第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（5考点 28题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

这是一份第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（5考点 28题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用），文件包含第12讲反比例函数的图象性质及应用讲义原卷版docx、第12讲反比例函数的图象性质及应用讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共155页， 欢迎下载使用。

2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第12讲 反比例函数的图象、性质及应用
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc154874817" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc154874818" 考点一 反比例函数的相关概念
\l "_Tc154874819" 题型01 用反比例函数描述数量关系
\l "_Tc154874820" 题型02 判断反比例函数
\l "_Tc154874821" 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
\l "_Tc154874822" 考点二 反比例函数的图象与性质
\l "_Tc154874823" 题型01 判断反比例函数图象
\l "_Tc154874824" 题型02 反比例函数点的坐标特征
\l "_Tc154874825" 题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式
\l "_Tc154874826" 题型04 由反比例函数解析式判断其性质
\l "_Tc154874827" 题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值
\l "_Tc154874828" 题型06 判断反比例函数经过象限
\l "_Tc154874829" 题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
\l "_Tc154874830" 题型08 已知反比例函数增减性，求k值
\l "_Tc154874831" 题型09 由反比例函数的性质比较大小
\l "_Tc154874832" 题型10 求反比例函数解析式
\l "_Tc154874833" 题型11 与反比例函数有关的规律探究问题
\l "_Tc154874834" 考点三 反比例系数k的几何意义
\l "_Tc154874835" 题型01 一点一垂线
\l "_Tc154874836" 题型02 一点两垂线
\l "_Tc154874837" 题型03 两点一垂线
\l "_Tc154874838" 题型04 两点两垂线
\l "_Tc154874839" 题型05 两点和原点
\l "_Tc154874840" 题型06 两曲一平行
\l "_Tc154874841" 考点四 反比例函数与一次函数综合
\l "_Tc154874842" 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合
\l "_Tc154874843" 题型02 一次函数与反比例函数交点问题
\l "_Tc154874844" 题型03 一次函数与反比例函数综合应用
\l "_Tc154874845" 考点五 反比例函数的实际应用
\l "_Tc154874846" 题型01 行程问题
\l "_Tc154874847" 题型02 工程问题
\l "_Tc154874848" 题型03 物理问题
\l "_Tc154874849" 题型04 分段问题
\l "_Tc154874850" 题型05 几何问题
考点一 反比例函数的相关概念
反比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx−1（k≠0）的形式.
反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数y，等号右边是一个分式；
②k≠0；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
1. 反比例函数y=kx（k≠0）的自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数.
2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.
题型01 用反比例函数描述数量关系
【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即F1L1=F2L2．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【答案】C
【分析】根据杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，并结合题意可得左侧F1L1是定值，从而进行判断．
【详解】由杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．
【变式1-1】（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如y=kx（k为常数，k≠0）的式子表示，由此逐项判断即可．
【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
①矩形的面积=x⋅y，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如y=kxk≠0的式子表示，即满足所给的函数图象；
②耕地面积=S⋅n，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如y=kxk≠0的式子表示，即满足所给的函数图象；
③汽车的行驶速度=st，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如y=kxk≠0的式子表示，即不满足所给的函数图象；
综上可知：①②符合要求，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
【变式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时．现向贮水壶内注水，则在受水壶注满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（ ）
A．一次函数B．二次函数C．反比例函数D．无法确定
【答案】A
【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀解答即可．
【详解】解：∵漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高
∴浮子的高度与对应注水时间成正比
∴浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是一次函数
故选A．
【点睛】本题考查了判断函数关系，读懂材料，掌握一次函数、二次函数、反比例函数的特点是解答本题的关键．
题型02 判断反比例函数
【例2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y=−3xB．y=−32xC．y=3x−1D．3xy=2
【答案】C
【分析】根据反比例函数解析式y=kx(k≠0)判断求解．
【详解】解：根据反比例函数解析式y=kx(k≠0)，知
A. y=−3x，符合定义，本选项不符合题意；
B. y=−32x=−32x，符合定义，本选项不符合题意；
C. y=3x−1，不符合定义，本选项符合题意；
D. 3xy=2，得y=23x，符合定义，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键．
【变式2-1】（2022·福建南平·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（ ）
A．y=5xB．y=2x+3
C．y=4xD．y=x2+2x+1
【答案】C
【分析】根据一次函数，反比例函数及二次函数的函数解析式进行判断．
【详解】解：A. y=5x，是正比例函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；
B. y=2x+3，是一次函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；
C. y=4x，是反比例函数，图象是双曲线，故该选项正确，符合题意；
D. y=x2+2x+1，是二次函数，图象是抛物线，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的表达式，解题关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的表达式．
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
【例3】（2022上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，则m的值是 ．
【答案】±2
【分析】根据反比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出m的值．
【详解】∵函数y=(m+1)xm2−5是关于x的反比例函数，
∴m+1≠0，m2−5=−1，
∴m=±2，
故答案为：±2
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝kx的图象经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为 ．
【答案】3
【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得k及mn的值．
【详解】解：把点（1，3）代入y＝kx
得k=3
故反比例函数的解析式为y=3x
把点（m，n）代入y=3x 得mn=3故答案为：3
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本题的关键．
【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2x的图象上，则m= ．
【答案】2
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值．
【详解】解：∵点A(−2,m−1)在反比例函数y=−2x的图象上，
∴−2×(m−1)=−2，
∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与解析式的关系是解题的关键．
【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y=k−1x的图象经过点−2,1，则k的值是（ ）
A．1B．−2C．−1D．3
【答案】C
【分析】把点−2,1的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可．
【详解】解：∵反比例函数y=k−1x的图象经过点−2,1，
∴1=k−1−2．解得k=−1．故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键．

在反比例函数中，k≠0与x的指数为-1这两个条件必须同时具备，解决此类问题的容易忽略k≠0的条件，从而得出错误答案.
考点二 反比例函数的图象与性质
一、反比例函数的图象与性质
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
题型01 判断反比例函数图象
【例1】（2022·黑龙江绥化·校考三模）当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到函数关系式为ab=S（常数），于是得到a、b是成反比例的量，根据函数关系式即可得到结论．
【详解】解：由长方形的面积公式得，a=Sb，且b>0，
故C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式1-1】（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，得到∠ABC=∠ACB=80°，推出∠ABP=∠ACQ=100°，根据∠PAQ=100°推出∠PAB+∠CAQ=80°，根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°，推出∠AQC=∠PAB，推出△APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断．
【详解】∵△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=80°
∴∠ABP=∠ACQ=100°
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°
∴∠PAB+∠CAQ=80°
∵∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°
∴∠AQC=∠PAB
∴△APB∽△QAC
∴PBAC=ABQC，即x2=2y．
则函数解析式是y=4x．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，反比例函数等，熟练掌握等腰三角形性质，三角形外角性质，相似三角形判定与性质，反比例函数图形与性质，是解决本题的关键．
【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF=y，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平行四边形的性质得到S△ABD=S△BCD，然后证明出△AEF∽△BFC，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD=S△BCD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴CF=AE=2，∠AEF=∠BFC=90，
∵∠CBF=∠EAF，∠AEF=∠BFC，
∴△AEF∽△BFC，
∴EFCF=AEBF，
∴x2=2y，
∴y=4x，
∴y与x的函数的图象为双曲线在第一象限内的部分．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解此题的关键是证明出△AEF∽△BFC．
【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数y=2x的过程与方法，探究函数y=2x−2x≠2的图象与性质．
(1)m=__________________．
(2)请画出函数y=2x−2x≠2的图象；
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x<2时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
②y=2x−2的图象是由y=2x的图象向__________平移__________个单位长度而得到的；
③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标）
【答案】(1)−43
(2)见解析
(3)①减小；②右；2；③(2,0)
【分析】（1）把x=12代入函数y=2x−2x≠2即可解答；
（2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把x=12代入y=2x−2，
得y=212−2，
∴m=−43，
故答案为−43；
（2）函数图象如图所示：

（3）解：①当x<2时，y随x的增大而减小；
②y=2x−2的图象是由y=2x的图象向右平移2个单位长度而得到的；
③图象关于点(2,0)中心对称；
故答案为：①减小；②右；2；③(2,0)．
【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质．
题型02 反比例函数点的坐标特征
【例2】（2023·广西北海·统考模拟预测）下列各点在反比例函数y=2x图象上的是（ ）
A．−1,2B．2,−1C．1,3D．−1,−2
【答案】D
【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函数图象上，反之则不在．
【详解】A．当x=−1时，y=2x=2−1=−2≠2，故该选项不正确，不符合题意；
B．当x=2时，y=2x=22=1≠−1，故该选项不正确，不符合题意；
C．当x=1时，y=2x=21=2≠3，故该选项不正确，不符合题意；
C．当x=−1时，y=2x=2−1=−2，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键．
【变式2-1】（2023·福建宁德·统考模拟预测）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y=kx的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）
A．1,6B．−12,12，C．−2,−3D．32,4
【答案】B
【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．
【详解】解：A、k=1×6=6，
B、k=−12×12=−6，
C、k=−2×−3=6，
D、k=32×4=6，
∴不在这个函数图象上的点是−12,12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
【变式2-2】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于A，B两点，若A2，m，则点B的坐标为（ ）
A．2,2B．−2,−1C．−2,−2D．−1,−4
【答案】C
【分析】根据反比例函数的对称性进行求解即可．
【详解】解：∵直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于A，B两点，
∴点A和点B关于原点对称，
把A2，m代入到y=4x中得：m=42=2，
∴A2，2，
∴B−2，−2，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键．
【变式2-3】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（ ）
A．（1，1）B．（2，4）C．（3，1）D．（4，3）
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象和性质及题意可知，在B部分的点的坐标满足2x＜y＜6x，对其变形，得2＜xy＜6，然后将选项A、B、C、D的坐标值别代入进行对比，符合要求的即是答案.
【详解】根据题意可知，在B部分的点的坐标满足2x＜y＜6x，
对其变形，得2＜xy＜6.
选项A，（1，1），xy=1，不符合要求；
选项B，（2，4）,，xy=8，不符合要求；
选项C，（3，1），xy=3，符合要求；
选项D，（4，3）,，xy=12，不符合要求.
故选C.
【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、定义及表达式，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=−2x的图象的一个交点坐标为1,m，则另一个交点的坐标为 ．
【答案】−1,2
【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称．
【详解】∵已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=−2x的图象的一个交点坐标为1,m，
∴m=−21=−2
∴交点坐标为1,−2
∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点1,−2关于原点对称，
∴该点的坐标为−1,2．
故答案为：−1,2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键．
【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线y=2x与双曲线y=kx相交于A，B两点．若点A2,m，则点B的坐标是 ．
【答案】−2,−4
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：将A2,m带入到y=2x中，得m=4，则A2,4
∵点A和点B关于原点对称
∴点B坐标为−2,−4．
故答案为：−2,−4．
【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
【变式2-6】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知直线y=kx与双曲线y=k+6x的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是 ．
【答案】（-2，-4）
【分析】根据交点的横坐标是2，得到k+62=2k，求得k值，确定一个交点坐标为（2，4），根据图象的中心对称性质，确定另一个交点坐标即可．
【详解】∵交点的横坐标是2，
∴k+62=2k，
解得k=2，
故函数的解析式为y=2x，y=8x，
当x=2时，y=4，
∴交点坐标为（2，4），
根据图象的中心对称性质，
∴另一个交点坐标为（-2，-4），
故答案为：（-2，-4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图象的中心对称问题，熟练掌握交点的意义，灵活运用图象的中心对称性质是解题的关键．
题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式
【例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（ ）

