、∠ACO的10等分线(i=1,2,3,…,8,9)．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，则∠BO7C=__________°；
③如图6，∠ABO、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，则∠ADB=__________°；
④如图7，∠BAC、∠BOC的角平分线AD、OD交于点D，则∠B、∠C、∠D之间的数量关系为__________．
题型04 老鹰抓小鸡模型
25．（2019上·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
26．（2022上·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，∠A=60°，∠1=96°，则∠2 的度数为（ ）
A．30°B．24°C．25°D．26°
27．（2020下·江苏常州·七年级校联考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于( )
A．40°B．60°C．80°D．140°
28．（2022下·河南南阳·七年级校考阶段练习）如图，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，将纸片折叠，使点C，D落在AB边上的点C'，D'处，折痕为EF，则∠1+∠2=（ ）

A．40°B．50°C．60°D．70°
29．（2023下·河南郑州·八年级校考开学考试）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1−∠2）与∠A的数量关系．

(1)如图①，若∠A＝60°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝ ．
(2)如图②，翻折后，点A落在点A'处，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C的度数．
(3)如图③，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1=80°，∠2=28°，则∠A的度数为 ．
30．（2022下·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
31．（2019下·江苏宿迁·七年级校联考期中）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置，
（1）①若∠1=200,∠2=500，则∠C= ；
②若∠C=420，则∠1+∠2= ；
③探索∠C 、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ；
②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠8= ；
③若将n边形A1A2A3⋯An也按照上面方式折叠，则∠1+∠2+⋯+∠2n= ；
（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC边AC上方点C'的位置， 探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由.
题型05 双角平分线模型
32．（2023·青海·统考一模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC的度数是 ．
33．（2023·山东青岛·统考一模）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180°．
如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步应用】
如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠ACB=______°；
（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，则∠CBD+∠BCE=______°；
（3）若∠A=m°，则∠CBD+∠BCE=______°．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（4）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=______°；
（5）若∠A=60°，分别作∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13∠BCE，则∠BOC=______°；
（6）若∠A=m°，分别作∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n∠BCE，则∠BOC=______°．
34．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC= ．
35．（2021·全国·九年级专题练习）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，……以此类推，若∠A=α，则∠A2020= ．
36．（2021·全国·九年级专题练习）（1）如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明：∠BOC=90°+12∠A．
（2）如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：∠BDC=90°−12∠A．
（3）如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D=12∠A．
37．（2020·全国·九年级专题练习）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.
①当∠A=60∘时，求∠D的度数.
②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论.
（2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

题型06 三角形折叠模型
38．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，在△ABC中，∠A=20°，D为AB的中点，E为AC边上一点，将△ADE沿着DE翻折，得到△A'DE，连接A'B．当A'B=A'D时，则∠A'EC的度数为 ．
39．（2023·江西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A'处，若A'P∥AC，则∠PDA'的度数为 ．
40．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，有一个三角形纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC外．若∠2=20°，则∠1的大小为 ．

41．（2020上·湖南常德·九年级校考期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB、AC上，将ΔADE沿DE折叠，使点A落在点A'处，若A'为CE的中点，则折痕DE的长为 ．
42．（2020·山西·校联考二模）综合与实践：直角三角形折叠中的数学。数学活动：在综合实践活动课上，老师让同学们以“直角三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动，探究折痕长度的有关问题．在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4．
（1）①如图1，勤学组将点A沿DE折叠，使得点A与点B重合，折痕交AB于点D,交AC于点E,则DE的长为 ．
②如图2，乐学组将点A沿BE折叠，使得点A的对应点A'落在AC边上，折痕交AC于点E,则BE的长为 ．
（2）①如图3，博学组将点C沿EF折叠，使得点C与点A重合，折痕交AC于点E,交BC于点F,求线段EF的长度；
②如图4，善思组在博学组的基础上，将点B沿FC折叠，使得点B的对应点B'落在AF上，则GF的长度为_ ．
（3）①如图5，奋进组将点A沿BE折叠，使得点A的对应点A'落在BC边上，求BE的长度；
②如图6，创新组在奋进组的基础上，将点C沿A'F折叠，使得点C的对应点C'落在AC上，折痕交AC于点F,再把△A'FC'展开，将点C沿FG折叠，使得点C的对应点C″落在FA'的延长线上，折痕交A'C于点G,得到如图7所示的图形，请直接写出FG的长．
43．（2021上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．118°C．100°D．90°
已知
图示
结论（性质）
已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E
∠1+∠2=∠A+180°
已知
图示
结论（性质）
已知AD，BC相交于O
∠A+∠B=∠C+∠D
已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD
∠P=12 (∠B+∠D)
已知
图示
结论（性质）
已知四边形ABCD
∠C=∠A+∠B+∠D
已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC
∠O=12 (∠A+∠C)
图示
结论（性质）
∠A+∠O=∠1+∠2
口诀：腋下两角之和等于上下两角之和
∠A+∠O=∠2-∠1
已知
图示
结论（性质）
已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB
∠D=90°+12∠A
已知BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB
∠D=90°- 12∠A
已知BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD
∠E=12∠A
已知
图示
结论（性质）
将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时
∠2=2∠C
将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时
2∠C=∠1+∠2或 ∠C=12（∠1+∠2）
将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时
2∠C=∠2-∠1或 ∠C=12（∠2-∠1）