重难点14 几何最值问题4种类型（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）-2024年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
重难点突破14 几何最值问题4种类型
（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）
题型01 费马点
【基础】费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.
结论：
1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于2)有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.
（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）
【解题思路】运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度.
结论证明过程：
情况一：当△ABC各角不超过120°时，
将∆APB绕着点B逆时针旋转60°得到∆A’P’B
则∆APB≌∆A’P’B ∴BP=BP’ AP=AP’ ∠A’P’B =∠APB
而∠P’BP=60° 则∆ P’BP为等边三角形
∴∠BPP’=∠P’BP=∠B P’P=60°
∵PA+PB+PC= P’A’+PP’+PC≤A’C
∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为A’C
此时∠BPC=180°-∠BPP’=120°
∠APB=∠A’P’B =180°-∠BP’ P=120°
∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°
情况二（仅需理解）：当△ABC有一个内角不小于120°时，
延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，
并且使得AP'=AP, PC'=PC，则△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC（ (只有当P、A重合时取等号)）
所以，当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．
【费马点的作法】（当△ABC各角不超过120°）
作法：1）如图，分别以∆ABC中的AB、AC为边，作等边∆ADB、等边∆AEC
2）连接CD、BE，则∆ADC≌∆ABE(手拉手模型)
3）记CD、BE交点为P，点P为费马点.
4）以BC为边作等边∆BCF，连接AF，必定经过点P，且BE=AF=CD.
【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论
如图所示，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点.
【进阶】
加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”.
【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转.
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5, △ABC内部有一点P,连接PA，PB，PC
备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解.
【费马点 专项训练】
1．（2022·广东广州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ．
2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
3．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB=AC=7,BC=23，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= ；若AB=23,BC=2,AC=4，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= ．
4．（2022下·福建三明·八年级统考期中）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP'C'，则可以构造出等边△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值转化为PP'+PB+P'C'的值，当B，P，P'，C四点共线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'．
①若PA=3，则点P与点P'之间的距离是______；
②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠AP'C'的大小；
(2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．
5．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
6．（2021上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB=∠APC=∠CPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值．
(1)如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB'，连接CB'，求证：CB'过△ABC的费马点．
(3)如图4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．
(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长AB=2；求AE+BE+CE的最小值．
7．（2022·山东德州·统考一模）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，连接PP'，此时△ACP'≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求证：BE=PA+PB+PC．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出PA+PB+PC的值．
8．（2021·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；
（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在△ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．
9．（2020·江苏南通·南通市新桥中学校考一模）（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝ 度．
（2）【解决问题】
①如图2，在边长为7的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝ ．
（3）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝32，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
【加权费马点 专项训练】
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC．（加权费马点）求：
（1）PA+PB+PC的最小值；
（2）PA+PB+2PC的最小值
（3）PA+PB+3PC的最小值；
（4）2PA+PB+3PC的最小值
（5）12PA+PB+32PC的最小值；
（6）2PA+4PB+23PC的最小值
（7）4PA+2PB+23PC的最小值；
（8）3PA+4PB+5PC的最小值
题型02 胡不归模型
【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他所在求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通过砂石区域回家呢？这就是流传千百年的“胡不归问题.
如图，A是出发点，B是目的地，直线m是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂石，为了选择合适的路线，假设通过驿道速度为v1米/秒，通过砂石区域速度为v2米/秒（v1> v2），小伙子需要在直线m上选取一点C，再折往至B，求点C在何处时，用时最短（A→C→B）？
由题目可知A、B为定点，点C在直线m上运动，求tAC+tBC的最小值.
t总=tAC+tBC=ACv1+BCv2= 1v2BC+v2v1AC，因为v1，v2为定值，所以只需求BC+v2v1AC的最小值即可，因此需要在图中构造出长度为v2v1AC的替换线段.因为v1> v2，所以设v2v1 =sinα，则在AC外侧作∠CAM=α，过点C作CE⊥AM，则CEAC=v2v1 =sinα，所以CE=v2v1AC，原问题转化为1v2BC+CE的最小值，显然垂线段最短，即过点B作AM的垂线，与直线m的交点C即为所求点.