A．y=1|x|B．|y|=1xC．y=−1|x|D．|y|=−1x
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．
【详解】解：根据反比例函数的图象可得：
第一象限所对应的关系式为：y=1x，第四象限所对应的关系式为：y=−1x，
∴ y与x的关系式为：|y|=1x．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象．
【变式3-1】（2023·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点Pa,b，若ab>0，则称点P为“同号点”．若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是 ．
【答案】y=−1x（答案不唯一）
【分析】根据新定义可得函数图象不在第一，第三象限，从而可得答案．
【详解】解：∵对于点Pa,b，若ab>0，则称点P为“同号点”．
而某函数图象上不存在“同号点”，
∴函数图象不在第一，第三象限，
∴其函数表达式可以是y=−1x；
故答案为：y=−1x．
【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的分别是解本题的关键．
题型04 由反比例函数解析式判断其性质
【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数y=−5x，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交
D．图象必经过点32，−53
【答案】C
【分析】根据反比例函数y=kxk≠0的图象性质进行逐项分析即可作答．
【详解】解：A、∵y=−5x，∴k=−5<0，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意；
B、∵y=−5x，∴k=−5<0，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
C、反比例函数y=−5x的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意；
D、当x=32时，则y=−532=−5×23=−103，∴函数图象经过点32，−103，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数y=kxk≠0的图象性质，当k>0，反比例函数经过第一、三象限；当k<0，反比例函数经过第二、四象限；难度较小．
【变式4-1】（2022·江西九江·校考二模）关于反比例函数y=kxk≠0的图象与性质，下列结论中不正确的是（ ）
A．该函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．当k<0时，该函数的图象在第二、四象限
C．该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点
D．当k>0时，函数值y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象与性质，判断作答即可．
【详解】解：由反比例函数的图象与性质可知，y=kxk≠0的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，A正确，故不符合要求；
当k<0时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求；
联立方程得，y=kxy=kx+b，即kx=kx+b，整理得，kx2+bx−k=0，
∴△=b2+4k2>0，
∴该函数的图象与直线y=kx+b有且只有两个交点，C正确，故不符合要求；
当k>0时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值y随x的增大而减小，D错误，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判根式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值
【例5】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）

A．5B．12C．−5D．−12
【答案】C
【分析】根据图象，当x=−3时，y<3，则0>k>−9；当x=2时，y<−2，则k<−4，所以−9【详解】解：由图可知：当x=−3时，0k>−9，
当x=2时，y<−2，即k2<−2，则k<−4，
∴−9故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．
【变式5-1】（2023·河北沧州·统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则k的值可能是（ ）

A．−2B．1C．3D．5
【答案】C
【分析】由题意可得：k的取值应该满足2【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：−1×−2所以k的值可能是3；
故选：C.
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据函数图象得出2题型06 判断反比例函数经过象限
【例6】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y=kx（k≠0），当x1A．一，三象限B．二，四象限C．一，二象限D．三，四象限
【答案】B
【分析】由反比例函数的增减性可判断解析式中的k值，再由k值可确定图象所在的象限．
【详解】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，当x1即当x<0时，y随x的增大而增大，故k<0，
∴它的图象一定在二，四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性与参数k、所在象限的关系，解题的关键是熟知反比例函数的相关知识点．
【变式6-1】（2023·湖南永州·统考二模）当k>2时，反比例函数y=k−2x的图象位于（ ）
A．一、二象限B．一、三象限C．二、四象限D．三、四象限
【答案】B
【分析】求出k−2>0即可根据反比例函数图象与系数的关系求出答案．
【详解】解：∵k>2，
∴k−2>0，
∴反比例函数y=k−2x的图象位于一、三象限，
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数y=kxk≠0的性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图象中，可能是反比例函数y=6x的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据反比例函数的图象性质进行判断．
【详解】解：由k=6>0，可知反比例函数y=6x的图象在一、三象限．
A. 反比例函数的图象在一、二象限．故选项A不符合题意；
B. 反比例函数的图象与坐标轴相交，错误．故选项B不符合题意；
C. 反比例函数的图象在一、三象限．正确，故选项C符合题意；
D. 反比例函数的图象在二、四象限．错误，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=kx的图象是双曲线，当k>0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k<0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
【例7】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）反比例函数y=a+3x的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥−3B．a>−3C．a≤−3D．a<−3
【答案】D
【分析】根据反比例函数y=kx中，当k<0时函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故反比例函数y=a+3x中，得出a+3<0，求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y=a+3x的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴a+3<0，
解得：a<−3．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握根据反比例函数的增减性求参数范围是解题的关键．
【变式7-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）在反比例函数y=3m+1x图象上有两点Ax1,y1，Bx2,y2，y1<0x2，则有（ ）
A．m≤−13B．m>−13C．m≥−13D．m<−13
【答案】D
【分析】先根据y1<0x2，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵在反比例函数y=3m+1x图象上有两点Ax1,y1，Bx2,y2，y1<0x2，
∴反比例函数的图象在二、四象限，
∴3m+1<0，
解得m<−13．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．
【变式7-2】（2023·湖北武汉·统考三模）若点m−1,y1和m+1,y2在y=kxk>0的图象上，若y1>y2，则m的取值范围是（ ）
A．m>1或m<−1B．−1C．−1【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质和增减性，结合点的横纵坐标的大小关系，得到关于m的不等式组，解之即可.
【详解】∵k>0，
∴y=kx图象在第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小，
∵m−1∴（1）如图，

有m−1<0m+1<0，解得：m<−1，
（2）如图，不符合题意，

（3）如图，

有m−1>0m+1>0，解得：m>1，
∴综上所述：m的取值范围是m>1或m<−1，
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键正确掌握反比例函数的性质和增减性．
【变式7-3】（2022上·陕西渭南·九年级统考期末）若反比例函数y=3k−2x在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（ ）
A．−1B．0C．12D．1
【答案】D
【分析】根据反比例函数的增减性可得3k−2>0，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数y=3k−2x在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴3k−2>0，
解得：k>23，
∴k的值可能是1．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y=kxk≠0，当k>0时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
题型08 已知反比例函数增减性，求k值
【例8】（2023·安徽芜湖·统考二模）已知函数y1=kx,y2=−kx(k>0)，当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a−4，则k＝ ．
【答案】2
【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出k与a的关系，进而得出答案．
【详解】解：∵函数y1=kx(k>0)，当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，
∴x=1时，y=k=a，
∵y2=−kx(k>0)，当1≤x≤3时，函数y2的最小值为y=a−4，
∴当x=1时，y=−k=a−4，
∴k=4−a，
故a=4−a，
解得：a=2．
则：k=4−2=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出k与a的关系是解题关键．
【变式8-1】（2023·陕西咸阳·二模）已知反比例函数y=kxk≠0的图象在每个象限内y随x的增大而增大，且当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k的值为 ．
【答案】−6
【分析】根据题意得出k<0，进而根据当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，列出方程，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
∴k<0，
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴k3−k1=−2k3=4，
解得：k=−6，
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式8-2】已知反比例函数y=kx(k≠0)，当1≤x≤3时，y的最大值与最小值之差是4，则k= ．
【答案】6或-6．
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．
【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，
∴b=3（b+4），
解得b=-6，
∴k=-6；
∴k=6或-6，
故答案为：6或-6．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
题型09 由反比例函数的性质比较大小
【例9】（2023·广东东莞·校联考一模）若点A−2,y1、B−1,y2、C1,y3都在反比例函数y=k2+1x（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征．由k2+1>0可知，此函数图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质即可判定．
【详解】解：∵k2+1>0，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴A−2,y1、B−1,y2在第三象限内，C1,y3在第一象限内，
∵−1>−2，
∴y1>y2，
∴y2故选：C．
【变式9-1】（2023·广东湛江·统考三模）若点Ax1，y1、Bx2，y2、Cx3，y3是反比例函数y=−11x图象上的点，且x1A．y1【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意画出图象,结合x1【详解】解：根据题意画出函数图象得，
可知，y3故选：D．
【变式9-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知Ax1,y1,Bx2,y2在反比例函数y=6x的图象上，x1<0x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2>0B．y1⋅y2>0C．y1+y2<0D．y1−y2>0
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
【详解】解：y=6x的k=6>0，
∴反比例函数y=6x的图象在第一、三象限，
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=6x的图象上，x1<0|x2|，
∴y1<0∴y1+y2>0，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中k与图象的象限关系是解决问题的关键．
【变式9-3】（2022·河北邯郸·校考三模）已知反比例函数y=kx的图象在第一、第三象限内，设函数图象上有两点Ax1,y1、Bx2,y2，若x1A．y1>y2B．y1【答案】D
【分析】根据反比例函数y=kx的图象在第一、第三象限内可知：该函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，然后分类讨论x1与x2所在的象限，从而根据该函数在该象限内的增减性来判断y1与y2的大小关系．
【详解】解：∵反比例函数y=kx的图象在第一、第三象限内，
∴反比例函数y=kx的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，
①当x1y2，
②当0y2，
③当x1<0综合①②③，y1与y2的大小关系不能确定．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的增减性，反比例函数图象上点的坐标特征即反比例函数图象上的点的坐标都能满足该函数的解析式，运用了分类讨论的思想．掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
【变式9-4】（2023·湖北武汉·统考二模）已知Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，为双曲线y=−6x上的三个点，且x1A．若x1x2>0，则y2y3>0B．若x1x2<0，则y1y3<0
C．若x1x3<0，则y2y3>0D．若x1x3>0，则y2y3<0
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，当k<0时，图象过二四象限，再根据x1【详解】解：∵y=−6x，
∴双曲线图象在第二，四象限，
A、当x1x2>0时，不能判断x3符号，选项错误，不符合题意；
B、当x1x2<0时，则x1<0∴x1,y1在第二象限，x3,y3在第四象限，
∴y1y3<0，选项正确，符合题意．
C、当x1x3<0时，不能判断x2符号，选项错误，不符合题意；
D、当x1x3>0 时，不能判断x2符号，选项错误，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
题型10 求反比例函数解析式
【例10】（2023·陕西商洛·统考二模）已知A−1,p与B2,p−3是反比例函数y=kx图象上的两个点，则k的值为 ．
【答案】−2
【分析】根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
【详解】解：∵A−1,p与B2,p−3是反比例函数y=kx图象上的两个点，
∴−1⋅p=2⋅p−3，
解得p=2．
∴k=−1×2=−2
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解题的关键．
【变式10-1】（2022·福建泉州·统考模拟预测）若反比例函数y=kx的图象过点−2,a、2,b，且a−b=−6，则k= ．
【答案】6
【分析】可得−k2=a，k2=b，代入a−b=−6，即可求解．
【详解】解：由题意得
−k2=a，k2=b，
∵ a−b=−6，
∴ −k2−k2=−6，
解得：k=6；
故答案：6．
【点睛】本题考查了函数图象上点的意义，求反比例函数系数k,理解意义是解题的关键．
【变式10-2】（2023·广东广州·校考一模）反比例函数y=kx的图象上有一点Pa，b，且a、b是方程t2−t−2=0的两根，则k= ．
【答案】−2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=−2，然后根据点Pa，b在反比例函数y=kx的图象上求出k=−2即可．
【详解】解：a、b是方程t2−t−2=0的两根，
则有ab=−2，
又∵点Pa，b在反比例函数y=kx的图象上，
∴ab=k，
∴k=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根x1，x2，满足x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
【变式10-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）反比例函数y=kxk≠0的图象经过a,2，a+1,1、(b,6)三点，则b的值为 ．
【答案】13
【分析】根据反比例函数的定义得出a=1，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0的图象经过a,2，a+1,1
∴2a=a+1×1
解得：a=1，
∴k=2
∴反比例数解析式为y=2x，
将点(b,6)代入得，6=2b，解得：b=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，求得反比例函数的解析式是解题的关键．
【变式10-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO=3BO，求反比例函数的解析式．
【答案】y=−4x
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可．
【详解】解：∵直线y=−x+3与y轴交于点A，
当x=0时，y=3
∴A0,3，即OA=3，
∵AO=3BO，
∴OB=1，
∴点C的横坐标为−1，
∵点C在直线y=−x+3上，
∴点C−1,4，
将C−1,4代入y=kxk≠0，
∴4=k−1，
∴k=−4，
∴反比例函数的解析式y=−4x．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．
题型11 与反比例函数有关的规律探究问题
【例11】（2022·河北唐山·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kxx>0的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
（1）点P2的坐标为
（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 ．

【答案】 2，12 218，1218
【分析】（1）先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3，P4的坐标，找出规律可得出Pn的坐标；
（2）根据（1）中的规律可得答案．
【详解】解：（1）∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴反比例函数的解析式为：y=1x，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=12，
∴OA1=2，
∴P22，12．
故答案为：2，12．
（2）由（1）的解同理，得P322，122，P423，123…
∴Pn2n−1，12n−1，
当n=19时，P19218，1218．
故答案为：218，1218．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是找出规律．
【变式11-1】（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数y=4x的图象上有A2,m、B两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD=12AC，点F1是CD的中点，连接AF1、BF1，得到△AF1B；点F2是DF1的中点，连接AF2、BF2，得到△AF2B；……按照此规律继续进行下去，则△AFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
【答案】2n+12n
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出A2,2，得到AC=2，OC=2，BD=1，进而求出B4，1，得到OD=4，则CD=2，根据梯形面积公式求出S四边形ACDB=3，再分别求出S△ACF1=1，S△BDF1=12 S△ACF2=32，S△BDF2=14，S△ACF3=74，S△BDF3=18，进而得到规律S△ACFn=2n−12n−1，S△DCFn=12n，则S△AFnB=S四边形ACDB−S△ACFn−S△BDFn=2n+12n．
【详解】解：∵A2,m在反比例函数y=4x的图象上，
∴m=42=2，
∴A2,2，
∵AC⊥x轴，
∴AC=2，OC=2
∴BD=12AC=1，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
在y=4x中，当y=4x=1时，x=4，
∴B4，1，
∴OD=4，
∴CD=2，
∴S四边形ACDB=AC+BD2⋅CD=3，
∵点F1是CD的中点，
∴CF1=DF1=12CD=1，
∴S△ACF1=12AC⋅CF1=12×1×2=1，S△BDF1=12BD⋅DF1=12×1×1=12，
∵点F2是DF1的中点，
∴DF2=12DF1=14CD=12，
∴CF2=CD−DF2=34CD=32，
∴S△ACF2=12AC⋅CF2=32，S△BDF2=12BD⋅DF2=14，
∵F3为CF2的中点，
∴DF3=12DF2=18CD=14，
∴CF3=CD−DF3=74，
∴S△ACF3=12AC⋅CF3=74，S△BDF3=12BD⋅DF3=18，
……，
以此类推可知，S△ACFn=2n−12n−1，S△DCFn=12n，
∴S△AFnB=S四边形ACDB−S△ACFn−S△BDFn=3−2n−12n−1−12n=3⋅2n−2⋅2n+2−12n=2n+12n，
故答案为：2n+12n．
【变式11-2】（2021上·四川成都·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点…按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点的个数共有____个，这些边整点落在函数y=4x的图象上的概率是 ．
【答案】60,110
【分析】利用整点的个数与正方形的序号数的关系可得到第四个正方形有4×4个边整点，第五个正方形有5×4个边整点，则可计算出其边整点的个数为60个，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定这些边整点落在函数y=4x的图象上的个数，再利用概率公式求解．
【详解】解：第一个正方形有1×4个边整点，
第二个正方形有2×4个边整点，
第三个正方形有3×4个边整点，
第四个正方形有4×4个边整点，
第五个正方形有5×4个边整点，
所以其边整点的个数共有 4+8+12+16+20=60个，
这些边整点落在函数y=4x的图象上的有（1，4），（4，1），（2，2），（-1，-4），（-4，-1），（-2，-2），
所以些边整点落在函数y=4x的图象上的概率=660=110．
故答案为60，110．
【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，利用例举法得到所有等可能的结果数为n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了解决规律型问题的方法和反比例函数图象上点的坐标特征．
【变式11-3】（2020上·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，⋅⋅⋅的边OE1，E1E2，E2E3 ⋅⋅⋅，在x轴上，顶点D1，D2，D3 ⋅⋅⋅，在反比例函数y=43x的图象上．

（1）第1个等边三角形△OD1E1的周长C1=______；第2个等边三角形△E1D2E2的周长C2=______；第3个等边三角形△E2D3E3的周长C3=______；⋅⋅⋅；
（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△En−1DnEn的周长Cn=______；
（3）计算：C1+C2+C3+⋅⋅⋅+C10．
【答案】（1）12；122−12；123−122；（2）12n−12n−1；（3）1210
【分析】（1）根据等边三角形的性质可设D1(m,3m)，然后把点D1的坐标代入y=43x中即可求出m，于是可求得第一个等边三角形的边长，进而可得第一个三角形的周长C1；然后设出D2与D3的坐标，同样的方法即可求出第二个、第三个三角形的周长C2与C3；
（2）根据（1）题所得的结果解答即可；
（3）按照（2）题的规律和二次根式的加减法则求解即可．
【详解】解：（1）由△OD1E1是等边三角形，故可设D1(m,3m)，
∴3m2=43，∴m=2（m=−2舍去），
∴OE1=4，即第一个三角形的周长C1=12；
设D2(4+n,3n)，
∴(4+n)⋅3n=43，解得n=22−2（n=−22−2舍去），
∴E1E2=42−4，即第二个三角形的周长C2=122−12；
设D3(42+a,3a)，
∴(42+a)⋅3a=43，解得a=23−22（a=−23−22舍去），
即第三个三角形的周长C3=123−122；
故答案为：12；122−12；123−122；
（2）根据（1）的规律，猜想第n（n是正整数）个等边三角形△En−1DnEn的周长Cn=12n−12n−1；
故答案为：12n−12n−1；
（3）C1+C2+C3+⋅⋅⋅+C10=12+(122−12)+(123−122)+(124−123)+⋅⋅⋅+(1210−129) =1210．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、等边三角形的性质以及一元二次方程的解法等知识，熟练掌握上述知识、找到规律是解题的关键．
【变式11-4】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3，过点A1，A2，A3，分别作x轴的垂线与反比例函数y=2x(x>0)的图象相交于点P1，P2，P3，得△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，并设其面积分别为S1，S2，S3，以此类推，则S2024的值为（ ）
A．11012B．12023C．12024D．12025
【答案】C
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=k2，由反比例函数解析式中k=2，得出△OA1P1，△OA2P2，△OA3P3，…，△OAnPn的面积都为1，而An−1An为OAn的1n，且△An−1AnPn与△OAnPn的高为同一条高，故△An−1AnPn的面积为△OAnPn的面积的1n，由△OAnPn的面积都为1，得出△An−1AnPn的面积，即为Sn的值，从而得解．
【详解】解：连接OP2，OP3，…，OPn，如图所示：
∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=k2，
∴S=22=1，即S△OA1P1=S△OA2P2=S△OA3P3=…=S△OAnPn=1，
又∵OA1=A1A2=A2A3=…=An−1An，
∴A1A2=12OA2，A2A3=13OA3，A3A4=14OA4，…，An−1An=1nOAn，
∵△An−1AnPn与△OAnPn的高为同一条高，
∴Sn=S△An−1AnPn=1nS△OAnPn=1n，
∴S2024=12024，
故选：C．
【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的主要知识有：反比例函数y=kxk≠0中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12k.
考点三 反比例系数k的几何意义
一、一点一垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为12k.
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC)

结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC=k
二、一点两垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为k.

【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】

结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD=k
三、两点一垂线
【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，
结论：S△ABC =2S△ABO =k
【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．
如左图，已知一次函数与反比例函数y=kx交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=12c•|yA|+12c•|yB|=12c(|yA|+|yB|)
如右图，已知一次函数与反比例函数y=kx交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=12c•|xA|+12c•|xB|=12c(|xA|+|xB|)
四、两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|
五、两点和原点
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB．
方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】
方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD•（|yA|-|yB|）
方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC•（|xB|-|xA|）
【拓展】
方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|．
方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）．
六、两曲一平行
【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型一 两条双曲线的k值符号相同
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝12|k1|- 12|k2|
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
结论：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2|
以下题型均包括两种类型：已知比例系数求特殊图形面积、以及图形面积求比例系数
题型01 一点一垂线
【例1】如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，AB⊥y轴于B，点C在x轴上，若△ABC面积为2，则k的值为（ ）

A．−4B．1C．2D．4
【答案】D
【分析】连接OA，可得S△ABO=S△ABC=2，根据反比例函数k的几何意义，可求出k的值．
【详解】解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△ABO=S△ABC=2，即：12|k|=2，
∴k=4，或k=−4（舍去），
故选：D．

【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数k的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．
【变式1-1】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y=kxx<0的图象上，△AOB的面积为4，则k的值为（ ）

A．−8B．8C．−4D．4
【答案】C
【分析】过点A分别作AN⊥x轴于N点，根据等腰三角形三线合一，得ON=BN，利用三角形中线的性质可得S△ANO=12S△AOB，再根据把反比例函数系数的几何意义，解出k的值，即可．
【详解】过点A分别作AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴ON=BN，
∵S△ANO=12×ON×AN，S△AOB=12×BN×AN，
∴S△ANO=12S△AOB，
∵△AOB的面积为4，
∴S△ANO=2，
∵顶点A在反比例函数y=kxx<0的图象上，
∴12k=2，k<0，
∴k=−4．
故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握三角形的中线平分三角形的面积是关键．
【变式1-2】（2022上·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考期末）若图中反比例函数的表达式均为y=4x，则阴影部分面积为2的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】A．阴影面积=xy=4≠2，故A选项不符合题意；
B．阴影面积=12xy=12×4=2，故B选项符合题意；
C．阴影面积=2×12xy=2×12×4=4，故C选项不符合题意；
D．阴影面积4×12xy=4×12×4=8，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
【变式1-3】（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在y=1x的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、OC，记△ABO、△CDO的面积S1，S2，则S1与S2的大小关系是（ ）

A．S1>S2B．S1【答案】C
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值
【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12k，
所以S1=S2．
故选：C．
【点睛】主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
【变式1-4】（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，P1−1,4、P2−2,2、P3−4,1是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O、设它们的面积分别是S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系为（ ）