【解题关键】在求形如“PA+KPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB相等的线段，将“PA+KPB”型问题转化为“PA+PC”型.(若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可).
【胡不归模型 专项训练】
1．（2023上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
2．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,−1)，连接PD，则2PD+PC的最小值是（ ）
A．4B．2+22C．22D．32+232
3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
4．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是 ．
5．（2020·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为 ．
6．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．

7．（2023下·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系，A(1,1)，直线l:y=43x+1经过B(m,113)，点H在直线l上运动，求AH+45BH最小值．
8．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线y=ax2+bx+3分别交x轴于点A1,0，B−3,0，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且MN⊥AC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋12MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
9．（2022下·重庆·八年级统考期末）已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，∠GBH+∠GED=90°
(1)如图1，若H为CF的中点，且AF=2DF，DH=102，求线段AB的长；
(2)如图2，若BH=BC，过点B作BI⊥CH于点I，求证：BI+22DG=CG；
(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作BQ⊥CP于点Q，将△BCQ沿BC翻折得△BCM，N为直线AB上一动点，连接MN，当△BCM面积最大时，直接写出22AN+MN的最小值．
10．（2021·四川绵阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝33x＋3和直线l2：y＝﹣3x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋22OP的最小值．
12．（2019·四川绵阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2a>0的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA=1，经过点A的一次函数y=kx+bk≠0的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ΔABD的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ΔACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+35PA的最小值．
13．（2019·湖南张家界·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，OC=3．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当ΔPBC面积最大时，求点P的坐标；
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
题型03 阿氏圆模型
【模型由来】已知平面上两点 A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”，又称阿波罗尼斯圆.
【模型解读1】如图1所示，⊙O的半径为r，点 A、B 都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接 PA、PB，则当PA+kPB的值最小时，P 点的位置如何确定?
思路：如图 2，在线段OB上截取OC，使OC= k·r（即OCOP=k=OPOB）且∠BOP=∠COP，则可说明△BPO与△PCO相似，即PCPB=k .故本题求 PA+kPB的最小值可以转化为PA+ PC的最小值,其中A与C为定点，P为动点，故当 A、P’、C三点共线时， PA+kPB的最小值为线段AC的长.
具体步骤：
1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；
2：计算连接线段OP、OB长度；
3：计算两线段长度的比值OP/OB="k" ；
4：在OB上截取一点C，使得OC/OP=OP/OB构建母子型相似：
5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．
【模型解读2】如图点A，B在⊙O上，OA⊥OB,OA=OB=12，点C是OA的中点，D在OB上，OD=10，点P是⊙O上一动点，则2PC+PD的最小值 ，PC+65PD的最小值 ．
【详解】解：如图1，延长OA到E，使OA=AE，连接PE、OP，
∵OA=OP，C为OA中点，∴OPOE=12，OCOP=12，∴OPOE=OCOP=12，
∵∠COP=∠POE，∴△OCP∽△OPE，∴OPOE=APPE=12，
∴PE=2PC，∴2PC+PD=PE+PE,即当E、P、D三点共线时，2PC+PD有最小值，
最小值为OE2+OD2=242+102=26；
如图2，延长OB到F，使OF=725，连接PF、OP，
∵OD=10，OP==OA=12，∴OPOF=ODOP=56，
∵∠DOP=∠POF，∴△ODP∽△OPF，∴OPOF=DPPF=56，∴PF=65PD，
∴PC+65PD=PC+PF,即当C、P、F三点共线时，PC+65PD有最小值，
最小值为OC2+OF2=62+7252=15.6．
【模型总结】
对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造。
当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造。
【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；
当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.