A．S1=S2=S3B．S1=S3S3>S1D．无法确定
【答案】A
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到答案．
【详解】∵P1,P2,P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A1O、P2A2O、P3A3O，
∴S1=S2=S3=k2，
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义，是解题的关键．
【变式1-5】（2020·吉林四平·统考一模）如图，函数y=2x（x＞0）和y=6x（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（ ）
A．0.5．B．1．C．2．D．3.5．
【答案】C
【分析】分别假设点M在y=2x和y=6x上，即可得出△MON面积可能的值．
【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
假设点M落在y=2x上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
假设点M落在y=6x上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
∴△MON的面积可能是2，
故选C．
【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义．
【变式1-6】（2020下·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx(x>0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若ΔOAB的面积为3，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S△AOC=12S△OAB=32，再根据反比例函数系数k的几何意义得到12k=32，然后利用反比例函数的性质确定k的值．
【详解】连接OC，如图，
∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
∴S△AOC=12S△OAB=32，
而S△AOC=12k，
∴12k=32，
而k>0，
∴k=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k．
【变式1-7】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，A，B是反比例函数y=9x图象上的两点，分别过点A，B作x轴的垂线．已知S△EOF=3，则阴影部分面积为（ ）
A．3B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，AF⊥x轴于点F，BG ⊥x轴于点G
∵反比例函数y=9x
∴S△BOG=S△AOF=92，
∵S△EOF=3，
∴阴影部分的面积S+ 2S△OEF=9
∴阴影部分面积为3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
题型02 一点两垂线
【例2】（2023·江苏徐州·统考三模）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，成C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=kx的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先确定B点坐标为1，6，可得反比例函数解析式为y=6x，设AD=t，则OD=1+t，所以E点坐标为1+t，t，根据反比例函数图象上点的坐标特征得1+t⋅t=6，解方程求出t的值即可．
【详解】解：∵OA=1，OC=6，
∴B点坐标为1，6，
∴k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
设AD=t，则OD=1+t，
∴E点坐标为1+t，t，
∴1+t⋅t=6，
整理得t2+t−6=0，
解得：t1=−3（舍去），t2=2，
∴正方形ADEF的边长为2．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点x，y的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
【变式2-1】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在反比例函数y=kx(x>0)的图象上有点P1,P2,P3，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1,S2．若S2=3，则S1的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先根据点P1,P2,P3在反比例函数上得到P1k6,6，P2k2,2，P3k,1，再根据S2=k−k2×2−1=3，求出k值，再根据S1=k6×6−2求解即可．
【详解】解：解：把y=1代入y=kx，得y=k，
∴P3k,1，
同理可得P1k6,6，P2k2,2，
∵S2=k−k2×2−1=3，
∴k=6
∴S1=k6×6−2=2k3=4，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，根据S2=k−k2×2−1=3，求出k值是解题的关键．
题型03 两点一垂线
【例3】（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线y=mx与双曲线y=kx交于A、B两点．过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM．若S△ABM=2，则k的值是（ ）
A．2B．m−2C．mD．4
【答案】A
【分析】设A坐标为m,n，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为−m,−n，即可得到S△ABM=mn=2，根据点A在点第一象限，即可得到k=mn=2．
【详解】解：设点A坐标为m,n，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为−m,−n，
∴S△ABM=S△AOM+S△BOM=12mn+12mn=mn=2，
∵点A在点第一象限，
∴k=mn=2．
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键．
【变式3-1】（2023·广西贵港·统考一模）如图，点Am，1和B−2，n都在反比例函数y=4x的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作S1，△OBA面积记作S2，则（ ）
A．S1:S2=2:1B．S1:S2=1:2
C．S1:S2=4:3D．S1:S2=4:5
【答案】C
【分析】根据图象上点的坐标特征求出A4，1，B−2，−2，根据反比例函数比例系数k的几何意义求得S1=4，然后根据S2=S△ABK−S△AON−S梯形ONKB求得S2=3，即可求解．
【详解】解：∵点Am，1和B−2，n都在反比例函数y=4x的图象上．
∴m=4，n=−2，
∴点A4，1，B−2，−2，
∵过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点M，N．
∴S1=4，
如图，过点B作BK⊥AN交AN的延长线于点K，
∴AN=4，ON=1，AK=6，KB=3，
∴S2=S△ABK−S△AON−S梯形ONKB=12×6×3−12×4×1−12×1+3×2=3，
∴S1:S2=4:3．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，分别求得S1、S2的值是解题的关键．
【变式3-2】（2022下·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx（m≠0，m为常数）与双曲线y=kx（k≠0，k为常数）交于点A，B，若A(−1,a),B(b,−3).，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM,，则ΔABM的面积是（ ）
A．2B．m−1C．3D．6
【答案】C
【分析】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S△OAM=S△OBM，A(−1,3),(1,−3)，代入解析式求得k=−3，然后根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义即可得到S△AOM=12|k|=32，进一步得出S△ABM=2S△AOM=3．
【详解】解：∵直线y=mx（m≠0，m为常数）与双曲线y=kx（k≠0，k为常数）交于点A，B，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴S△OAM=S△OBM，
∵A(−1,a),B(b,−3)，
∴a=3,b=1，
∴A(−1,3),(1,−3)，
∴k=−1×3=−3，
∵AM⊥x轴，垂足为M，
∴S△AOM=12|k|=32，
∵S△OAM=S△OBM，
∴S△ABM=2S△AOM=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k．
【变式3-3】（2019下·河南南阳·八年级统考期末）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC.若△ABC的面积为2.

（1）求k的值；
（2）直接写出：①点A坐标____________；点B坐标_____________；②当kx≤2x时，x的取值范围__________________；
（3）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）k=2；（2）①1,2，−1,−2；②x≥1或0>x≥−1；（3）存在，D坐标为−5,0或5,0，−5,0或5,0.
【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于12 |k|，从而求出k的值；
（2）联立两函数即可求出坐标，根据图象可写出范围.
（3）设点D坐标为m,0连结AD、BD，再根据勾股定理解答即可.
【详解】解：（1）由题意知：点A与点B关于原点对称，点O为AB中点，
所以SΔBOC=SΔAOC=12SΔABC
又 S△ABC=2
所以S△AOC=1
所以12|k|=1
k=2
（2）已知两函数交于A，B两点，
故y=2xy=2x
①点A坐标1,2，点B坐标−1,−2
②根据图象可得即是反比例函数在正比例函数下方的范围：x≥1或0>x≥−1.
（3）设点D坐标为m,0连结AD、BD；
∴AD2=22+(m−1)2
或BD2=(−2)2+(m+1)2
或AB2=(2+2)2+(1+1)2
当AD2=AB2+BD2或AB2=AD2+BD2或BD2=AB2+AD2时，
三角形ABD为直角三角形，解得m=−5或m=±5或m=5
所以点D坐标为−5,0或5,0，−5,0或5,0
【点睛】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
题型04 两点两垂线
【例4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数y=kxk≠0的图象上，若▱ABCD的面积是20，则k的值是（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD，CD∥x轴，设Bm，km，则OA=km，CD=AB=m，即可得到D−m，−km，即可求出AC=2km，再根据平行四边形面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AB∥x轴，
∴CD∥x轴，
设Bm，km，
∴OA=km，CD=AB=m，
∴D−m，−km，
∴OC=km，
∴AC=2km，
∵▱ABCD的面积是20，
∴AC⋅AB=20，
∴2km⋅m=20，
∴k=10，
故选A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，正确用含k的式子表示出AC，AB是解题的关键．
【变式4-1】（2021·河南许昌·统考一模）如图，点A是第一象限内双曲线y＝mx （m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝nx （n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝nx （n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为 92，则m，n的值不可能是（ ）
A．m＝19 ，n＝﹣109 B．m＝14 ，n＝﹣54
C．m＝1，n＝﹣2D．m＝4，n＝﹣2
【答案】A
【分析】设A的坐标为（x，mx），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出m−n2=9m，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可．
【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝mx（m＞0）上一点，
∴设A的坐标为（x，mx），
∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝nx（n＜0）上，
∴B的坐标为（nxm，mx），C的坐标为（x，nx），
∴AB=x−nxm，AC=mx-nx，
∵△ABC的面积为92，
∴12AC×BA=92，
∴x−nxm mx-nx=9，
∴m−n2=9m，
∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
【变式4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，A，B是函数y=mx（m＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S=mB．S=2mC．m2m
【答案】B
【分析】根据A、B两点在曲线上可设A、B两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．
【详解】设点A（x，y），则点B（-x，-y），
∴xy=m，
∴AC=2y，BC=2x，
∴S△ABC=12AC·BC=12·2y·2x=2xy=2m，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．
题型05 两点和原点
【例5】（2023·辽宁营口·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxx>0的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．则k的值是( )

A．12B．10C．8D．24
【答案】D
【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M6，k6，Nk6，6，根据三角形的面积列方程得到M、N的坐标，然后利用待定系数法确定函数解析式．
【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M6，k6，Nk6，6，
∴BN=6−k6，BM=6−k6，
∵△OMN的面积为10，
∴6×6−12×6×k6−12×6×k6−12×6−k62=10，
∴k=24（负值已舍），
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，由三角形的面积公式列出方程并解答是解题的关键．
【变式5-1】（2023·福建宁德·统考一模）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kxx<0的图象交于C，D两点，连接OC，OD． 若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是（ ）
A．−2B．−3C．−4D．−6
【答案】C
【分析】先证S△AOC=S△BOD，再根据△AOC和△COD的面积都为3，得到S△AOC=S△BOD=S△COD，得到AC=CD=BD，作CE⊥y轴于H，再证得△ACE∼△ABO，根据相似三角形的性质得到k2=2，即可解得．
【详解】∵直线l与反比例函数y=kxx<0相交并与x，y轴分别交于A，B两点，
∴AC=BD，
作OH⊥AB，
∵AC=BD，△BOD=12BD⋅OH，△AOC=12AC⋅OH，
∴S△AOC=S△BOD=3，
∵△AOC和△COD的面积都为3，
∴S△AOC=S△BOD=S△COD=3，
∴AC=CD=BD，
作CE⊥y轴于H，
∵CE∥BO，∠ACE=∠ABO，
∴△ACE∼△ABO，
∴AEAO=ACAB=13，
∴AEOE=12，
∴S△ACES△OCE=12，
∴S△OCE=2，
∴k2=2，
∴k=4（舍去）k=−4．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【变式5-2】（2023·广东东莞·校考一模）如图，点A，C为函数y=kxx<0图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为34时，k的值为（ ）
A．−1B．−2C．−3D．−4
【答案】B
【分析】先根据中点定义得出S△ACE=S△AEO=34，在根据k的几何意义得S△ABO=S△CDO=12k，进而得出S四边形BECD=S△AEO=34，然后根据相似三角形的性质求出S△OCD，即可得出答案．
【详解】∵点E是CO的中点，
∴S△ACE=S△AEO=34．
∵点A，C在反比函数图象上，
∴S△ABO=S△CDO=12k，
∴S四边形BECD=S△AEO=34．
∵OEOC=12，BE∥CD，
∴△OBE∼△ODC，
∴S△OBES△OCD=14，
∴S△OCD=1，
则k=2．
∵反比例函数位于第二象限，
∴k=−2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，相似三角形的性质和判定，求三角形的面积等，确定各三角形面积之间的关系是解题的关键．
【变式5-3】（2021·河北唐山·统考一模）下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得M1,3，N3,1，根据直角坐标系的性质，对各个选项中阴影部分面积分别计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：M1,3，N3,1
选项A中，阴影部分面积=12×1×3+12×1×3=3
选项B中，阴影部分面积=12×1×3+12×1×3=3
选项C中，阴影部分面积=3×3−12×1×3−12×1×3−12×3−1×3−1=4
选项D中，阴影部分面积=12×1×3+3=3
故选：C．
【点睛】本题考查了直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握坐标的性质，从而完成求解．
【变式5-4】（2023·吉林长春·校考一模）如图，平面直角坐标系中，直线CD分别与x轴、y轴分别交于点D、C，点A、B为线段CD的三等分点，且A、B在反比例函数y=kxx>0,k>0的图象上，若△AOD的面积为12，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】作AM⊥x轴于M，设Am,km，则OM=m,AM=km，由题意可知OD=3m,然后利用三角形面积公式得到12OD⋅AM=12×3m×km=12，求得k=8．
【详解】作AM⊥x轴于M，则AM∥OA，
设Am,km，则OM=m,AM=km
∵AM∥OA，
∴△DAM∼△DCO，
∵点A、B为线段CD的三等分点，
∴DMOD=DADC=23，
∴OD=3OM=3m
∵S△AOD=12，
∴12OD⋅AM=12×3m×km=12，
∴k=8，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，三角形面积，表示出A的坐标以及OD的长是解题的关键．
【变式5-5】（2023·浙江温州·统考一模）如图，点A，B在x轴的正半轴上，以AB为边向上作矩形ABCD，过点D的反比例函数y=kx的图象经过BC的中点E．若△CDE的面积为1，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据题意设点E坐标为a,ka，则Ca,2ka，根据△CDE的面积为1，，得到12CD⋅CE=12⋅a2⋅ka=1，解得k=4．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，E为BC的中点，
∴AD=BC，∠C=90°，
设Ea,ka，则Ca,2ka，CE=yC−yE=ka，
∴yC=yD=2ka，则xD=kyD=a2，
∴CD=xC−xD=a2，
∵△CDE的面积为1，即：12CD⋅CE=12⋅a2⋅ka=1，
∴k=4，
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据题意设点E坐标为a,ka，然后表示其他点坐标及线段长度是解题的关键．
【变式5-6】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，矩形OABC，双曲线y=kx(x>0)分别交AB、BC于F、E两点，已知OA=4，OC=3，且S△BEF=278，则k的值为（ ）
A．2B．94C．3D．6
【答案】C
【分析】设F点的坐标为4,m，可求得点E的坐标为43m,3，根据三角形面积公式得到S△BEF=123−m4−43m=278，解得m的值，即可求得F点的坐标，据此即可求得．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，
∴设F点坐标为4,m，点E的纵坐标为3，
∴4m=3x，解得x=43m，
∴E点坐标为43m,3，
则S△BEF=123−m4−43m=278，
整理得：m−32=8116，
解得m=34或m=214(不合题意，舍去)，
∴F4,34，
∵双曲线y=kx(x>0)分别交AB、BC于F、E两点，
∴k=4×34=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式和矩形的性质，利用面积求得点的坐标是解题的关键．
题型06 两曲一平行
【例6】（2023·河南周口·统考二模）如图，过反比例函数y=2x(x>0)的图象上一点A作AB⊥y轴交反比例函数y=kx(x<0)的图象于点B，连接OA，OB，若S△OAB=4，则k的值为（ ）
A．8B．6C．−8D．−6
【答案】D
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△BOC，进而求出k的值即可．
【详解】解：记AB与x轴的交点为C，
∵点A在反比例函数y=2x(x>0)的图象上，且AB⊥y轴，