【阿氏圆模型 专项训练】
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．52C．4+10D．213
2．（2023·陕西咸阳·校考三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，则PC+14PD的最小值为 ．

3．（2022·四川泸州·四川省泸县第一中学校考一模）如图，AB为⊙O的直径，AB＝2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P是⊙O上的一动点，则22PD+PC的最小值为 ．
4．（2022上·浙江·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限内一动点，OP=2，连接AP、BP，则BP+12AP的最小值是 ．
5．（2020·江苏常州·统考一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA＋PB的最小值为 ．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD−12PC的最大值为 ．
8．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+22PC的最小值是 ．

9．（2018·甘肃天水·校联考一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为 ．
10．（2023下·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求12AP+BP的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得OCOP=12=OPOA，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以CPAP=OPOA=12，得CP=12AP所以12AP+BP=CP+BP．
又因为CP+BP≥CB=OC2+OB2，所以12AP+BP最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将12AP转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求AP+23BP的最小值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
11．（2022·广东惠州·统考一模）如图1，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为−1,0，抛物线的对称轴是直线x=32．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求24BQ+FQ的最小值．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋22AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋22AD的最小值．
13．（2017下·江苏盐城·九年级阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+a+3x+3a≠0与x轴交于点A4,0，与y轴交于点B，在x轴上有一动点Em,0（0(1)求a的值和直线AB的函数表达式：
(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65求m的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°<α<90°），连接E'A、E'B，求E'A+23E'B的最小值．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①AP+12BP，
②2AP+BP，
③13AP+BP，
④AP+3BP的最小值．
15．（2021上·江苏宿迁·九年级校考期末）问题提出：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CB=4，CA=6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+12BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD=1，则CDCP=CPCB=12．又∠PCD=∠BCP，所以△PCD∽△BCP．所以PDBP=CDCP=12．
所以PD=12PB，所以AP+12BP=AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP+BP的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，∠COD=90∘，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一点，求2PA+PB的最小值．
16．（2019·山东·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
题型04 瓜豆原理
【模型介绍】在几何双动点问题中，当两个动点与定点满足一定条件时，这两动点的运动规律会出现“种线得线、种圆得圆”的关联性，这种关联性，形象地用中国一句俗语“种瓜得瓜、种豆得豆”来形容，取名为“瓜豆原理”.
【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)；
①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动；
②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角;
③两个动点到定点的距离的比值是定值.
【模型一】如图，点O是定点，点 A、B是动点，∠AOB=α且OBOA=k，如果A点的运动轨迹是直线，那么B点的运动轨迹也是直线.
证明过程：如下图，假设此时点A运动到点A’, 点B运动到点B’,且满足∠A’OB’=α，OB’OA’=k
所以∠AOA’=∠BOB’, OBOA= OB’OA’=k 因此△AOA’∽△BOB’ ∴∠OAA’=∠OBB’, BB’AA’=k
∴点B在运动过程中，BB’与OB’的夹角始终保持不变，且夹角与∠OAA’相等，所以点B的运动轨迹是一条直线.
∴直线BB’与直线AA’的夹角为α（8字模型自行证明）
【模型二】如图，点O是定点，点 A、B是动点，∠AOB=α且OBOA=k，如果A点的运动轨迹是圆，那么B点的运动轨迹也是圆.
证明过程：连接OE，作OC，使得∠EOC=α，在OC上取点F，使得OF=kOE
∵∠AOB=∠EOC=α ∴∠AOE=∠BOF 而OBOA= OFOE=k
因此△AOE∽△BOF ∴BF=kAE
所以点B的运动轨迹是圆.