∴S△AOC=12×|2|=1，
∵S△AOB=4，
∴S△BOC=4−1=3，
∴12|k|=3，
根据图象可知：k<0，
∴k=−6，
故选：D．
【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
【变式6-1】（2023·青海西宁·统考二模）如图，点A在反比例函数y=6x的图象上，点B在反比例函数y=kx的图象上，点C,D在x轴上．若四边形ABCD是正方形，且面积为9，则k的值为（ ）

A．11B．15C．−11D．−15
【答案】B
【分析】根据正方形性质求出A、B纵坐标，利用图形即可求出B横坐标，最后将点B代入反比例函数中即可求出答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且面积为9，
∴AB=AD=BC=3，
∴A的纵坐标为3，B的纵坐标为3.
∵点A在反比例函数y=6x的图象上，
∴A的横坐标为：xA=63=2，
∴B的横坐标为：2+3=5.
∴B5,3.
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3×5=15.
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键.
【变式6-2】（2023·辽宁铁岭·校考二模）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=3xx>0的图象上，点A在反比例函数y=kxx>0的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=（ ）

A．−4B．−5C．−6D．−7
【答案】A
【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到k+3=7，进而即可求得k的值．
【详解】解：连接OB，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD=12k，S△BOD=12×3=32，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=12k+32，
∴S平行四边形OABC=2S△AOB=k+3，
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴k+3=7，即k=4，
∵在第四象限，
∴k=−4，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|是解答此题的关键．
【变式6-3】（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点P作反比例函数y=k1x(x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）

A．k1+k2B．k1−k2C．k1k2D．k2−k1
【答案】B
【分析】根据题意得k1>k2>0，S矩形OCPD=k1，S△AOC=S△DBO=12k2，即可得四边形PAOB的面积．
【详解】解：∵点P在反比例函数y=k1x(x>0)的图象上，PC⊥x轴于点C，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交反比例函数y=k2x(x>0)的图象于点B，
∴k1>k2>0，
S矩形OCPD=k1，
S△AOC=S△DBO=12k2，
∴四边形PAOB的面积为：S矩形OCPD−S△AOC−S△DBO=k1−12k2−12k2=k1−k2，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意义．
【变式6-4】（2021·贵州铜仁·校考一模）如图，点A是反比例函数y1＝1x（x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2=kx（x＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为1，则k的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】延长BA，与y轴交于点C，由AB与x轴平行，得到BC垂直于y轴，利用反比例函数k的几何意义表示出三角形AOC与三角形BOC面积，由三角形BOC面积减去三角形AOC面积表示出三角形AOB面积，将已知三角形AOB面积代入求出k的值即可．
【详解】解：延长BA，与y轴交于点C，
∵AB//x轴，
∴BC⊥y轴，
∵A是反比例函数y1＝1x（x＞0）图象上一点，B为反比例函数y2＝kx（x＞0）的图象上的点，
∴S△AOC＝12，S△BOC＝k2，
∵S△AOB＝1，即k2−12=1，
解得：k＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．
【变式6-5】（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3B．-3C．32D．−32
【答案】B
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴S△OAM=S△OCN=12k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
【变式6-6】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=−3xx<0和y=6xx>0的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为（ ）

A．1,3B．2,3C．2,2D．3,2
【答案】B
【分析】设AD与y轴交于点P，由反比例函数中k的几何意义可知S正方形ABCD=S矩形ABOP+S矩形DCOP=3+6=9从而可求出yD=3．再将yD=3代入y=6xx>0，可求得 x=2，即D2,3．
【详解】解：如图，设AD与y轴交于点P，

∵正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=−3xx<0和y=6xx>0的图象上，点B，C在x轴上，
∴S矩形ABOP=|−3|=3，S矩形DCOP=6=6，
∴S正方形ABCD=S矩形ABOP+S矩形DCOP=3+6=9．
∴正方形的边长为3，即CD=3，
∴yD=3．
将yD=3代入y=6x，得
3=6x，
解得：x=2，
∴D2,3．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数y=kxk≠0图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k是解题关键．
【变式6-7】（2023·山西临汾·统考二模）如图，点A在反比例函数y=3x(x<0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB∥x轴，BC=2AC，D是x正半轴上一点，连接AD，BD，则△ABD的面积为（ ）

A．3B．72C．92D．52
【答案】C
【分析】过A作AE⊥x轴交x轴于E，过B作BF⊥x轴交x轴于F，可求S矩形ACOE=3，从而可求S矩形OCBF=6，可得AB⋅AE=9，即可求解．
【详解】解：如图，过A作AE⊥x轴交x轴于E，过B作BF⊥x轴交x轴于F，

∴S矩形ACOE=3，
∵BC=2AC，
∴S矩形OCBF=2S矩形ACOE=6，
∴AB⋅AE=9，
∴S△ABD=12AB⋅AE=92．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，理解k的几何意义是解题的关键．
【变式6-8】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，点B在反比例函数y=−5xx<0的图象上，点C在反比例函数y=3xx>0的图象上，BC∥x轴，且A为x轴上任一点．则△ABC的面积为（ ）

A．3.5B．4C．5.5D．6
【答案】B
【分析】连接OB、OC，根据k的几何意义，结合平行线的性质求解即可.
【详解】解：连接OB、OC，设BC与y轴交于点D，
∵BC∥x轴，
∴S△OBD=12×−5=2.5,S△OCD=12×3=1.5，
∴S△ABC=S△OBC=S△OBD+S△OCD=2.5+1.5=4，
故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，理解k的几何意义并正确运用是解题的关键.
【变式6-9】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是函数y=6xx>0图象上的一个动点，过点P作PQ⊥y轴交函数y=−2xx<0的图象于点Q，点M、N在x轴上(M在N的左侧，且MN=PQ，连接QM、PN，这关于四边形PQMN的面积的结论正确的是（ ）
A．8B．12
C．24D．四边形PQMN的面积无法确定
【答案】A
【分析】先证得四边形PQMN是平行四边形，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△POQ=S△POD+S△QOD=4，即可利用S△POQ=12S平行四边形PQMN即可求解．
【详解】解：连接OQ、OP，
∵点P是函数y=6xx>0图象上的一个动点，过点P作PQ⊥y轴于D，交函数y=−2xx<0的图象于点Q，
∴PQ∥MN，
∵MN=PQ，
∴四边形PQMN是平行四边形，
∴S△POQ=12S平行四边形PQMN，
∴PQ∥x轴，
∴S△POD=12×6=3，S△QOD=12×|−2|=1，
∴S△POQ=S△POD+S△QOD=4，
∴四边形PQMN的面积为8，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
【变式6-10】（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，点P是函数y=k1xk1>0,x>0的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y=k2xk2>0,x>0的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1>k2，下列结论：①CD//AB；②S△OCD=k1−k22；③S△DCP=k1−k222k1，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①
【答案】B
【分析】设P（m，k1m），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断PDPB和PCPA的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用S△OCD=SOAPB−S△OBD−S△OCA−S△DPC计算△OCD的面积，可判断②．
【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在y=k1x上，点C，D在y=k2x上，
设P（m，k1m），
则C（m，k2m），A（m，0），B（0，k1m），令k1m=k2x，
则x=k2mk1，即D（k2mk1，k1m），
∴PC=k1m−k2m=k1−k2m，PD=m−k2mk1=mk1−k2k1，
∵PDPB=mk1−k2k1m=k1−k2k1，PCPA=k1−k2mk1m=k1−k2k1，即PDPB=PCPA，
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBC，
∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积=12×PD×PC=12×mk1−k2k1×k1−k2m=k1−k222k1，故③正确；
S△OCD=SOAPB−S△OBD−S△OCA−S△DPC
=k1−12k2−12k2−k1−k222k1
=k1−k2−k1−k222k1
=2k1k1−k22k1−k1−k222k1
=2k12−2k1k2−k1−k222k1
=k12−k222k1，故②错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．
【变式6-11】（2021·全国·九年级专题练习）如图，点C在反比例函数y=1x的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y=3x的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y=3x的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为 ．
【答案】4
【分析】设A（a，3a），则C（a，1a），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO＝S梯形ABED，即可求得结果．
【详解】解：设A（a，3a），则C（a，1a），
∵CA＝2，
∴3a−1a＝2，
解得a＝1，
∴A（1，3），C（1，1），
∴B（3，1），
作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，
∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE=32，
∴S△ABO＝S梯形ABED=12（1＋3）（3﹣1）＝4；
故答案为：4.
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积，得出S△ABO=S梯形ABED是解题的关键．
【变式6-12】（2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，点A(a,2)在反比例函数y=4x的图象上，AB//x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y=kx于点B，已知AC=2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y=kx的解析式；
（3）点D为反比例函数y=kx上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
【答案】（1）y=x；（2）y=−2x；（3）3.
【分析】（1）先求解A的坐标，再把A的坐标代入正比例函数y=mx，解方程即可得到答案；
（2）利用AC=2BC, 先求解B的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设D(n,−2n), 而A(2,2),E为AD的中点，利用中点坐标公式求解D,E的坐标，再利用S△OAD=S△ODE+S△OAE=12OE(|xA|+|xD|)，计算即可得到答案.
【详解】解：（1）∵ 点A(a,2)在反比例函数y=4x的图象上，
∴2a=4,a=2, 则A(2,2),
∴AC=2,
设直线AO为：y=mx,
∴2m=2, 则m=1,
所以直线AO为：y=x,
（2）∵ AB//x轴， AC=2BC=2．
∴BC=1,
∴B(−1,2),
∴k=xy=−1×2=−2,
所以反比例函数为：y=−2x.
（3）设D(n,−2n), 而A(2,2),E为AD的中点，
∴xE=12(2+n)=0,
∴n=−2,
∴D(−2,1),E(0,32),
∴S△OAD=S△ODE+S△OAE=12OE(|xA|+|xD|)
=12×32×(2+2)=3.
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.
考点四 反比例函数与一次函数综合
1.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
1. 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合
【例1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）若k1<0A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由参数值，判断函数图象所在的象限：k>0时，y=kx,y=kx图象在第一，三象限；k<0时，y=kx,y=kx图象在第二，四象限，判断求解．
【详解】解：∵k1<0∴y=k1x在第二，四象限，y=k2x在第一，三象限．
故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数，反比例函数的图象，掌握函数图象的特征是解题的关键．
【变式1-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知反比例函数y=bx（b为常数），当x>0时，y随x的增大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性可知b<0，根据一次函数图象与系数的关系可得一次函数y=x+b的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，由此即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数y=bx（b为常数），当x>0时，y随x的增大而增大，
∴b<0，
∴一次函数y=x+b的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与其系数之间的关系，反比例函数与其系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数y=kxk≠0的性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大； 对于一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，当k>0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第一、三、四象限， 当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，当k<0，b<0时，一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键．
【变式1-2】（2023·湖南邵阳·统考二模）若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax−b与反比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∴−b<0
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴直线y=ax−b经过第一，三，四象限，反比例函数y=cx图象分布在第二、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
【变式1-3】（2023·广东广州·统考二模）已知反比例函数y=k−bxk−b≠0的函数值在每一象限内y随x的增大而减小，且k=b，则一次函数y=kx＋b的图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、四B．一、二、三C．一、三、四D．二、三、四
【答案】C
【分析】根据反比例函数y=k−bxk−b≠0的函数值在每一象限内y随x的增大而减小得到k−b>0，结合k=b得到k>0，b<0，结合一次函数的性质即可得到答案；
【详解】解：∵反比例函数y=k−bxk−b≠0的函数值在每一象限内y随x的增大而减小，
∴k−b>0，
∵k=b，
∴k>0，b<0，
∴一次函数y=kx＋b的图象经过一、三、四象限，
故选C；
【点睛】本题考查反比例函数的性质与一次函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的性质得到k>0，b<0．
题型02 一次函数与反比例函数交点问题
【例2】（2023·浙江·模拟预测）若函数y=kxk>0与函数y=1x的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．kD．k2
【答案】A
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S△ABC=2S△AOB=12|k|.
【详解】解：如图：

设点A的坐标为(x,y)，则xy=1，
故△ABO的面积为12xy=12，
∵△ABO与△CBO同底等高，
∴S△ABC=2S△ABO=1，
故选：A．
【点睛】主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12k．
【变式2-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，函数y=3x与y=x+1的图象交于点(m,n)，则代数式m−n2⋅1n−1m 的值为( )
A．3B．−3C．13D．−13
【答案】D
【分析】把点 m,n 分别代入 y=3x 与 y=x+1 中， 得 mn=3,n=m+1， 进而求解即可．
【详解】解：∵函数y=3x与y=x+1的图象交于点(m,n)，
∴mn=3，n=m+1，
∴m−n=−1，
1n−1m=m−nmn=−13=−13，
∴m−n2⋅1n−1m
=−12×−13
=−13．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
【变式2-2】（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图，函数y=−6xx<0和y=kx−1k≠0的图象相交于点Am，3，则关于x的不等式1−6x>kx的解集为（ ）

A．x<−2 B．x>3C．−2−2
【答案】C
【分析】确定交点A的坐标，再根据函数图象进行判断即可．
【详解】解：∵函数y=−6xx<0过点Am，3，
∴m=−2，
∴点A−2，3，
又∵y=kx−1的图象过点A−2，3，
由图象可知，关于x的不等式1−6x>kx的解集，即−6x>kx−1的解集为−2故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点坐标，求出交点坐标，采用数形结合的思想是解题的关键．
【变式2-3】（2023·青海海西·校考一模）如图，已知A−4,12,B−1,2是一次函数y1=kx+bk≠0与反比例函数y2=mx m≠0,x<0图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，若y1>y2，则x的取值范围是（ ）

A．x<−4 B．−4C．x<−4或x>−1D．x<−1
【答案】B
【分析】找到直线在双曲线上方时，自变量的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，y1>y2时，x的取值范围是−4故选B．
【点睛】本题考查图象法解不等式，解题的关键是根据图象的交点，确定自变量的取值范围．
【变式2-4】（2022上·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A(1,2),B(m,−1)．则关于x的不等式ax+b>kx的解集是（ ）

A．x<−2或0C．−21D．−12
【答案】C
【分析】将A(1,2)代入y=kx，得，2=k1，解得k=2，则y=2x，将B(m,−1)代入y=2x得，−1=2m，解得m=−2，即B(−2,−1)，根据不等式ax+b>kx的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的x的取值范围，进行求解即可．
【详解】解：将A(1,2)代入y=kx，得，2=k1，解得k=2，
∴y=2x，
将B(m,−1)代入y=2x得，−1=2m，解得m=−2，
∴B(−2,−1)，
由图象知，不等式ax+b>kx的解集是−21，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，图象法解不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式2-5】（2023·广东广州·校考一模）如图，反比例函数y=mx的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为2，3，点B的坐标为n，1．

(1)求反比例函数与一次函数表达式；
(2)结合图象，直接写出不等式mx【答案】(1)y=6x，y=−12x+4；
(2)2【分析】本题为一次函数与反比例函数的综合题．
（1）把A2，3代入y=mx，可求得m的值，得到反比例函数的解析式，再把Bn，1代入反比例函数的解析式，得n的值，把点A、B的坐标代入直线y=kx+b得出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；
（2）观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象下方时所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：把A2，3代入y=mx得m=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
把Bn，1代入y=6x得n=6，则B6，1，
把A2，3，Bn，1代入y=kx+b得2k+b=36k+b=1，解得k=−12b=4，
∴一次函数解析式为y=−12x+4；
（2）解：求不等式mx根据两函数图象交点可知，当2∴不等式mx【变式2-6】（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）已知：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=8x的图象交于点A(4,n)和B(m,1)．

(1)求一次函数的表达式；
(2)将直线AB沿y轴负方向平移a个单位，平移后的直线与反比例函数图象y=8x恰好只有一个交点，求a的值．
【答案】(1)y=−14x+3
(2)3±22
【分析】（1）将点 A(4,n)和 B(m,1)代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，确定点A、B坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图象的解析式，然后根据方程的根的判别式即可求得 a值．
【详解】（1）解：∵点A(4,n)和B(m,1)是反比例函数y=8x的图象上的点，
∴n=84，1=8m，
解得n=2，m=8，
∴A(4,2)，B(8,1)，
∵A(4,2)，B(8,1)在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，
∴4k+b=28k+b=1，解得k=−14b=3，
所以，一次函数的表达式是y=−14x+3；
（2）将直线AB沿y轴负方向平移a个单位，可得y=−14x+3−a，
联立y=−14x+3−ay=8x，
消去y可得8x=−14x+3−a，
整理可得x2−4(3−a)x+32=0，
因为只有一个交点，
所以Δ=16(3−a)2−4×1×32=0，
解得a=3±22，
所以，将直线AB沿y轴负方向平移3±22个单位长度，平移后的直线与反比例函数图象y=8x恰好只有一个交点．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移问题、一元二次方程的应用等知识，综合运用相关知识是解此题的关键．
【变式2-7】（2023·广东阳江·统考三模）如图，点A是反比例函数y=kx的图象上一点，延长AO交该图象于点B，AC⊥x轴，BC⊥y轴，若C3,−4．

(1)求Rt△ACB的面积．
(2)求经过AB两点的直线y=k'x，并直接写出k'x>kx时x的取值范围．
【答案】(1)24
(2)−33
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质综合题，待定系数法求解析式，
（1）首先根据题意得到A3,k3，B−k4,−4，然后证明出A、B两点关于原点对称，得到3=k4，求出k=12，进而得到A3,4，B−3,−4，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）利用待定系数法求出经过AB两点的直线y=k'x，然后利用图象即可求出k'x>kx时x的取值范围．
解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式．
【详解】（1）∵点A、B是反比例函数y=kx的图象上一点，AC⊥x轴，BC⊥y轴，C3,−4
∴A3,k3，B−k4,−4
∵AB经过原点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴3=k4，
∴k=12，
∴A3,4，B−3,−4，
∴AC=8，BC=6，
∴Rt△ACB的面积=12AC⋅BC=12×8×6=24；
（2）∵A3,4，
∴将A3,4代入y=k'x得，4=3k'
解得k'=43
∴经过AB两点的直线y=43x；
由图象可得，
当−33时，k'x>kx．
题型03 一次函数与反比例函数综合应用
【例3】（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，−2，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数y=2x，当y<−1时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝12S△ODA，请求出点P的坐标．
【答案】(1)y=x+1
(2)−2(3)−2,−2或−1−3,1−3
【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积．
（1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为1,2，−2,−1，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
（2）当y<−1时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为−2（3）先求出△ODP的面积为1，从而确定△BDP的面积为12，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为x,2x，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2；
∴A1,2，B−2,−1；
把A、B的坐标代入y=kx+b得k+b=2−2k+b=−1；
解得k=1b=1；
∴一次函数的解析式为y=x+1．
（2）∵B−2,−1；
由图象可知，当−2（3）∵一次函数为y=x+1；
∴D−1,0；
∵A1,2，
∴S△ODA=12×2×1；
∴S△BDP=12S△ODA=12，
设点P的坐标为： x,2x，x<0；
∴ON=−x，PN=−2x；
当P在直线下方时，如图1，则；
S△BDP=S梯形BMNP+S△BDM−S△PDN=121−2x2+x+12−x−1−2x−122−1×1=12；
解得x=−2；
∴点P−2,−2．
当P在直线AB的上方时，如图2，则；
S△BDF=S梯形BMNP+S△BDM−S△PDN=121−2x−x−2+122−1×1−12−x−1−x2=12；
解得x=−1−3；
∴点P−1−3,1−3；
综上可得：点P的坐标为：−2,−2 或 −1−3,1−3 ．
【变式3-1】（2023·广东云浮·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA=2，OC=4，连接OB．反比例函数y=k1x(x>0)的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点B、F．一次函数y=k2x+b的图象经过E、F两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为y=−12x+52，反比例函数表达式为y=2x
(2)175,0
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D(2,1)，从而可得反比例函数表达式；再求出点E、F坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．求出直线E'F的解析式后令y=0，即可得到点P坐标．
【详解】（1）解： ∵四边形OABC为矩形，OA=BC=2，OC=4，
∴B(4,2)．
由中点坐标公式可得点D坐标为(2,1)，
∵反比例函数y=k1x(x>0)的图象经过线段OB的中点D，
∴k1=xy=2×1=2，
故反比例函数表达式为y=2x．
令y=2，则x=1；令x=4，则y=12．
故点E坐标为(1,2)，F(4,12)．
设直线EF的解析式为y=k2x+b，代入E、F坐标得：2=k2+b12=4k2+b，
解得：k2=−12b=52，
故一次函数的解析式为y=−12x+52．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'(1,−2)，
设直线E'F的解析式为y=mx+n，代入点E'、F坐标，得：−2=m+n12=4m+n，
解得：m=56n=−176．
则直线E'F的解析式为y=56x−176，
令y=0，则x=175．
∴点P坐标为(175，0)．
故答案为：(175，0)．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．
【变式3-2】（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为1,0，点D4,4在反比例函数y=kxx>0的图象上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接AC、AE．
(1)求k、b的值；
(2)求△ACE的面积；
(3)在x轴上取点P，求出使PC−PE取得最大值时点P的坐标．
【答案】(1)k的值为16，b的值为−2；
(2)△ACE的面积为6
(3)点P的坐标为−9,0
【分析】（1）将点D4,4代入反比例函数y=kxx>0，利用待定系数法即可求出k的值；根据坐标两点的公式，求得AD=5，再根据菱形的性质，得到CD=5，CD∥AB，进而得到C9,4，将C9,4代入y=23x+b，利用待定系数法即可求出b的值；
（2）先求出直线CE与坐标轴的交点坐标E0,−2和M3,0，再求出 S△AMC=4，S△AME=2，即可得到△ACE的面积；
（3）作E0,−2关于x轴的的对称点E'0,2，连接PE'，连接CE'并延长交x轴于P'，连接P'E，根据坐标两点的公式，求得85，再根据轴对称的性质，得到PE=PE'，进而得到PC−PE=PC−PE'，即当P、E'、C不构成三角形，即P、E'、C共线时，PC−PE取最大值85，此时P与P'重合，利用待定系数法求出直线CE'的解析式为y=29x+2，令y=0，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵点D4,4在反比例函数y=kxx>0的图象上，
∴4=k4，
解得：k=16；
∵点A的坐标为1,0，点D的坐标为4,4，
∴AD=4−12+4−02=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=5，CD∥AB，
∴CD∥x轴，
∴C9,4，
将C9,4代入y=23x+b，得：4=23×9+b，
解得：b=−2，
∴k的值为16，b的值为−2；
（2）解：由（1）知，直线CE解析式为y=23x−2，
令x=0，则y=−2，令y=0，则23x−2=0，解得：x=3，
∴E0,−2，M3,0，
∴OM=3，
∵点A的坐标为1,0，
∴OA=1，
∴AM=OM−OA=3−1=2，
∴S△AMC=12AM⋅yC=12×2×4=4，S△AME=12AM⋅yE=12×2×2=2，
∴S△ACE=S△AMC+S△AME=4+2=6；
∴△ACE的面积为6；
（3）解：如图，作E0,−2关于x轴的的对称点E'0,2，连接PE'，连接CE'并延长交x轴于P'，连接P'E，
∵C9,4，E'0,2，
∴CE'=9−02+4−22=85，
∵E、E'关于x轴对称，
∴PE=PE'，
∴PC−PE=PC−PE'，
当P、E'、C构成三角形时，PC−PE'∴当P、E'、C不构成三角形，即P、E'、C共线时，PC−PE取最大值85，此时P与P'重合，
设直线CE'的解析式为y=kx+c，
∴4=9k+c2=c，解得：k=29c=2，
∴直线CE'的解析式为y=29x+2，
令y=0，则29x+2=0，解得：x=−9，
∴P'−9,0，
∴PC−PE取得最大值时，点P的坐标为−9,0．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代行系数法求函数解析式，坐标两点的公式，菱形的性质，三角形面积问题，轴对称的性质等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
【变式3-3】（2023·四川成都·成都七中校考三模）直线l1：y=−x＋4与y轴交于点C，反比例函数y=ax的图象交于点Am,3、B．