【瓜豆原理 专项训练】
1．（2017·江苏无锡·统考二模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为 ．
2．（2021上·福建福州·八年级福州三牧中学校考期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=23，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为 ，当点D运动到点H，此时线段BE的长为 ．
3．（2019·江苏宿迁·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边ΔEFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
4．（2022上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（ ）
A．43+4B．4C．43+8D．6
5．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为( )

A．455B．5C．523D．655
6．（2021上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足a2−6a+9+b+3=0，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；
（1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积；
（2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；
（3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离．
7．（2021·陕西西安·九年级交大附中分校校考开学考试）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是对角线BD上的一点，连接AE．
（1）当E在AB的中垂线上时，把射线EA绕点E顺时针旋转90°后交CD于F，连接BF．如图①，若AB=4，求EF的长．
（2）在（1）的条件下，连接BF，把△BEF绕点B顺时针旋转得到△BHK如图②，连接CH，点N为CH的中点，连接AN，求AN的最大值．
8．（2019·江苏淮安·统考中考真题）如图①，在ΔABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到ΔBPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．
①∠BEP= ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ．
（2）请在图③中画出ΔBPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．
9．（2020·全国·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=23，以点B为圆心，3为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C:PC=1:3，连接BP，AP'．
（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；
（2）如图2，若点P在AB上时，连接BP'，求BP'的长；
（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请求出当BP'取得最大值或最小值时，∠PBC的度数；若没有，请说明理由．
10．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°，得到BE，连接DE与AB相交于点F．
(1)如图1，若D为AC的中点，∠BAC=90°，AC=4，BD=29，连接AE，求线段AE的长；
(2)如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接DG，EC，若∠BAC<90°，EC⊥BG，∠ADE=∠DBC，∠DBC＋∠G=∠EBF，证明2BC=2AD+DC；
(3)如图3，若△ABC为等边三角形，AB=62，点M为线段AC上一点，且2CM=AM，点P是直线BC上的动点，连接EP，MP，EM，请直接写出当EP+MP最小时△EPM的面积．
11．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）在等边三角形ABC中，点D为AC上一点，连接BD，将BD绕D逆时针旋转角度α得到DE，连接BE，已知AB=4，BG⊥AC；

(1)如图1，若α=60°，tan∠DBG=2−3，连接CE，求CE的长；
(2)如图2，若α=120°，分别取CD的中点H，BE的中点F，连接HF，DF，求证：HG=HF；
(3)如图3，若AD=32，P为AE上一点，且满足AP=2PE，连接BP，将BP沿着BG所在直线翻折得到BP'，连接GP'，当GP'最大时，直接写出△BPE的面积．
12．（2020·全国·九年级专题练习）如图所示，△ABO为等腰直角三角形，A−4,0，直角顶点B在第二象限，点C在y轴上移动，以BC为斜边向上作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式．
图形
结论
等腰三角形
①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
②△ABP与△ACP全等；
③△BCP为等腰三角形；
④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小.
等边三角形
①AP=BP=CP；
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
③△ABP、△ACP、△BCP全等；
④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；
⑤点P是△ABC各边的中线的交点；
⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；
⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小.
直角三角形
①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小；
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
问题
求解图形
作法
求PA+PB+PC最小值
△CAP绕点C顺时针旋转60°得△CDE
BD长度即为所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC2+CD2=61
求PA+PB+2PC最小值
△CAP绕点C顺时针旋转90°得△CDE
此时△PCE为等腰直角三角形，即PE=2PC
因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，则当B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求, 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF2+FD2=91
求PA+PB+3PC最小值
△CAP绕点C顺时针旋转120°得△CDE
此时△PCE为等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，则当B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求, 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF2+FD2=60+303
求2PA+PB+3PC最小值
思路：原式=2（PA+12PB+32PC）
1)将PC边绕点C旋转60°，然后过点P作PF⊥CE于点F,则PF=32PC;2) 12PB利用三角形中位线来处理；3）PA前的系数是1，不需要转化，所以旋转△PCB.
过程：△BCP绕点C顺时针旋转60°得△CDE, 然后过点P作PF⊥CE于点F, 此时△PCE为等边三角形，即PF=32PC，过点F作FG∥DE，则FG= 12PB，则当A、P、F、G四点共线时取得最小值，AG长度即为所求, 在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34, 原式=2（PA+12PB+32PC）=234
求2PA+4PB+23PC最小值
过程：△ACP绕点C顺时针旋转60°得△CDE, 然后过点P作PF⊥CE于点F, 此时△PCE为等边三角形，即PF=32PC，过点F作FG∥DE，则FG= 12AP，则当B、P、F、G四点共线时取得最小值，BG长度即为所求, 在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5, 原式=4（12PA+PB+32PC）=26