(1)求a的值及B的坐标；
(2)在x轴上存在点D，使S△ACD=32S△AOC，求点D的坐标；
(3)如图2，将反比例函数y=ax的图象沿直线l1：y=−x+4翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线l2：y=kx+4与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．
【答案】(1)a=3；B3,1
(2)点D的坐标为10,0或−2,0
(3)−43≤k≤−34
【分析】（1）先将点A坐标代入一次函数，求点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数，求得a的值，再列方程求得点B的坐标即可解答；
（2）求出32S△AOC和AC的长，再利用三角函数求得点D到AC的距离，利用三角形面积公式即可列方程，解答；
（3）求出直线l2：y=kx+4与反比例函数y=ax，只有一个交点时的k值和交点坐标，利用轴对称的性质，求得该交点坐标在翻折后的对应点坐标，则直线l2：y=kx+4经过该对应点坐标时，与反比例函数y=ax翻折后的解析式也只有一个交点，求出此时的k值，即可得到k的取值范围．
【详解】（1）解：Am,3代入y=−x+4，可得3=−m+4，
解得m=1，
∴A1,3，
将A1,3代入y=ax，可得3=a1，
解得a=3，
∴反比例函数的解析式为y=3x，
列方程−x+4=3x，
解得x1=1，x2=3，
经检验，x1=1，x2=3是方程的解，
当x=3时，y=−3+4=1，
∴B3,1；
（2）解：如图，画出图形，过点D作CA的垂线段DE交于点E，

当y=0时，得0=−x＋4，解得x=4，
当x=0时，得y=4，
∴C0,4,F4,0，
∴CO=DF，
∴∠EFD=45°，
设Dn,0，
故DE=22DF=22n−4，
AC=1−02+3−42=2，
∴S△ACD=12⋅AC⋅DE=12n−4，
∵32S△AOC=32×12×4×1=3，
可得方程12n−4=3，
解得n1=10，n2=−2，
∴点D的坐标为10,0或−2,0；
（3）解：列方程kx＋4=3x，
整理得kx2+4x−3=0，
当y=kx＋4和y=3x，只有一个交点时，kx2+4x−3=0只有一个解，
此时b2−4ac=0，
即42−4×−3×k=0，
解得k=−43，
当k=−43时，方程为−43x2+4x−3=0，
解得x=32，
∴y=kx＋4和y=3x的交点为32,2，
如图，设y=kx+4和y=3x的交点为D32,2，设y=kx+4与反比例函数y=ax的图象沿直线l1：y=−x+4翻折后的函数的交点为F，连接DF交CB于点N，过点F作x轴的平行线交CB于点M，连接MD，

故DF⊥CB，MD=MF，∠DMN=∠FMN，
当y=0时，可得0=−x+4，解得x=4，
∴G4,0，
∴OC=OG，
∴∠OGC=45°，
∵FM∥OG，
∴∠FMN=∠OGC=45°，
∴∠DMN=45°，
∴∠DMF=2∠DMN=90°，
∴点M的横坐标为32，
当x=32时，可得y=−32+4=52，
∴M32,52，
∴MF=MD=52−2=12，
∴F2,52
将F2,52代入y=kx+4，可得52=2k+4，解得k=−34，
∴满足条件的k的取值范围为−43≤k≤−34．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，根据一元二次方程根的情况求系数，轴对称，解直角三角形，正确求出反比例函数，充分利用数形结合的思想是解题的关键．
考点五 反比例函数的实际应用
用反比例函数解决实际问题的步骤：
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
【易错点】
1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
题型01 行程问题
【例1】（2020·浙江杭州·统考一模）某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题：
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式；
（2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围．
【答案】（1）S＝60b；（2）0.1＜a≤0.17．
【分析】（1）利用路程＝总容积÷平均油耗，即可得出函数关系式；
（2）分别得出往返需要的油量进而得出答案．
【详解】解：（1）汽车能够行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）之间的函数关系为：S＝60b；
（2）去省城的耗油量＝200×0.1＝20（L），
设返回时的平均油耗量为a L/km，
∵20+200a≤60﹣6，且a＞0.1，
∴0.1＜a≤0.17．
答：平均耗油量的范围是0.1＜a≤0.17．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
【变式1-1】（2020·浙江杭州·统考模拟预测）五一黄金周，小张一家自驾去某景点旅行．已知汽车油箱的容积为50L，小张爸爸把油箱加满油后到了离加油站200km的某景点，第二天沿原路返回．
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位L/km）的函数关系式；
（2）小张爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶到达目的地，返程时由于下雨，降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小张爸爸始终以此速度行驶，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少还需加多少油？
【答案】（1）y＝50x（x＞0）；（2）不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油．
【分析】（1）由题意直接根据耗油量×行驶里程=50升列出函数关系式即可；
（2）根据题意分别求得每千米耗油0.1升的速度的耗油量和0.2升的耗油量，与50比较即可得到答案．
【详解】解：（1）∵耗油量×行驶里程＝50升；
∴xy＝50，
∴y＝50x（x＞0）；
（2）去时耗油：200×0.1＝20L，
返回时耗油：200×0.2＝40L，
20L+40L＝60L＞50L，
答：不加油不能返回原加油站．至少还需加10L油．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是从纷杂的实际问题中整理出反比例函数模型．
题型02 工程问题
【例2】（2022·浙江杭州·统考一模）某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．
(1)设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．
①求y关于t的函数表达式．
②若0(2)若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？
【答案】(1)①y=106t；②y≥12500
(2)125辆
【分析】（1）①由每天运送量和总量列出函数关系即可；②根据反比例函数的性质计算求值即可；
（2）结合（1）由每天要运送的量计算求值即可；
【详解】（1）解：①由题意得：y=106t，
②∵函数y=106t在0∴当x=80时，函数值最小，此时y=10680=12500，
∴y≥12500；
（2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米，
∴至少需要卡车：12500÷100=125辆；
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键．
【变式2-1】（2020·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂2018年1月的利润为200万元．设2018年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2018年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．

（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式．
（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平？
【答案】（1）当1≤x≤5时，y＝200x；当x≥5时，y＝20x−60；（2）8个月
【分析】（1）待定系数法可得反比例函数解析式，求得x＝5时的函数值y＝40，再根据“改造后月利润＝第5个月的利润＋20×超出的月份”可得答案；
（2）求出y＝20x−60中，y＝200时x的值即可得．
【详解】（1）当1≤x≤5时，设y＝kx，
将（1，200）代入，得：k＝200，
∴y＝200x；
当x＝5时，y＝2005＝40，
∴当x≥5时，y＝40＋20（x−5）＝20x−60；
（2）在y＝20x−60中，y＝200时，可得：20x−60＝200，
解得：x＝13，
∴治污改造工程完工后经过8个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用、一次函数的应用，正确求出一次函数、反比例函数的解析式是解题的关键．
题型03 物理问题
【例3】（2023·江苏盐城·校考三模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日 （星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．

第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率．
第四步，计算收集数据如下：
第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选）
A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；

(4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为．
【答案】(1)B
(2)P=36R
(3)图见详解
(4)0【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系；
（2）根据R与P的积是定值发现有问题的一组数据；
（3）将描出的点用光滑的曲线连接即可；
（4）根据p=U2R计算出R的取值范围．
【详解】（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选：B．
（2）通过前四组数据发现：R与P的积都是36定值，发现最后一组有问题；
P与R关系式是：P=36R，
（3）图象如图：
（4）当P>10W时，即36R>10，解得0【点睛】本题考查了反比例函数的具体应用，理解题意是这类题目的突破口．
【变式3-1】（2023·山西太原·统考二模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：

(1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______；
(2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；
(3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．
【答案】(1)0.7，P=9RR>0
(2)见解析
(3)当P大于6W，R的取值范围为0【分析】（1）根据P与R是反比例函数求解即可；
（2）利用描点法画出图象即可；
（3）观察图象，直接写出答案即可．
【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数，
其中15×0.7=10.5，0.7数据错误；
设P与R的函数解析式为P=kR，
把P=3，R=3代入得，3=k3，
解得，k=9，
P与R的函数解析式为P=9R，
故答案为：0.7，P=9R．
（2）解：P关于R的函数图象如图：

（3）解：当P=6，R=1.5，结合图象，P大于6W时R的取值范围是0【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是根据表格数据确定两个变量成反比例，求出函数解析式．
【变式3-2】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】(1)y=12x
(2)4cm
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把y=3代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
【详解】（1）由题意设y=kx，
把x=6，y=2代入，得k=6×2=12．
∴y关于x的函数解析式为y=12x．
（2）把y=3代入y=12x，得x=4．
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．
【变式3-3】（2022·山东青岛·统考一模）某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1与踏板上人的质量m之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻R0的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，然后把U0代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量m，
知识小链接：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=UR；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求可变电阻R1与人的质量m之间的函数关系；
(2)用含U0的代数式表示m；
(3)当电压表显示的读数U0为0.75伏时，求人的质量m．
【答案】(1)R1=−2m+260
(2)m=150−60U0
(3)70
【分析】（1）设可变电阻R1与人的质量m之间的函数关系为R1=km+b(k≠0)，直接用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得，3−U0R1=U0R0，再结合（1）的解析式，求解即可；
（3）将U0=0.75代入m=150−60U0，计算即可．
【详解】（1）解：设可变电阻R1与人的质量m之间的函数关系为R1=km+b(k≠0)，
把（0，260），（130，0）代入R1=km+b(k≠0)得，
260=b0=130k+b，
解得k=−2b=260，
∴可变电阻R1与人的质量m之间的函数关系为R1=−2m+260；
（2）由题意得，可变电阻两端的电压之和=电源电压-电表电压，
即可变电阻两端的电压之和=3−U0，
∵I=UR，串联电路中电流处处相等，
∴3−U0R1=U0R0，
∵定值电阻R0的阻值为40欧，R1=−2m+260，
∴3−U0−2m+260=U040，
整理得 m=150−60U0；
（3）当U0=0.75时，
m=150−600.75=150−80=70.
【点睛】本题以物理中的电路问题为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式即代入求值，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式3-4】（2022上·河北邢台·九年级统考期末）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)的关系如下表所示(与长方体A相同重量的长方体均满足此关系)．
(1)根据数据，求桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数表达式及a的值；
(2)现想将另一长、宽、高分别为0.2m，0.1m，0.3m，且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由，
【答案】(1)P=200S，0.25
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【详解】（1）解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设压强P(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式为P=kS，
把(400，0.5)代入得：400=k0.5，
解得：k=200，
∴压强P(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式为P=200S，
当P=800时，800=200a，
∴a=0.25；
（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02(m2)，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为P=2000.02=10000Pa，
∵10000>5000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
题型04 分段问题
【例4】（2021·四川乐山·统考中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】（1）20；（2）能，见解析
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出52x+20≥36(0≤x<10)，900x≥36(20【详解】解：（1）令反比例函数为y=kx(x>0)，由图可知点(20,45)在y=kx的图象上，
∴k=20×45=900，
∴y=900x．将x=45代入
将x=45代入得：
点A对应的指标值为90045=20．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(0,20)、B(10,45)代入y=kx+b中，
得b=2010k+b=45，解得b=20k=52．
∴直线AB的解析式为y=52x+20．
由题得52x+20≥36(0≤x<10)45>36(10≤x≤20)900x≥36(20∵25−325=935>17，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图象解决实际问题是中考的常考题型。
【变式4-1】（2022·江苏徐州·统考二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间x0≤x≤24的函数关系式；
(2)解释线段BC的实际意义；
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)y＝53x+100≤x<6206≤x<10200x10≤x≤24；
(2)线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
(3)恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【分析】（1）应用待定系数法分段求出函数解析式即可；
（2）根据函数图象结合题意回答即可；
（3）把y＝10代入y＝200x中，即可求得结论．
【详解】（1）解：设线段AB解析式为y＝k1x＋b（k1≠0），
∵线段AB过点（0，10），（3，15），
代入得b=103k1+b=15，解得：b=10k1=53，
∴线段AB的解析式为：y＝53x＋10（0≤x＜6），
∵B在线段AB上，当x＝6时，y＝20，
∴点B坐标为（6，20），
∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10），
设双曲线CD解析式为：y＝k2x（k2≠0），
∵C（10，20），
∴k2＝200，
∴双曲线CD的解析式为：y＝200x（10≤x≤24）；
∴y关于x的函数解析式为：y＝53x+100≤x<6206≤x<10200x10≤x≤24；
（2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；
（3）把y＝10代入y＝200x中，解得：x＝20，
∴20−10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害．
【点睛】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数和常数函数的关系式．解答时应注意临界点的应用．
【变式4-2】（2023·山东枣庄·统考一模）电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加415kΩ．
(1)当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
(2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
【答案】(1)y=60x
(2)12≤x≤4114
【分析】（1）设y与x之间的关系式为y=mx，把点10,6代入，即可求解；
（2）当x>30时，设y与x的关系式为y=kx+b，根据题意可得函数图象过点30,2，点31,2415，再代入，然后分别求出y=5时，两函数的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：当10≤x≤30时，设y与x之间的关系式为y=mx，
根据题意得：该函数图象过点10,6，
∴m=xy=10×6=60．
∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：y=60x；
（2）解：∵y=60x，
∴当x=30时，y=603=2．
根据题意得：该函数图象过点30,2，
∵温度每上升1℃，电阻增加415kΩ．
∴该函数图象过点31,2415，
∴30k+b=231k+b=2415，解得：k=415b=−6，
∴当x>30时，y与x的关系式为：y=415x−6；
对于y=60x当y=5时，x=12；
对于y=415x−6当y=5时，x=4114；
答：温度x取值范围是12≤x≤4114时，电阻不超过5kΩ．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键．
【变式4-3】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：
(1)求出表中当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式；
(2)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？
【答案】(1)m=12x+20
(2)基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠12252元
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设该基地第x天的利润为W，根据利润=（售价-成本）×数量列出W关于x的关系式，然后根据二次函数与反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式满足一次函数关系式，故可设当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式为m=kx+b，
∵20k+b=30b=20，
∴k=12b=20，
∴当1≤x≤20时，m与x间的函数关系式为m=12x+20；
（2）解：设该基地第x天的利润为W，
由题意得：W=12x+20−10−x+50=−12x2+15x+5001≤x≤2010+420x−10−x+50=21000x−42021≤x≤30，
当1≤x≤20时，W=−12x2+15x+500=−12x−152+12252，
∵−12<0，
∴当x=15时，W最大为12252；
当21≤x≤30时，
∵21000>0，
∴21000x随x增大而减小，即W随x增大而减小，
∴当x=21时，W最大为580，
∵12252>580，
∴基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠12252元．
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数的应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键．
题型05 几何问题
【例5】（2023·广东清远·统考三模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=kxx>0的图象与BC边交于点E．
(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时，△CEF的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)y=3xx>0，E32,2
(2)当k=3时，S最大值=34
【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质．
（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为3,1，由此代入求得函数解析式，把y=2代入解析式即可求得E坐标；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数、二次函数的性质是解本题的关键．
【详解】（1）解：在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B3,2，
∵F为AB的中点，
∴F3,1，
∵点F在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴k=3，
∴该函数的解析式为y=3xx>0，
把y=2代入y=3x，
得x=32，
∴E32,2；
（2）由题意知E，F两点坐标分别为Ek2,2，F3,k3，
∴S△EFC=12BF⋅CE=12×2−13k12k，
=12k−12k2
=−112k2−6k+9−9
=−112k−32+34，
在边AB上，不与A，B重合，即0解得0∴当k=3时，S有最大值，S最大值=34．
【变式5-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC=30°，BC=4，双曲线y=kx经过点A．

(1)求k；
(2)直线AC与双曲线y=−33x在第四象限交于点D．求△ABD的面积．
【答案】(1)k=3
(2)43
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由题意易得AC=2，∠ACB=60°，进而可得CE=1，AE=3，然后可得点A1,3，最后问题可求解；
（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为y=−3x+23，然后联立直线AC的解析式与反比例函数y=−33x，进而可得点D的坐标，最后利用铅锤法求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：

∵∠ABC=30°，BC=4，∠BAC=90°，
∴AC=12BC=2，∠ACB=60°，
∴∠EAC=30°，
∴EC=12AC=1，
∴在Rt△AEC中，AE=AC2−CE2=3，
∵点O是BC的中点，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴A1,3，
∴k=1×3=3；
（2）解：由（1）可得：A1,3，C2,0，
∴设直线AC的解析式为y=kx+b，
则把点A、C的坐标代入得：k+b=32k+b=0，
解得：k=−3b=23，
∴直线AC的解析式为y=−3x+23，
联立y=−3x+23与反比例函数y=−33x可得：−3x+23=−33x，
解得：x1=3,x2=−1（不符合题意，舍去），
∴点D3,−3，
∴S△ABD=S△ABC+S△BCD=12×4×3+3=43．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
【变式5-2】（2022·广东佛山·统考模拟预测）如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝kx（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
(1)若点A的坐标为(4,7)，求正方形ABCD的面积；
(2)如图（2），当k＝8时，求BD的长；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
【答案】(1)32
(2)4
(3)89≤x≤72
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED=90°．利用正方形的性质得AD=DC，∠ADC=90°，再根据等角的余角相等得到∠EDA=∠OCD，则利用“AAS”可判断△AED≌△DOC，从而得到OD=EA=4，于是确定点D的纵坐标为4，即可求出答案；
（2）作A'M⊥y轴于M，B'N⊥x轴于点N，设OD'=a，OC'=b，同理可得△B'C'N≌△C'D'O≌△D'A'M，利用全等的性质得C'N=OD'=A'M=a，B'N=C'O=D'M=b，则A'a,a+b，B'a+b,b，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a(a+b)=8，b(a+b)=8，解方程组求出a、b，从而得到D'、B'两点的坐标，即可求出答案；
（3）先利用待定系数法求出直线A'B'解析式为y=−x+6，直线C'D'解析式为y=−x+2，设点A的坐标为(m,2m)，则点D坐标为(0,m)，若当A点在直线C'D'上时，则2m=−m+2，解得m=23，可确定此时点A的坐标，从而得到此时k的值；当点D在直线A'B'上时，则m=6，同样可确定此时点A的坐标和k的值，所以可确定当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A'B'C'D'有重叠部分时k的取值范围．
【详解】（1）解：如图（1），过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED=90°，

∵点A的坐标为(4,8)，
∴AE=4，OE=8，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ODC+∠EDA=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠EDA=∠OCD，
在△AED和△DOC中，
∠AED=∠DOC∠EDA=∠OCDAD=DC，
∴△AED≌△DOCAAS，
∴DE=OC，OD=AE=4，
∴OC=DE=OE−OD=4，
根据勾股定理得，CD2=OC2+OD2=32，
∴正方形ABCD的面积为32；
（2）解：如图（2），过点A'作A'M⊥y轴于M，过点B'作B'N⊥x轴于点N，

设OD'=a，OC'=b，则D'(0,a)，
同（1）的方法得，△B'C'N≌△C'D'O≌△D'A'M AAS，
∴C'N=OD'=A'M=a，B'N=C'O=D'M=b，
∴A'a,a+b，B'a+b,b，
∵点A'、B'在反比例函数y=8x的图象上，
∴a(a+b)=b(a+b)=8，
∴a=b=2或a=b=−2（舍去），
∴B'的坐标为(4,2)，D'0,2，
∴B'D'=(4−0)2+(2−2)2=4，
即B'D'的长为4；
（3）解：设直线A'B'的解析式为y=mx+n，
把A'2,4，B'4,2代入得
2m+n=44m+n=2，
解得m=−1n=6，
∴直线A'B'解析式为y=−x+6，
同样可求得直线C'D'解析式为y=−x+2，
由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为(m,2m)，点D坐标为(0,m)，
当A点在直线C'D'上时，则2m=−m+2，解得m=23，
此时点A的坐标为(23,43)，
∴k=23×43=89；
当点D在直线A'B'上时，有m=6，此时点A的坐标为(6,12)，
∴k=6×12=72；
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A'B'C'D'有重叠部分时，k的取值范围为89≤k≤72．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
【变式5-3】（2022·湖南株洲·统考二模）在矩形AOBC中，OB=8,OA=4．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=kxk>0的图象与边AC交于点E．

(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)E4,4
(2)见解析
(3)y=12x
【分析】（1）先求出F点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出E点坐标即可；
（2）分别求出直线EF,AB的解析式，即可得证；
（3）过点E作EM⊥x轴，交OB于点M，证明△EMG∽△GBF，列出比例式，求出BG的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形AOBC中，OB=8,OA=4，
∴B8,0，C8,4，
当点F运动到边BC的中点时：F8,2，
∴k=2×8=16，
∴y=16x，
∵反比例函数y=kxk>0的图象与边AC交于点E，
∴yE=4，
∴xE=16÷4=4；
∴E4,4；
（2）如图：

∵F8,k8,Ek4,4，设直线EF的解析式为：y=ax+b，
则：8a+b=k8ka4+b=4，解得：a=−12b=k8+4，
∴直线EF：y=−12x+k8+4；
设：直线AB:y=mx+n，
∵A0,4,8,0，
∴8m+n=0n=4，解得：m=−12n=4，
∴直线AB：y=−12x+4，
∴EF∥AB；
（3）如图，过点E作EM⊥x轴，交OB于点M，则四边形AEMO为矩形，
∴EM=AO=4，

∵翻折，
∴∠ECF=∠EGF=90°,EC=EG,CF=FG，
∵∠EMG=∠FBG=∠EGF=90°，
∴∠EGM=∠BFG，
∴△EMG∽△GBF，
∴EMBG=EGFG，
∵F8,k8,Ek4,4，考点要求
新课标要求
命题预测
反比例函数相关概念
理解与掌握反比例函数相关概念.
反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题.
综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究.
反比例函数的图象与性质
能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y=kx (k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况.
能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
反比例系数k的几何意义
理解与掌握反比例系数k的几何意义.
反比例函数与一次函数综合
反比例函数的实际应用
能用反比例函数解决简单实际问题
图象特征
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点．
性质
表达
式
y=kx（k为常数，k≠0）
图象
k>0
k<0
经过
象限
一、三象限（x、y同号）
二、四象限（x、y异号）
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;
②图象关于直线y=x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;
③图象关于直线y=−x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上.
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
反比例函数解析式的确定方法
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
1）设反比例函数的解析式为y=kx（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
x
…
−2
−1
0
12
1
32
2
52
3
72
4
5
6
…
y=2x
…
−1
−2
■
4
2
43
1
45
23
47
12
25
13
…
y=2x−2
…
−12
−23
−1
m
−2
−4
■
4
2
43
1
23
12
…
R/Ω
…
2
4
6
8
10
…
P/W
…
18
9
6
4.5
3
…
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．

第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据．
RΩ
…
3
6
9
12
15
…
PW
…
3
1.5
1
0.75
0.7
…
第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
桌面所受压强P(Pa)
100
200
400
500
800
受力面积S(m2)
2
1
0.5
0.4
a
销售量n（株）
n＝-x＋50
销售单价
m（元/株）
当1≤x≤20时，m＝______
当21≤x≤30时，m=10+420x